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        動手操作題探究

        2009-12-31 00:00:00關(guān)麗玲
        成才之路 2009年16期

        隨著初中數(shù)學(xué)改革的不斷深化,《新課標(biāo)》注重對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程;突出了它的實(shí)踐性,加強(qiáng)了讓學(xué)生在具體的操作情境中去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的發(fā)展與形成。動手操作題是指讓學(xué)生通過比較簡單的動手操作,結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)情境,經(jīng)歷操作、觀察、比較、概括、歸納總結(jié)等多種形式的活動,利用已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探究猜想、推理論證,從而使問題得到解答。

        例1: AD是△ABC的中線,

        ∠ADC=60°,把△ADC沿直線

        AD折過來,點(diǎn)C落在C′的位

        置,如果BC=4,那么BC′=_____。

        解析:在折紙過程中,體會所折線段之間的關(guān)系,感受數(shù)學(xué)知識的正確運(yùn)用,從中領(lǐng)悟?qū)嶋H問題與數(shù)學(xué)技能的有機(jī)結(jié)合,知道△BDC′為等邊三角形,即BC′=BD=DC′=2。

        例2:四邊形ABCD是正方形,M是AB延長線上一點(diǎn);直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D,

        且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動,

        (點(diǎn)E不與A,B重合),另一條

        直角邊與∠CBF的平分線BF

        相交于點(diǎn)F。

        (1) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊中點(diǎn)位置時:

        ① 通過測量DE,EF的長度,猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系。

        ② 連接點(diǎn)E與邊AD的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系。

        ③ 證明你上述兩個猜想。

        解析:(1)①通過學(xué)生親自測量,容易得到DE=EF。

        ②在上一問的基礎(chǔ)上,也很容易得到NE=BF。

        ③∵點(diǎn)N,E分別為AD,AB的中點(diǎn),∴DN=EB。

        ∵BF平分∠CBM,AN=AE,∵∠DNE=∠EBF=90°+45°= 135°∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴DE=EF,NE=BF 。

        如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上任意位置時,請你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得NE=BF,進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

        解:在DA邊上截取DN=EB,連接NE,點(diǎn)N就使得NE=BF成立。此時,DE=EF。

        例3:操作示例:對于邊長為a的兩個正方形,ABCD和EFGH,按圖5所示的方式擺放,

        再沿虛線BD,EG剪開后,可以

        按圖中所示的移動方式拼接為

        圖5中的四邊形BNED,從拼接

        的過程容易得到結(jié)論:

        (1) 四邊形BNED是正方形。

        (2) S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED。

        實(shí)踐與探究:

        (1) 對于邊長分別為a,b(a>b)兩個正方形ABCD和EFGH,按圖6所示的方式擺放,過點(diǎn)D作DM⊥DE,交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥DM,過點(diǎn)E作EN⊥DE,MN與EN相交于點(diǎn)N:

        ①證明四邊形MNED是正方形,并用含a,b代數(shù)式表示正方形MNED的面積。

        ② 在圖6中,將正方形ABCD和EFGH沿虛線剪開后,能夠拼接為正方形MNED,請簡略說明你的拼接方法(類比圖5,用數(shù)字表示對應(yīng)的圖形)。

        (2) 對于n (n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形,能否通過干次的拼接,將其拼接為一個正方形?請簡要說明你的理由。

        解析:(1)①證明:由作圖過程知四邊形MNED是矩形。

        在直角△ADM與直角△CDE中,

        ∵AD=CD,∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°,

        ∠ADM=∠CDE, ∴Rt△ADM≌Rt△CDE。

        ∴DM=DE,∴四邊形MNED是正方形。

        ∵DE2=CD2+CE2=a2+b2

        ∴ 正方形MNED的面積為a2+b2。

        ②過點(diǎn)N作NP⊥BE,垂足為P,如圖7所示。

        可以證明圖中6與5位置的兩個直角三角形全等,4于3位置的兩個直角三角形全等,2與1位置的兩

        個直角三角形全等。所以將6放到5的位

        置,4放到3的位置,2放到1的位置,恰好

        拼接為正方形MNED。

        (3)答:能。

        理由是:從上述的拼接過程可以看出:對于任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形,而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形再拼接為一個正方形……依此類推。于是得到:對于n個任意的正方形,可以通過(n-1)次拼接,得到一個正方形。

        評析:本題不僅考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力,也考查動手拼圖、作圖的能力。圖形能直觀形象地說明問題,體現(xiàn)了圖形之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐能力。

        通過以上幾題說明,動手操作題思維空間較大,題型多樣,題目背景各異;既能讓學(xué)生親自參與數(shù)學(xué)活動,參與探究,又能充分地培養(yǎng)學(xué)生動手實(shí)踐能力和邏輯推理能力。

        (唐山市豐南區(qū)豐南鎮(zhèn)成人學(xué)校)

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