在“四邊形”一章的學(xué)習(xí)中，涉及許多重要的數(shù)學(xué)思想。正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵，并能收到事半功倍的效果。下面舉例說明。

一、分類討論思想

例1平行四邊形一內(nèi)角的平分線分對(duì)邊為3和4兩部分，求平行四邊形的周長。

分析本題容易產(chǎn)生漏解，解題關(guān)鍵在于分類討論，要弄清哪一部分為3，哪一部分為4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解題。

解設(shè)?荀ABCD的∠A平分線交對(duì)邊于E，如圖1。

∵AD∥BC， ∴∠1=∠3。

∵∠1=∠2，∴ ∠2=∠3，AB=BE。

當(dāng)AB=BE=3時(shí)，

平行四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=3+7+3+7=20。

當(dāng)AB=BE=4時(shí)，

平行四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=4+7+4+7=22。

∴ 平行四邊形ABCD的周長為20或22。

點(diǎn)評(píng)本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想。數(shù)學(xué)里的許多問題，只有用分類討論的思想，才能保證解答完整準(zhǔn)確，做到“不重不漏”。

二、方程思想

例2如圖2，已知?荀ABCD的周長為60 cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長比△BOC的周長長8 cm，求這個(gè)平行四邊形的各邊長。

分析由平行四邊形對(duì)邊相等可知，相鄰兩邊AB+BC為周長的一半，即30 cm。因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，而△AOB比△BOC的周長長8 cm，由此可得，AB比BC大8 cm，再根據(jù)兩關(guān)系構(gòu)成二元一次方程組可解出AB、BC。

解設(shè)AB=x cm，BC=y cm。

∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AB=CD=x cm，AD=BC=y cm，OA=OC。

∵?荀ABCD的周長為60 cm，

∴ AB+BC=30，即x+y=30。①

∵ △AOB的周長比△BOC的周長長8 cm，

∴ (OA+AB+OB)-(OB+BC+OC)=8。

∴ x-y=8。②

①、②組成方程組得x+y=30，x-y=8，

解得:x=19，y=11。

∴ AB=CD=19 cm， AD=BC=11 cm。

點(diǎn)評(píng)解決此類問題，首先要理清已知線段在圖中的位置，然后運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)建立它們之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造出關(guān)于已知線段、未知線段的方程(組)或等式，再通過解方程(組)或等式的變形，從而求出未知線段。在解決與等量有關(guān)的幾何問題時(shí)，運(yùn)用方程思想顯得十分簡捷而有效。

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(0，1)、B(-1，0)、C(1，0)三點(diǎn)坐標(biāo)，若點(diǎn)D與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)。

分析數(shù)與形不是孤立的。由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可求出線段AB、BC、AC的長度，再分別區(qū)分它們是邊還是對(duì)角線，利用直角三角形和平行四邊形的有關(guān)知識(shí)便可解決。

解符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D1(2，1)、D2(-2，1)、D3(0，-1)。

點(diǎn)評(píng)本題是在平面直角坐標(biāo)系中研究特殊的四邊形，通過判斷點(diǎn)D的位置，加深對(duì)平行四邊形的判定定理的理解與運(yùn)用，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的思想。

四、運(yùn)動(dòng)變換思想

例4如圖4，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，求證:EF=BE+DF。

分析欲證一條線段等于另外兩條線段的和，一般采用“截長補(bǔ)短法”。本題可考慮將△ADF繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△ABG的位置，把DF“接”到EB上。

解如圖4所示，將△ADF繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△ABG的位置，則∠ABG=∠D=90°，∠2=∠1，BG=DF，AG=AF。

∵∠ABC=90°，

∴∠GBE=180°，即G、B、E在同一條直線上。

∵∠BAD=90°，

∴∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=∠BAD=90°。

即∠GAF=90°。

又∵∠EAF=45°，

∴∠GAE=∠FAE=45°。

又∵AE=AE，

∴△AGE≌△AFE。

∴EG=EF。

∴EF=EG=BE+BG=BE+DF。

點(diǎn)評(píng)利用幾何變換可以將分散的元素相對(duì)集中起來，便于問題的解決，這往往適用于等腰三角形、等邊三角形、正方形等有關(guān)圖形。

五、轉(zhuǎn)化思想

例5 如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=10cm，BC=18cm，求CD的長。

分析過A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E，則四邊形AECD為平行四邊形，欲求CD的長，只要求出AE即可。

解過A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E，則∠AEB=∠C=80°。

在△ABE中，∠EAB=180°-80°-50°=50°=∠B，

∴AE=BE。

∵AE∥DC，AD∥BC，

∴四邊形AECD是平行四邊形。

∴DC=AE，CE=AD。

∴BE=BC-CE=BC-AD=18-10=8(cm)。

∴CD=AE=BE=8(cm)。

點(diǎn)評(píng)在解決與梯形有關(guān)的問題時(shí)，常常通過作一些輔助線，將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，再利用相應(yīng)的性質(zhì)進(jìn)行解答。