在特殊四邊形中，圖形折疊與拼接題是考查同學(xué)們思維能力、作圖能力的一種重要題型，頻頻出現(xiàn)在各種考試中，現(xiàn)采擷兩例供大家參考。

例1 問題解決:

如圖1，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E(不與點C、D重合)，壓平后得到折痕MN。當=時，求的值。

類比歸納:

在圖1中，若=，則的值等于 ;若=，則的值等于 ;若=(n為整數(shù))，則的值等于 。(用含n的式子表示)

聯(lián)系拓展:

如圖2，將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E(不與點C、D重合)，壓平后得到折痕MN，設(shè)=(m>1)，=，則的值等于。(用含m、n的式子表示)

分析 為了求得的值，可先求BN、AM的長，不妨設(shè)AB=2。因為沿MN對折的兩個圖形全等，點B落在CD邊上一點E，因而可構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理列方程求解BN、AM的長，從而得到的值。

解 問題解決:如圖3，連接BM、EM、BE。設(shè)AB=2。

依題意，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對稱。

∴ MN垂直平分BE?！?BM=EM，BN=EN。

∵四邊形是ABCD正方形，

∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=BC=CD=DA=2。

∵=，∴CE=DE=1。設(shè)BN=x，則NE=x，NC=2-x。

在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2。

∴x2=(2-x)2+12。解得x=，即BN=。

在Rt△ABM和Rt△DEM中，

AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2。

設(shè)AM=y，則DM=2-y，y2+22=(2-y)2+12。

解得y=，即AM=?！?。

類比歸納:(或);; ，聯(lián)系拓展: 。

點評 本題是以折疊為背景的探究問題，在解答此類問題時，要明白折痕兩邊的圖形是軸對稱圖形，然后再利用軸對稱變換的性質(zhì)解題。它要求我們能根據(jù)題目中的折疊情況發(fā)現(xiàn)其中的變量與不變量，或者變化的趨勢與內(nèi)在的聯(lián)系，挖掘隱含其中的規(guī)律或相關(guān)的結(jié)論，使猜想的結(jié)論盡可能與實際情況相吻合。

例2 對于邊長為a的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖4所示的方式擺放，在沿虛線BD、EG剪開后，可以按圖中所示的移動方式拼接為圖4中的四邊形BNED。從拼接的過程容易得到結(jié)論:

①四邊形BNED是正方形;②S+S=S。

實踐與探究:

(1)對于邊長分別為a、b(a>b)的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖5所示的方式擺放，連接DE，過點D作DM⊥DE，交AB于點M，過點M作MN⊥DM，過點E作EN⊥DE，MN與EN相交于點N。

①證明四邊形MNED是正方形，并用含a、b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積。

②在圖5中，將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED，請簡略說明你的拼接方法。(類比圖4，用數(shù)字表示對應(yīng)的圖形)

(2)對于n(n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形，能否通過若干次拼接，將其拼接為一個正方形?請簡要說明你的理由。

解 (1)①證明:由作圖的過程可知四邊形MNED是矩形。

在Rt△ADM與Rt△CDE中，

∵ AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，

∴ ∠ADM=∠CDE。

∴ △ADM≌△CDE。

∴ DM=DE，∴四邊形MNED是正方形。

∵ DE2=CD2+CE2=a2+b2，

∴ 正方形MNED的面積為a2+b2。

②過點N作NP⊥BE，垂足為P，如圖5，

可以證明圖中6與5位置的兩個三角形全等，4與3位置的兩個三角形全等，2與1位置的兩個三角形也全等。

所以將6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接為正方形MNED。

(2)能。

理由是:由上述的拼接過程可以看出，對于任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形，而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形再拼接為一個正方形，……依此類推。由此可知:對于n個任意的正方形，可以通過(n-1)次拼接，得到一個正方形。

點評 本題是通過適當裁剪，將幾個正方形拼接為一個大正方形的實驗操作問題，既需要探究猜想，又需要邏輯論證，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，多方面地考查了同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力。