2009年10月的一天，我給學(xué)生布置了浙江版教材第四章第4.3節(jié)第112頁第7題(即“有一條直角邊和斜邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似”)的作業(yè)，由于作業(yè)輔導(dǎo)課時(shí)間受限，完成本題學(xué)生顯得較倉促，否則為師的我定然會根據(jù)輔導(dǎo)巡視時(shí)所獲得的反饋，給予適當(dāng)?shù)奶崾旧踔吝€會給予最常規(guī)的證法作為示范。幸好這樣的預(yù)設(shè)因時(shí)間問題而被迫終止，雖然當(dāng)時(shí)略有遺憾地離開課堂但卻因之獲得意外之喜:批閱學(xué)生作業(yè)時(shí)，證明方法中走尋常路者居多，而且還存在推理不嚴(yán)密、層次不清、因果關(guān)系張冠李戴等情形，但作業(yè)中所表現(xiàn)出來不同證法讓批閱的我眼前為之一亮。于是我雙手拿著作業(yè)本合壓在胸口，閉上眼睛，陶醉于不曾始料的驚喜之中。此刻，我想把同學(xué)們的解法一一展示給朋友們，旨在投石問路，獲得更大更多的意外。

一、證明方法展示

(一)常規(guī)證法

這種證法是教材教學(xué)參考用書提供的方法。這種方法與剛剛學(xué)習(xí)的比例中常用的“設(shè)比值k”通法，時(shí)間間隔短，在學(xué)習(xí)中尚處于正遷移的有利時(shí)期，想到它屬于正常。至于直角三角形有“已知兩邊”而聯(lián)想到勾股定理去表示第三邊是很自然的思維。

1.學(xué)生中也出現(xiàn)不嚴(yán)密的推理跳躍性證明:

∵∠C=∠C′=90°

∴BC=，

B′C′=

=

∵=

∴==，(這一步推理產(chǎn)生了跳躍)

∴△ACB∽△A′C′B′

2.教師參考用書中提供的證明:

設(shè)==k，

則AC=kA′C′，AB=kA′B′

∵∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠

BC=

=

=k=kB′C′

∴===k

∴Rt△ACB∽Rt△A′C′B′(“SSS”相似)

(二)“平移”法

這種證明方法，屬于趁熱打鐵，因?yàn)楸竟?jié)中曾用此法證明“邊角邊”相似，學(xué)生想到是再正常不過了的。

方法一:不妨設(shè)A′C′≥AC，在A′C′和A′B′上分別截取A′D=AC，A′E=AB，連結(jié)

DE。

又∵=

∴=

∵∠A′=∠A′，

∴△A′ED∽△A′B′C′.

∴∠A′DE=∠C′=90°

A′D=AC，∠C=∠A′DE=90°，A′E=AB

∴△ACB≌△A′DE(HL).

∴△ACB∽△A′C′B′(相似的傳遞性)

方法二:在A′C′上取A′D=AC，過點(diǎn)D作DE∥B′C′交A′B′于E.

∴△A′DE∽△A′C′B′

∴=

∵=

∴=

∴ A′E=AB

∵A′D=AC，∠C=∠A′DE=90°

∴△ACB∽△A′DE

∴△ACB∽△A′C′B′(相似三角形的傳遞性)

(三)“三角函數(shù)”法

為知識的系統(tǒng)性與完整性考慮，并根據(jù)學(xué)生實(shí)際，我們在學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，就調(diào)整先學(xué)習(xí)三角函數(shù)，因此只要學(xué)過三角函數(shù)的學(xué)生，本方法還是很自然聯(lián)想到。因?yàn)樵谥苯侨切沃?，直角邊與斜邊的比可定義為某個(gè)銳角的正(余)弦，所以由此想到正(余)函數(shù)值相等的兩個(gè)銳角相等而得∠B=∠B′。

方法一證明:

