隨著初中數(shù)學改革的不斷深化,《新課標》注重對學生數(shù)學知識的形成與應用過程;突出了它的實踐性,加強了讓學生在具體的操作情境中去領(lǐng)悟數(shù)學的發(fā)展與形成。動手操作題是指讓學生通過比較簡單的動手操作,結(jié)合實際的數(shù)學情境,經(jīng)歷操作、觀察、比較、概括、歸納總結(jié)等多種形式的活動,利用已有的數(shù)學知識進行探究猜想、推理論證,從而使問題得到解答。
例1: AD是△ABC的中線,
∠ADC=60°,把△ADC沿直線
AD折過來,點C落在C′的位
置,如果BC=4,那么BC′=_____。
解析:在折紙過程中,體會所折線段之間的關(guān)系,感受數(shù)學知識的正確運用,從中領(lǐng)悟?qū)嶋H問題與數(shù)學技能的有機結(jié)合,知道△BDC′為等邊三角形,即BC′=BD=DC′=2。
例2:四邊形ABCD是正方形,M是AB延長線上一點;直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D,
且直角頂點E在AB邊上滑動,
(點E不與A,B重合),另一條
直角邊與∠CBF的平分線BF
相交于點F。
(1) 如圖3,當點E在AB邊中點位置時:
① 通過測量DE,EF的長度,猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系。
② 連接點E與邊AD的中點N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系。
③ 證明你上述兩個猜想。
解析:(1)①通過學生親自測量,容易得到DE=EF。
②在上一問的基礎上,也很容易得到NE=BF。
③∵點N,E分別為AD,AB的中點,∴DN=EB。
∵BF平分∠CBM,AN=AE,∵∠DNE=∠EBF=90°+45°= 135°∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴DE=EF,NE=BF 。
如圖4,當點E在AB邊上任意位置時,請你在AD邊上找到一點N,使得NE=BF,進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。
解:在DA邊上截取DN=EB,連接NE,點N就使得NE=BF成立。此時,DE=EF。
例3:操作示例:對于邊長為a的兩個正方形,ABCD和EFGH,按圖5所示的方式擺放,
再沿虛線BD,EG剪開后,可以
按圖中所示的移動方式拼接為
圖5中的四邊形BNED,從拼接
的過程容易得到結(jié)論:
(1) 四邊形BNED是正方形。
(2) S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED。
實踐與探究:
(1) 對于邊長分別為a,b(a>b)兩個正方形ABCD和EFGH,按圖6所示的方式擺放,過點D作DM⊥DE,交AB于點M,過點M作MN⊥DM,過點E作EN⊥DE,MN與EN相交于點N:
①證明四邊形MNED是正方形,并用含a,b代數(shù)式表示正方形MNED的面積。
② 在圖6中,將正方形ABCD和EFGH沿虛線剪開后,能夠拼接為正方形MNED,請簡略說明你的拼接方法(類比圖5,用數(shù)字表示對應的圖形)。
(2) 對于n (n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形,能否通過干次的拼接,將其拼接為一個正方形?請簡要說明你的理由。
解析:(1)①證明:由作圖過程知四邊形MNED是矩形。
在直角△ADM與直角△CDE中,
∵AD=CD,∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°,
∠ADM=∠CDE, ∴Rt△ADM≌Rt△CDE。
∴DM=DE,∴四邊形MNED是正方形。
∵DE2=CD2+CE2=a2+b2
∴ 正方形MNED的面積為a2+b2。
②過點N作NP⊥BE,垂足為P,如圖7所示。
可以證明圖中6與5位置的兩個直角三角形全等,4于3位置的兩個直角三角形全等,2與1位置的兩
個直角三角形全等。所以將6放到5的位
置,4放到3的位置,2放到1的位置,恰好
拼接為正方形MNED。
(3)答:能。
理由是:從上述的拼接過程可以看出:對于任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形,而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形再拼接為一個正方形……依此類推。于是得到:對于n個任意的正方形,可以通過(n-1)次拼接,得到一個正方形。
評析:本題不僅考查學生應用數(shù)學知識的能力,也考查動手拼圖、作圖的能力。圖形能直觀形象地說明問題,體現(xiàn)了圖形之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)了學生實踐能力。
通過以上幾題說明,動手操作題思維空間較大,題型多樣,題目背景各異;既能讓學生親自參與數(shù)學活動,參與探究,又能充分地培養(yǎng)學生動手實踐能力和邏輯推理能力。
(唐山市豐南區(qū)豐南鎮(zhèn)成人學校)