摘 要:結(jié)合經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，探討分形理論的發(fā)展，通過分析在教學(xué)中引入涉及分形背景的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用實(shí)例，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，剖析了Zipf法則與城市體系分維的統(tǒng)計(jì)等價性的問題。

關(guān)鍵詞:分形理論 分形維數(shù) Zipf法則 應(yīng)用

中圖分類號:O29;F224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-4914(2010)05-137-02

分形理論是一門橫斷學(xué)科，從數(shù)學(xué)、振動力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從分子生物學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理科學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語言學(xué)、社會學(xué)等領(lǐng)域已廣泛應(yīng)用。分形理論對方法論和自然觀產(chǎn)生重要影響，用分形的觀點(diǎn)看世界，這個世界實(shí)際上是以分形的方式存在和演化著的世界。

一、關(guān)于分形內(nèi)涵的研究

分形幾何的概念是曼德爾布羅特(1975)年首先提出來的。但最早的研究可追朔到維爾斯特拉斯(1872)構(gòu)造的處處連續(xù)、處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集，皮亞諾(1890)構(gòu)造了填充平面的曲線，柯赫(1904)設(shè)計(jì)出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線，謝爾賓斯基(1915)設(shè)計(jì)了像地毯和海綿一樣的幾何圖形，這些都是屬于規(guī)則的分形圖形。它們是按一定規(guī)則構(gòu)造出來的、具有嚴(yán)格的自相似的分形圖形，它們都屬于自相似分形集。豪斯道夫(1910)開始了對奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分?jǐn)?shù)維概念。布利干(1928)將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，龐特里亞金(1932)等引入盒維數(shù)，貝塞考維奇(1934)更深刻地揭示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分?jǐn)?shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了主要貢獻(xiàn)，從而產(chǎn)生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數(shù)概念。

現(xiàn)代分形理論的奠基人曼德爾布羅特(1977)出版了關(guān)于分形幾何的第一部著作《分形:形狀、機(jī)遇和維數(shù)》一書，它集中了1975年以前曼德爾布羅特關(guān)于分形幾何的主要思想，總結(jié)了依據(jù)自相似性計(jì)算實(shí)驗(yàn)維數(shù)的方法。曼德爾布羅特(1982)的《大自然的分形幾何學(xué)》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數(shù)，它比豪斯道夫維數(shù)容易計(jì)算，但是稠密可列集合維數(shù)與集合所在空間相等。在這兩本書中他將分形的理論及應(yīng)用推動到一個全新的階段。

(一)分形定義、分類與分形維數(shù)

通常將具有某種方式的自相似性的圖像或集合稱為分形。所謂自相似性，就是指局部與整體相似。這類某種形式的自相似性，不只限于嚴(yán)格的幾何自相似性，也可能是通過大量的統(tǒng)計(jì)而呈現(xiàn)出來的不很嚴(yán)格的自相似性。由于局部中又有其局部，而它們都是自相似的，這樣整體與局部都具有無窮盡的自相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，且在每一小局部中所包含的細(xì)節(jié)并不比整體所包含的少，所以分形是有無窮自相似嵌套性的圖形或集合。

分形至今無統(tǒng)一定義，因?yàn)槊糠N定義都不能涵蓋所有的分形。曼德爾布羅特(1982)對其定義為“分形是一個豪斯道夫-貝塞考維奇維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合?！贝硕x包括一大類具有分?jǐn)?shù)維的分形集，但忽略了某些維數(shù)為整數(shù)的分形集。曼德爾布羅特(1986)給出了分形的另一個定義:分形具有在某種方式上部分與總體相似的形狀特征。這個定義強(qiáng)調(diào)了分形集具有某種自相似性特征，但仍有很多分形集沒有包括其中。

分形一般分成兩大類，確定性分形和隨機(jī)性分形。如果算法的多次重復(fù)仍然產(chǎn)生同一個分形圖，這種分形稱之為確定性分形。確定性分形具有可重復(fù)性，即使在生成過程中可能引入了一些隨機(jī)性，但最終的圖形還是確定的。隨機(jī)分形指的是盡管產(chǎn)生分形的規(guī)則是確定的，但受隨機(jī)因素的影響，雖然可以使每次生成過程產(chǎn)生的分形具有一樣的復(fù)雜度，但是形態(tài)卻會有所不同。隨機(jī)分形雖然也有一套規(guī)則，但是在生成過程中對隨機(jī)性的引入，將使得最終的圖形是不可預(yù)知的。即不同時間的兩次操作產(chǎn)生的圖形，可以具有相同的分維數(shù)，但形狀可能不同，隨機(jī)分形不具有可重復(fù)性。

