摘 要:本文主要圍繞風(fēng)險價值度量金融市場的風(fēng)險，并介紹了作為VaR度量手段的一個補(bǔ)充預(yù)期不足，然后基于極值理論建立了兩者的風(fēng)險度量模型。

此外，本文還將基于極值理論的風(fēng)險度量方法應(yīng)用到我國證券市場，通過對上證指數(shù)日收益率的實(shí)證分析解決現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中存在的問題，并將實(shí)證分析與模型檢驗相結(jié)合，進(jìn)一步評估了風(fēng)險度量模型的有效性。

關(guān)鍵詞:風(fēng)險價值(VaR);預(yù)期不足(ES); 極值理論(EVT);廣義帕雷托分布(GPD)

一、研究的背景及研究現(xiàn)狀

巴林銀行、長期資本管理公司等一系列因承擔(dān)市場風(fēng)險而發(fā)生巨額損失甚至倒閉的案例，使得無論金融機(jī)構(gòu)還是監(jiān)管機(jī)構(gòu)都日益重視導(dǎo)致災(zāi)難性后果的金融風(fēng)險的管理。為使風(fēng)險管理體現(xiàn)客觀性和科學(xué)性，金融風(fēng)險管理多采用定量分析技術(shù)，大量運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計模型來識別、度量和監(jiān)測風(fēng)險。VaR模型正是這樣一種定量工具，在金融風(fēng)險控制、業(yè)績評估以及金融監(jiān)管等方面VaR被廣泛運(yùn)用。

極值理論已經(jīng)成為概率論里的重要分支之一，許多學(xué)者對極值理論進(jìn)行了大量的研究工作。Anderson(1971)，de Hann and Hordijk(1972)，Goldie and Smith(1987)等人給出了極值的大偏差理論，Davis(1982) ， Hall(1979) ，Hall and Wellner(1979) ， Cohan(1982) ， Smith(1982)等人給出了極值收斂律的一致收斂率，謝盛榮(1996)將其推廣到最大值序列關(guān)聯(lián)某個確定分布的情形。許多學(xué)者對高斯序列(過程)的極值進(jìn)行研究，Berman(1964) ， Mittal and Ylvisaker(1975)給出了獨(dú)立同分布高斯序列極值的結(jié)果，Cuzick(1981)，Braeker(1993)、Piterbarg(1996)等人對非平穩(wěn)高斯過程進(jìn)行T研究，Hiisler and Reiss(1997)對高斯三角組列極值進(jìn)行了研究。朱國慶等人(2001)總結(jié)了前人的研究成果，對極值理論的應(yīng)用性作了很好的綜述。

二、VaR和ES風(fēng)險測度模型

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，作為度量極值風(fēng)險測度的VaR，僅僅是在一定持有期內(nèi)組合投資損益分布的一個分位數(shù)，假設(shè)損失分布函數(shù)為F，置信水平為q，選定的范圍是0.95≤q<1。

則VaR可以表示為:

當(dāng)F的密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)時，VaR也可以表示為:

其中F\\+-1表示函數(shù)F的逆函數(shù)。

定義VaRq為在q的概率水平下的風(fēng)險價值，由上式可以得到VaRq的表達(dá)式:

預(yù)期不足ES和VaR通過下式聯(lián)系:

上式的第二項是將VaRq當(dāng)作閾值的超額分布Fv(y)的均值。我們的模型中超過閾值u的超額分布有很好的穩(wěn)定性，如果我們給出更高的閾值，比如說對于時的閾值VaRq ，那么更高閾值的超額分布也是個具有相同形狀參數(shù)的GPD，但是尺度參數(shù)是不同的，即

上式的優(yōu)點(diǎn)是我們對大于VaRq，的超額損失有個簡單精確的模型。通過這個模型，我們能夠計算出超過VaRq的損失的許多特征。我們注意到上式中分布的均值是

同樣地，當(dāng)我們假定<1時，我們能夠計算預(yù)期不足，我們發(fā)現(xiàn)，

這個比率是值得考察的，它與具有無限右端點(diǎn)的潛在分布有些相似。在這里，這個比率很大程度上是由因子1/(1-ξ)決定的。上式右端的第二項在概率q接近1時變得越來越小。這樣漸進(jìn)的現(xiàn)象強(qiáng)調(diào)形狀參數(shù)在尾部估計中的重要性。它決定著在損失分布的極值領(lǐng)域中，這兩種度量有什么不同，很容易得到預(yù)期不足的估計式，

