教學目標:

1.知識目標

(1)理解并掌握用數(shù)學歸納法原理及證明的三個步驟。

(2)會用數(shù)學歸納法證明等式和不等式。

2.能力目標

通過對數(shù)學歸納法的復習、應(yīng)用，培養(yǎng)學生分析問題的能力和嚴密的邏輯推理能力。

3.情感目標

(1)通過對數(shù)學歸納法原理的復習探究，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)?、實事求是的科學態(tài)度和不怕困難、勇于探索的精神。

(2)讓學生通過對數(shù)學歸納法原理的理解，感受數(shù)學內(nèi)在美的震憾力，從而使學生喜歡數(shù)學。

(3)學生通過質(zhì)疑與探究，培養(yǎng)學生獨立的人格與敢于創(chuàng)新精神。

教學重難點

1.重 點

(1)理解數(shù)學歸納法的原理。

(2)明確用數(shù)學歸納法證明命題的三個步驟。

(3)會用數(shù)學歸納法證明等式和不等式。

2.難 點

(1)對數(shù)學歸納法原理的理解，即理解數(shù)學歸納法證題的嚴密性與有效性。

(2)假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當n=k+1時結(jié)論正確。

教學方法:

通過多媒體師生互動討論、探究的方法

教學過程:

一、創(chuàng)設(shè)情境，啟動思維

讓學生復習教材，同時探究下面的三道小題，從而達到溫故而知新的目的。

二、討論交流，深化認識

1.用數(shù)學歸納法證明“2n>n2+1對n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 5 。

注意起始值的驗證，因為它是遞推的基礎(chǔ)。

2.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”時，下列過程中正確的個數(shù)是 ②③ 。

①驗證n=1時成立，由“n=k(k為正奇數(shù))時命題成立”推出“n=k+1時命題成立”;

②驗證n=1時成立，由“n=k(k為正奇數(shù))時命題成立”推出“n=k+2時命題成立”;

③驗證n=1時成立，由“n=2k-1(k為正整數(shù))時命題成立”推出“n=2k+1時命題成立”;

④驗證n=3時成立，由“n=2k+1(k為正整數(shù))時命題成立”推出“n=2k+3時命題成立”;

3.對于不等式1，n∈N*)，某學生用數(shù)學歸納法的證明過程如下:

(1)當n=2時，<2+1不等式成立;

(2)假設(shè)n=k(k>2，k∈N*)時，不等式成立，即

=<<=(k+1)+1，

故當n=k+1時，不等式成立.上述證法是否正確，若不正確請指出。

Ⅰ歸納假設(shè)不能脫離遞推的基礎(chǔ)。

Ⅱ一定要運用歸納假設(shè)。

Ⅲ注意證明步驟的完整性。

三、典例解析，鞏固提高

例1.已知n∈N*，用數(shù)學歸納法證明:

1-+-+…+-=++…+.

證明:(1)當n=1時，左邊=1-=，右邊，等式成立;

(2)假設(shè)當n=k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即有:

1-+-+…+-=++…+.

那么當n=k+1時，

左邊=1-+-+…+-+-

=++…++-

=++…+++-

=++…++

=右邊;

所以當n=k+1時等式也成立.

綜合(1)(2)知對一切n∈N*，等式都成立.

思維點撥:仔細觀察欲證等式的結(jié)構(gòu)特征，在第二步證明當n=k+1時向目標式靠攏是關(guān)鍵.

例2.用數(shù)學歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù)n，不等式(1+)(1+)…(1+)>成立.

證明:(1)當n=2時，左=1+=，右=，左>右，

∴不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2，且k∈N*)時，不等式成立，即

(1+)(1+)…(1+)>

那么當n=k+1時，

(1+)(1+)…(1+)=1+>#8226;

=

=>

==

∴n=k+1時，不等式也成立.

由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.

例3.求證:對一切大于1的自然數(shù)n，1+<1+++…+。

證明:(1)令f(n)=1+++…+，

當n=2時，原不等式成立;

(2)設(shè)n=k(k∈N*)時不等式也成立，

即1+≤1+++…+，

則當n=k+1時，

f(k+1)=1+++…+≥1++++…+>1++=1++=1+

即n=k+1時，命題成立

綜合(1)(2)可得:原命題n∈N*對原不等式成立。

思維點撥:證明當n=k+1時向目標式靠攏時注意增加的項數(shù)，同時要注意需要逐項放縮。

四、反思感悟(師生共同完成)

注意“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”;

從n=k到n=k+1時，變形方法有因式分解、添拆項、配方、放縮等方法。

五、課后練習

1.設(shè)f(n)=1+++…+，是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)+ f(2)+…+f(n-1)=g(n)#8226;f(n)-1對于n≥2的一切自然數(shù)都成立?證明你的結(jié)論。

2.用數(shù)學歸納法證明:

++…+<(n∈N*).

3.思考:例2能不能利用其他方法去證明。

作者單位:湖北省浠水縣高考復讀中心