縱觀歷年的中考題中，出現(xiàn)了許多與三角尺有關(guān)的題目。它們或?qū)⑷浅咝D(zhuǎn)，或?qū)⑵淦揭?。把幾何圖形的全等、旋轉(zhuǎn)、平移等知識巧妙地融合在一起，既考查了知識點(diǎn)，又考查了學(xué)生的動手操作能力。

例1:如圖，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)。另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F。

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí):

①通過測量DE、EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是________;

②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系_________;

③請證明你的上述兩個(gè)猜想。

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

分析:本題通過平移三角尺，要求學(xué)生動手操作，測量線段之間的數(shù)量關(guān)系，考查了正方形性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)。

解:(1)①DE=EF;②NE=BF。

證明:

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)N、E分別為AD、AB的中點(diǎn)

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE

∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°

∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴DE=EF，NE=BF

(2)在AD邊上截取DN=EB(或截取AN=AE)，連接NE，點(diǎn)N就使NE=BF成立，此時(shí)DE=EF。

例2:如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(點(diǎn)O也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

(1)如圖2當(dāng)FE與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測量BM、FN的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，(1)中的猜想還成立嗎?若成立，請證明;若不成立，請說明理由。

分析:本題是以旋轉(zhuǎn)的方式來呈現(xiàn)。

解:(1)BM=FN。

證明:∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形。

∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，

又∵∠BOM=∠FON， ∴△OBM≌△OFN.

∴BM=FN.

(2)BM=FN仍然成立。

證明:∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，

∴∠MBO=∠NFO=135°

又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN。

∴BM=FN。

(作者單位:秦皇島市第十中學(xué))