三、極值方法在VaR度量中的應(yīng)用及檢驗

(一)極值方法在VaR度量中的應(yīng)用

極值方法是一種尾部估計的參數(shù)方法，本文以帕雷托分布(GPD)為例介紹極值方法在VaR度量中的應(yīng)用。

由于VaR可以被定義為可能損失分布的第p分位數(shù)(一般選取p值等于0.05或0.01)，即VaR=f\\+-1(1-P)。

根據(jù)極值理論，對定義的e=x-u，即極值點(diǎn)超過閾值的額度，F(xiàn)u(e)的漸進(jìn)形式就為:

其中 。上式被稱為廣義帕累托分布，其密度函數(shù)

令{ei｝\\+ni=1表示超過閾值點(diǎn)額度的樣本，樣本規(guī)模為n，可以通過最大化似然函數(shù)

估計θ=(ξ σ)′，旦估計出=( )′，就可以通過以下方法估計VaR(α)。

又[1-F(u+e)]=[1-F(u)][1-H(e)]

根據(jù)上式，通過令[1-F(u+α)]=α，[1-F(u)]=\\S〗Nun\\s，使用上面提到的分布函數(shù)H[VaR(α)]，得到風(fēng)險值估計式為:

其中，T是全部的樣本點(diǎn)數(shù)，n是超過閾值的樣本點(diǎn)數(shù)。

(二)模型的檢驗

通常情況下，對于參數(shù)置信區(qū)間的估計方法，在大樣本的情況下我們可以從似然比率檢驗的思路中獲得。似然比率檢驗用來檢驗兩個同類模型的擬合程度的好壞。兩個同類模型的似然比率符合x2分布，它的自由度等于復(fù)雜模型中新加入的參數(shù)的個數(shù)。

但是，由于超過閾值的數(shù)據(jù)不會很多，使得這一估計的漸進(jìn)效果可能不好，為此，我們引入Bootstrap方法來獲得置信區(qū)間的估計，既然我們得到的序列是獨(dú)立同分布的，就可以每次獨(dú)立地從中抽取M個數(shù)據(jù)組成新的序列，用該序列估計VaRq和ESq，重復(fù)這一操作，可以得到一系列的VaRq和ESq的估計值，求出VaRq和ESq的經(jīng)驗分布，然后根據(jù)經(jīng)驗分布得到VaRq和ESq的置信區(qū)間，并把VaRq和ESq的期望值作為VaRq和ESq的估計值，該方法在確定置信區(qū)^間的同時，也是檢驗?zāi)Ｐ头€(wěn)定性的方法。

四、實(shí)證研究

(一)樣本的選取及數(shù)據(jù)來源

本文以2004年1月2日到2007年5月29日上證指數(shù)日收盤價為例，數(shù)據(jù)均取日自然對數(shù)收益率:r=lnPt-lnPt-1(13)

然后以這些自然對數(shù)收益率為該研究的總體樣本，采用超越閾值的方法進(jìn)行極值樣本數(shù)據(jù)的選取。數(shù)據(jù)摘自中文雅虎網(wǎng)站。

(二)自然對數(shù)收益率分布特征的正態(tài)性檢驗

Q-Q圖可以表明股票指數(shù)收益是否服從正態(tài)分布，其中直線代表高斯分位數(shù)，而曲線代表上證指數(shù)收益實(shí)際分布的分位數(shù)。如果實(shí)際收益分布服從正態(tài)分布，那么實(shí)際分位數(shù)應(yīng)與高斯分位數(shù)相一致，即應(yīng)該近似是一條直線。從圖1中可以看出實(shí)際分位數(shù)曲線與高斯分位數(shù)直線吻合得不是很好，說明實(shí)際分布偏離正態(tài)分布。圖2以上證指數(shù)左尾正態(tài)分布統(tǒng)計檢驗為例進(jìn)一步分析尾部厚度，數(shù)據(jù)選取上證自然對數(shù)日收益(2004年1月2日到2007年5月29日數(shù)據(jù)大小排序)中的81個極小值，占總體大樣本的10%，實(shí)際上證指數(shù)左尾收益分位數(shù)曲線偏離高斯線程度很大，則說明實(shí)際左尾的尾部很厚。由圖3可見，實(shí)際收益尾部分布偏離正態(tài)分布較遠(yuǎn)，說明實(shí)際分布呈現(xiàn)厚尾特征