曼德爾布羅特引進(jìn)了分?jǐn)?shù)維，給出了一個分形集充滿空間的復(fù)雜程度的描述。每個分形集都對應(yīng)一個以某種方式定義的分形維數(shù)，這個維數(shù)值一般是分?jǐn)?shù)的，但也有整數(shù)維的分形集。分形維數(shù)的定義有多種方法，常用的分形維數(shù)概念有三種:豪斯道夫維數(shù)、自相似維數(shù)以及盒維數(shù)。在分形維數(shù)中，豪斯道夫維數(shù)是最古老的最重要的一種。豪斯道夫維數(shù)具有對任何集都有定義的優(yōu)點(diǎn)，由于它是建立在相對比較容易處理的集合測度概念的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)應(yīng)用比較方便。它的主要缺點(diǎn)是在很多情形下用計(jì)算的方法很難計(jì)算或估計(jì)它的值，因此，還有許多其他維數(shù)定義也常常被應(yīng)用。

分形維數(shù)是分形理論中核心的概念與內(nèi)容，它是由曼德爾布羅特為表征曲線的復(fù)雜性和處處不可微性而提出的，是刻畫分形體復(fù)雜結(jié)構(gòu)的主要工具，引入分形維數(shù)正是分形理論的新穎之處。應(yīng)用分形理論研究自然現(xiàn)象最重要的問題是如何解釋分形維數(shù)的意義，分形維數(shù)的意義應(yīng)包括分形維數(shù)本身的幾何意義和研究對象參量及其尺度變化的意義兩方面，兩者結(jié)合才是特定分形維數(shù)的含義。

(二)分形的特征

肯尼思·法爾科內(nèi)(1990)認(rèn)為分形集F具有以下特征:(1)F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。(2)F具有不規(guī)則性，使得它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。(3)F一般具有某種自相似性，可能是近似的或統(tǒng)計(jì)意義下的。(4)通常F的分形維數(shù)(以某種方式定義)大于它的拓?fù)渚S數(shù)。(5)在大多數(shù)令人感興趣的情形下，F(xiàn)可以通過遞歸、迭代等簡單的方式產(chǎn)生。(6)其大小不能用通常的測度(例如面積、長度、體積等)來度量。

(三)分形的基本性質(zhì)

分形具有兩個基本性質(zhì):自相似性和標(biāo)度不變性。自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某種系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體相似，另外在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性; 所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任選一局域，對它進(jìn)行放大，得到的圖形會顯示出原圖形的形態(tài)特征。

二、分形理論在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

當(dāng)前分形理論的研究主要分三種類型:分形的基礎(chǔ)理論研究、分形圖形的生成方法研究及分形理論在實(shí)際應(yīng)用中的研究。分形理論在化學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)、材料科學(xué)、地震學(xué)、生命科學(xué)、藝術(shù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等多個學(xué)科多個方面有廣泛的應(yīng)用，在廣告、電腦游戲、計(jì)算機(jī)動畫、書籍和刊物的封裝、藝術(shù)作品中，也已經(jīng)成功地應(yīng)用了分形技術(shù)。在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)補(bǔ)充一些分形知識，對提高學(xué)生思維品質(zhì)有很大的益處。

(一)Zipf法則及維數(shù)

