摘 要:幾何畫板計(jì)算機(jī)軟件與數(shù)學(xué)學(xué)科整合具備諸多優(yōu)勢(shì)，它集圖像的制作、動(dòng)畫、測(cè)算等為一體，為“幾何模型”的構(gòu)建提供了有效場(chǎng)所。由于幾何畫板的測(cè)算一般采用四舍五入的方式顯示，在使用幾何畫板演示三角形內(nèi)角和定理時(shí)會(huì)出現(xiàn)問題。本文首先分析問題的原因，然后給出了三種解決方案，可供教師遇到測(cè)算顯示出現(xiàn)問題時(shí)參考。

關(guān)鍵詞:幾何畫板;測(cè)算;四舍五入;三角形內(nèi)角和定理

中圖分類號(hào):G434文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B 文章編號(hào):1673-8454(2010)02-0069-02

隨著社會(huì)信息進(jìn)程的不斷加快，以多媒體技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為核心的現(xiàn)代信息技術(shù)越來越大地影響著人們的生活和工作，也改變著教育和學(xué)習(xí)的方式。“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”課程基本理念第9條為“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合?，F(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響”。其中，幾何畫板等計(jì)算機(jī)技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的整合，已經(jīng)成為教學(xué)熱門話題。

幾何畫板計(jì)算機(jī)軟件與數(shù)學(xué)學(xué)科整合具備諸多優(yōu)勢(shì)，比如:它集圖像的制作、動(dòng)畫、測(cè)算、文字輸入、編輯等為一體，為“幾何模型”的構(gòu)建提供了有效場(chǎng)所;它為“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了一條便捷的通道，對(duì)幾何模型的繪制提供信息，同時(shí)，可以解決學(xué)生難以繪制的圖形，而且提供了圖形“變換”的動(dòng)感、豐富多彩的“動(dòng)畫”模型，給學(xué)生一種耳目一新的視覺感受，使學(xué)生從畫面中去尋求問題解決的方法和依據(jù)，并從畫面中認(rèn)清問題的本質(zhì)。

在講授《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)(下)》“7.2 與三角形有關(guān)的角”一節(jié)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，我們用幾何畫板演示“三角形的內(nèi)角和等于180°”(圖1)、“三角形外角性質(zhì)(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)” (圖2)。通過移動(dòng)三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)的位置，改變角度，驗(yàn)證定理。

在使用幾何畫板過程中，我們發(fā)現(xiàn)它也存在著一些局限和不足，需要加以改進(jìn)才能達(dá)到理想的使用效果。例如，在使用幾何畫板過程中，三角形三個(gè)內(nèi)角的和的確等于180°，但是用軟件顯示的“三個(gè)內(nèi)角”求和，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不等于180°的現(xiàn)象，即，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=α，∠B=β，∠C=δ，α+β+δ≠180° (圖3)。而且，這種問題的出現(xiàn)與我們選擇的顯示精度無關(guān)，圖3、圖4分別為顯示精度為整數(shù)、百分之一時(shí)的結(jié)果。在演示三角形外角性質(zhì)時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)不一致的現(xiàn)象(圖5)。

產(chǎn)生以上問題的原因是什么呢?我們研究發(fā)現(xiàn):角度的顯示值是采取了“四舍五入”截?cái)喾绞皆斐傻?。?duì)于“四舍五入”整數(shù)截?cái)嗪瘮?shù)round()，存在實(shí)數(shù)a， b 使得

round(a)+round(b)+round(c)=round(a+b) (1)

不成立。例如，a=3.3，b=6.2時(shí)，

round(3.3)+round(6.2)=3+6=9(2)

round(3.3)+round(6.2)=round(9.5)=10

針對(duì)以上問題，下面分析不同對(duì)策的特點(diǎn)并加以比較說明:

1.回避策略

要求教師在演示過程中，隨時(shí)注意各個(gè)角度的變化，有意識(shí)地停止在(1)式成立的狀態(tài)下。一般來講，教師操作出現(xiàn)問題的可能性不大，但學(xué)生很難準(zhǔn)確操作。

2.實(shí)事求是策略

將演示過程分兩步進(jìn)行，第一步由教師進(jìn)行演示，采取回避策略;第二步由教師(或?qū)W生)演示，當(dāng)發(fā)現(xiàn)(1)式不成立時(shí)，可由教師向?qū)W生說明原因或者請(qǐng)學(xué)生探究原因。

教師采用這種策略，最好將必須完成的授課內(nèi)容和探究活動(dòng)分開，因?yàn)樯险n時(shí)間有限，以避免節(jié)外生枝;探究活動(dòng)則可安排在課下，或單獨(dú)安排一個(gè)課時(shí)進(jìn)行。這樣可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)行分層教學(xué)，使不同層次的學(xué)生各有所獲。對(duì)于能力較強(qiáng)、基礎(chǔ)較好、興趣濃厚的學(xué)生，建議采用這種策略。

另外，學(xué)習(xí)“四舍五入”知識(shí)時(shí)也可以展示這個(gè)例子，說明四舍五入在實(shí)際生活應(yīng)用中可能出現(xiàn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高探究和解決實(shí)際問題的能力。

3.技術(shù)回避策略

采用整數(shù)變化(即量子化)角度的方法，使三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都為整數(shù)，保證(1)式在任何狀態(tài)下均成立。具體操作過程如下:

第一步:構(gòu)造整數(shù)度數(shù)角。

(1)選用“圓規(guī)工具”畫一個(gè)圓，標(biāo)記圓心點(diǎn)O，圓上一點(diǎn)P;

(2)在圓上標(biāo)記動(dòng)點(diǎn)M，N，并測(cè)量∠MOP，∠MON的度數(shù);

(3)利用函數(shù)round()，或rounc()，將∠MOP，∠MON取整，即可得到整數(shù)角度α=round(∠MOP )，β=-round(∠MON) (圖6);

第二步:構(gòu)造三角形。

(1)選用“點(diǎn)工具”任意畫兩個(gè)點(diǎn)，標(biāo)記成點(diǎn)A和點(diǎn)B;

(2)“標(biāo)記角度”α，以A點(diǎn)為圓心，“旋轉(zhuǎn)”B點(diǎn)到B'點(diǎn)，“標(biāo)記角度”β，以點(diǎn)B為圓心，“旋轉(zhuǎn)”A點(diǎn)到A'點(diǎn);

(3)分別以點(diǎn)A、B'和點(diǎn)B、A'構(gòu)造直線，得到兩直線交點(diǎn)C;

(4)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)造三角形，△ABC即為所需整數(shù)度數(shù)三角形(圖7);

(5)隱藏畫面內(nèi)不必要的內(nèi)容。操作時(shí)，推動(dòng)點(diǎn)M、N、P，可得到任意三角形(圖8)。

探究三角形外角性質(zhì)時(shí)，可在構(gòu)造好的△ABC任意一頂點(diǎn)處構(gòu)造外角，即可演示三角形外角定理 (圖9)。