圖1 正態(tài)分布檢驗圖

圖2 左尾正態(tài)分布檢驗圖

圖3 偏離正態(tài)分布檢驗圖

(三)應(yīng)用極值理論計算風(fēng)險價值VaR

這一部分主要介紹應(yīng)用廣義帕雷托分布(GPD )計算上證指數(shù)VaR的步驟以及如何計算上證指數(shù)自然對數(shù)收益分布右尾和左尾的風(fēng)險價值。

圖4 樣本觀察值帕雷托分布分位數(shù)檢驗圖

圖4是樣本觀察值帕雷托分布分位數(shù)檢驗圖，我們假設(shè)閾值u=0.2，如果大于閾值u的樣本分布滿足帕雷托分布，則其表現(xiàn)是應(yīng)該接近直線;相反，如果其大部分表現(xiàn)偏離直線比較遠(yuǎn)，則樣本分布與帕雷托分布是不同的分布。從圖4可以看出大于閾值u的樣本大部分分布在直線附近，且表現(xiàn)相同的趨勢，我們得出結(jié)論:這個樣本分布服從帕雷托分布。

盡管應(yīng)用極值理論可以解決小樣本帶來的樣本不足的問題，但是最關(guān)鍵的問題是選擇閾值u，極值理論告訴我們要選擇一個充分大的閾值，才能滿足超越閾值的分布函數(shù)近似等于帕雷托分布，即

，但是選取的閾值越大，剩下用來估計尾部分布函數(shù)的的觀察值就越少，這樣就會導(dǎo)致估計的精確性越差。這里我們引入樣本超越量均值函數(shù)(mean excess function，以下簡稱MEF)這個分析工具來決定閾值u，樣本超越量均值函數(shù)定義為:

MEF是所有大于閾值u長度量的集合除以大于閾值的數(shù)據(jù)個數(shù)，它描述的是一旦有大于閾值u的情況發(fā)生，那么我們估計大于閾值的長度量是多少。

圖5是超越量均值函數(shù)圖，因為在u附近樣本超越量均值函數(shù)由水平狀態(tài)向正的斜率變化，所以確定估計的閾值u=0.033。

圖5 超越量均值函數(shù)圖(右尾)

由極值理論知道大于尾部閾值的分布函數(shù)近似服從帕雷托分布，圖4證明了這一點(diǎn)，下面我們用極大似然估計方法來估計帕雷托分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù):

假設(shè)大于尾部閾值u的超越量y={y1，y2，…，yn｝，極大似然函數(shù)L(ξ，σ|z)是這些n個觀察值的廣義帕雷托聯(lián)合對數(shù)分布密度:

在閾值u = 0.033的情況下，求得極大似然函數(shù)的尺度參數(shù)σ=0.02，形狀參數(shù)ξ=0.23。

對于處理極小值情況同極大值相似，我們只需把極小值前加上一個負(fù)號，這樣都變成正的極值，方法同上。圖6是極小值情況下的超越量均值函數(shù)圖，方法同極大值一樣，從圖中觀察得u=0.022，我們用極大似然估計方法求得尺度參數(shù)σ=0.015，形狀參數(shù)ξ=0.183。

圖6 超越量均值函數(shù)圖(左尾)

圖7 (閾值=0.033)

圖8 (閾值=0.022)

圖7和圖8分別檢驗帕累托分布參數(shù)估計，從圖中可以看出都較好地滿足帕累托分布，而且選擇較小的閾值0.036效果更好，驗證了在選擇充分大的閾值時超越閾值的分布更近似等于帕累托分布。

應(yīng)用前文帕累托分布得出的VaR公式以及衍生的ES公式，我們在分位數(shù)α=0.05和α=0.01條件下計算VaR和ES，結(jié)果如下表所示:

表1 應(yīng)用廣義帕雷托分布(GPD)計算VaR與ES結(jié)果

uξσVaR(95%)VaR(99%)ES(95%)ES(99%)