在教學(xué)中引入涉及分形背景的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)例，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，幫助學(xué)生認(rèn)識到分形的實(shí)際應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。國內(nèi)外研究成果表明，城鎮(zhèn)體系的人口及經(jīng)濟(jì)規(guī)模的等級分布符合一些數(shù)學(xué)模型，如Pareto分布模型及G.K.Zipf的等級規(guī)模分布模型等，這些數(shù)學(xué)模型為城鎮(zhèn)體系的分析與規(guī)劃提供了科學(xué)依據(jù)。Zipf(1949)把自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用于城市人口、企業(yè)收入等現(xiàn)象，研究這些數(shù)量跟等級的關(guān)系。在其出版的《人類行為與最小努力原則-人類生態(tài)學(xué)引論》中，他進(jìn)一步擴(kuò)展了視野，討論了人類社會的眾多社會、文化現(xiàn)象及自然現(xiàn)象。根據(jù)前人的研究成果提出了一個通用的城市規(guī)模分布法則(Zipf's law):Pr=P1r-q(1)式中r為城市位序，Pr為位序?yàn)閞的城市的人口數(shù)，系數(shù)P1為首位城市人口，為Zipf指數(shù)。類比于豪斯道夫維數(shù)公式可知，式(1)服從冪定律，為一分形模型，參數(shù)q具有分維性質(zhì)，它是分維D的倒數(shù)，即q=1/D。對(1)式作對數(shù)變換有:lnPr=lnp1-qlnr(2)由于冪函數(shù)關(guān)系等價于對數(shù)線性關(guān)系，因此，只要雙對數(shù)坐標(biāo)圖上的位序-規(guī)模數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線關(guān)系成立或者部分成立，即可判定分形的存在，直線上點(diǎn)的范圍即為無特征尺度的區(qū)域。以lnr為橫坐標(biāo)，lnpr為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，進(jìn)行線性回歸擬合可求出其城鎮(zhèn)體系規(guī)模結(jié)構(gòu)的分維數(shù)。已有研究表明中國668個建制城市的前550多個城市服從Zipf定律，即將全部10萬以上人口的城市囊括在內(nèi)。城市形態(tài)的分維在微觀或局域上雖然參差不齊，但在宏觀或整體上卻有一定的規(guī)律，大量標(biāo)本的平均值接近于1.71。

(二)分形圖形的數(shù)學(xué)分析

可以讓學(xué)生利用各種信息網(wǎng)絡(luò)環(huán)境資源查看分形圖，挖掘分形圖蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生從一個新的視角認(rèn)識傳統(tǒng)圖形。在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分形圖形所具有對稱、節(jié)奏和韻律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、纏繞、和豐富的變換等特點(diǎn)，體會分形圖形的美學(xué)特征。分形圖形在空間結(jié)構(gòu)上體現(xiàn)傳統(tǒng)藝術(shù)形態(tài)中的對稱形式，分形圖形具有一種局部和更大的局部、或者是局部和整體的對稱，具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)層次，在自相似的遞歸結(jié)構(gòu)中，無論是在哪一個層次的局部都保持整體的基本形態(tài)，獲得整個圖形的和諧、秩序與均衡。分形樹、謝爾賓斯基三角形和經(jīng)典的曼德爾布羅特集等就是具有自相似特性的典型分形圖形。這種自相似性也可以從復(fù)映射的經(jīng)典M集的逐步放大得到，利用MATLAB，改變常數(shù)c的取值，可以得到各式各樣的Julia集。以上表明，本質(zhì)上藝術(shù)與數(shù)學(xué)最為接近，區(qū)別只是使用不同的語言來表達(dá)。

三、結(jié)語

分形是結(jié)構(gòu)的深化，正是分形理論的提出和應(yīng)用使人們以比從前更深刻更準(zhǔn)確的方式方法去認(rèn)知世界，為人們認(rèn)識世界提供了新視角和新思路。教學(xué)中適當(dāng)引進(jìn)有關(guān)分形的知識案例，可以多維度地培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)理念，從而達(dá)到全面提高學(xué)生思維能力水平，培養(yǎng)出更加適應(yīng)新時期發(fā)展的創(chuàng)新型人才。

參考文獻(xiàn):

1.B.B.Mandelbrot，F(xiàn)ractals:form，chance，and dimension，Translation of Les objets fractals，W.H.Freeman，San Francisco，1977

2.楊展如，郝柏林.分形物理學(xué)[M].上海:上海科技教育出版社，1996

3.謝和平，薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法[M].北京:科學(xué)出版社，1997

4.肯尼恩.法爾科內(nèi).曾文曲和劉世耀譯.分形幾何-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].東北大學(xué)出版社，1991

5.B.H.Kyae.徐新陽，康雁，陳旭，劉丹譯.分形漫步[M].沈陽:東北大學(xué)出版社，1994

6.孫霞，吳自勤，黃畵.分形原理及應(yīng)用[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2003

7.張濟(jì)忠.分形[M].北京:清華大學(xué)出版社，1995

8.Zipf，G.K.Human Behavior and the Principle of Least Effort:An Introduction to Human Ecology[M].Cambridge，Mass: Addison-Wesley Press，INC，1949

9.陳彥光.中國城市發(fā)展的自組織特征與判據(jù)[J].城市規(guī)劃，2006(8)

(作者單位:廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣東廣州 511450)

(責(zé)編:賈偉)