∵∠ACB=∠A′C′B′=90°

∴sinB=，sinB′=

∵=

∴ sinB=sinB′

∵∠B，∠B′都是銳角

∴∠B=∠B′

∵∠ACB=∠A′C′B′=90°

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(“AA”相似)

方法二證明:由方法一可知∠B=∠B′

∵∠ACB=∠A′C′B′=90°

∴∠A=∠A′

∵=

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(“SAS”相似)

(四)“意料不及”的證法——“中線”閃亮登場

這是由我所任教班級中一位名叫王威的聰明男生所創(chuàng)，批閱他的作業(yè)時(shí)，非常佩服他的思維，想不到他能把直角三角形斜邊上的中線拿過來當(dāng)“輔助線”，他靈感來得好奇妙喲;同時(shí)也獲得一種學(xué)生超越老師的莫大幸福!教學(xué)相長，師生共進(jìn)，不正是我們翹首以盼的嘛?

證法一:分別取AB、A′B′中點(diǎn)D、D′，連結(jié)CD，C′D′。

∴ AD=AB，A′D′=A′B′

∵∠ACB=∠A′C′B′=90°

∴CD=AB，C′D′=A′B′

∴CD=AD=AB，C′D′=A′D′=A′B′

∴==

∵=

∴==

∴△ACD∽△A′C′D′(“SSS”相似)

∴∠A=∠A′

∵∠ACB=∠A′C′B′=90°

∴△ACB∽△A′C′B′(“AA”相似)

證法二:由證法一得∠A=∠A′

∵=

∴△ACB∽△A′C′B′(“SAS”相似)

二、教師變得“懶”一點(diǎn)，學(xué)生就會聰明點(diǎn)

勤學(xué)苦教依然是教學(xué)在較長時(shí)間內(nèi)存在的風(fēng)貌，為師的總擔(dān)心學(xué)生不會，怕學(xué)生出錯(cuò)，為此勤快的教師們喜歡不停地輔導(dǎo)，不辭辛勞地講解，這對鞏固知識與方法當(dāng)然有利，可過多的束縛換來的結(jié)果是一個(gè)個(gè)唯唯諾諾、按部就班的聽話的乖學(xué)生，這該是教育所不愿看到的，也是未來的憂慮。農(nóng)村有句俗話:懶媽媽培養(yǎng)出勤孩子。有時(shí)教師還是學(xué)得“偷懶”點(diǎn)，在教學(xué)中適當(dāng)放手，給學(xué)生多一點(diǎn)體驗(yàn)，多給他們自主的時(shí)間與空間，還給學(xué)生自主發(fā)揮天地，充分展示主動(dòng)性、創(chuàng)造性。

“一個(gè)蘋果與另一個(gè)蘋果的交換，還是只得了一個(gè)蘋果;一個(gè)想法與另一個(gè)想法的交流，得到的是兩種想法?！睘榇?，我把學(xué)生的不同解法，利用作業(yè)講評時(shí)間，一一利用多媒體進(jìn)行全班充分的交流，把個(gè)別的解法成為集體的解法，把單一的解法改寫成多樣解法;同時(shí)與同行交流，方法的輻射不僅在我所教班級，在其他班級也相繼開花。在作業(yè)講評時(shí)進(jìn)行滲透教育:無論你在校內(nèi)還是走向社會，無論自己年輕還是年長，無論對方身份、年齡與地位、學(xué)識，比自己方法恰當(dāng)?shù)幕蛘吲c自己方法不同的，凡是比自己強(qiáng)的，都要欣然地去學(xué)習(xí)，只要這樣我們才變得更強(qiáng)大。比如我，當(dāng)我看到同學(xué)們的不同解答時(shí)，除了欣賞，我及時(shí)把他們的思維在反思環(huán)節(jié)中作了筆記，并儲存到大腦中，希望作為恒久的美好記憶。

還學(xué)生自主，不要再只成為口頭語，主體自主，師生共贏。

作者單位:浙江義烏市賓王中學(xué)