極大值情形0.0330.230.020.02270.05320.03120.0611

極小值情形0.0220.1830.0150.03760.06810.04430.0736

(四)模型的測度效果評價:Back-Test檢驗

本文將使用2006年1月4日到2007年5月29日共323個對數(shù)收益率來檢驗VaR模型的預(yù)測效果。

圖9是上證指數(shù)對數(shù)收益圖，從圖中可以看出極小值的收益波動比極大值收益波動劇烈，而且在中間時間段的波動性要比兩端的波動強(qiáng)烈得多，還表現(xiàn)出一定的波動集聚性(volatility clustering)。

圖9 上證指數(shù)自然對數(shù)收益分布圖(2006.1.4-2007.5.29)

表2 實(shí)際損失大于VaR的次數(shù)

VaR計算方法σ廣義帕累托分布?xì)v史模擬法正態(tài)分布t分布

極大值情形

0.054(0.93%)7(1.8%)5(2.2%)4(0.93%)

0.012(0.46%)4(0.93%)4(0.93%)2(0.46%)

極小值情形

0.056(0.4%)16(3.2%)6(1.5%)3(0.23%)

0.010(0)1(0.13%)2(0.46%)0(0)

表2是檢驗2006年1月4日到2007年5月29日實(shí)際自然對數(shù)收益大于VaR的次數(shù)統(tǒng)計表，括號里面的數(shù)字代表了失敗率，從中可以看出歷史模擬法失敗率較高，應(yīng)用極值理論計算的VaR失敗率最低。一般來講，由Kupiec給出的似然比檢驗，我們就可以得到某一模型是否有效地接受或拒絕，對于樣本的數(shù)據(jù)(T=323)，在99%的置信度下，預(yù)期觀測到的失敗個數(shù)應(yīng)為N=P*T =1%*323=3，但是只要N在區(qū)間(1，8)內(nèi)，則不能拒絕零假設(shè)，N>8表明模型低估了損失發(fā)生的概率;N<1表明VaR模型過于保守。

比較表2我們1發(fā)現(xiàn)在=0.01時的極小值情況下，失敗率是零，因此認(rèn)為應(yīng)用極值理論計算VaR的模型是相對比較保守的模型，這與大多數(shù)理論觀點(diǎn)相一致，而且大多數(shù)學(xué)者還認(rèn)為因為金融機(jī)構(gòu)使用相對保守的VaR模型會提高其資本需求，一般不會愿意使用更好的VaR模型。其實(shí)正是這一“缺點(diǎn)”，在實(shí)際應(yīng)用中，極值方法計算的VaR對防范災(zāi)難性損失的風(fēng)險具有更大的可靠性。

由上面分析知道，正態(tài)分布假設(shè)和歷史模擬法在本文中嚴(yán)重低估了風(fēng)險價值，然而用似然比檢驗傳統(tǒng)風(fēng)險價值的計算方法，我們卻不能拒絕其零假設(shè)，這同時也說明似然比檢驗的片面性。

五、總結(jié)

在風(fēng)險管理中， 收益分布的合理假設(shè)是正確度量風(fēng)險的前提條件，可是現(xiàn)有的分布， 尤其是廣泛應(yīng)用的正態(tài)分布，都與實(shí)際金融收益分布存在著較大的差距，而基于極值理論的廣義帕雷托模型僅考慮分布尾部，不是對整個分布進(jìn)行建模，這就避開了分布假設(shè)難題。我們的檢驗結(jié)果也表明極值理論的確可以比較精確地度量VaR和ES。

最后，本文討論了金融收益的厚尾特征對風(fēng)險價值計算結(jié)果的影響，主要運(yùn)用廣義帕雷托分布(GPD )估計上證指數(shù)日收益率的VaR，而對于應(yīng)用廣義極值分布(GEV)估計VaR沒有進(jìn)行深入的討論和證明。另外，只建立了靜態(tài)的風(fēng)險度量模型，對于動態(tài)的風(fēng)險管理模型以及通過偽最大似然估計方法用GARCH模型對收益數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合沒有進(jìn)行深入的研究，這些都是我們今后有待改進(jìn)的地方。

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(作者通訊地址:浙江工商大學(xué)金融學(xué)院 浙江 杭州 310018)