摘 要:積分法，包括有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分，都是對未知積分進行變形，使之轉(zhuǎn)化為已知積分。這正是化歸的核心。因此，應(yīng)以化歸的思想統(tǒng)一認識積分的方法，在化歸之下認識積分法的整體性。

關(guān)鍵詞:積分法 整體性 化歸

積分法，各部分獨立性較強，內(nèi)容松散、相互關(guān)聯(lián)不多。初學(xué)者易只見樹木不見森林，不能構(gòu)成整體性認識。其實，積分法，包括有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分，都是對未知積分進行變形，使之轉(zhuǎn)化為已知積分。這正是化歸的核心。因此，應(yīng)以化歸的思想統(tǒng)一認識積分方法，在化歸之下認識積分法的整體性。本文擬從三個方面對此作一粗淺的討論。

一、關(guān)于化歸的方向

與用化歸法解決其他問題一樣，求積分時，也是化未知為已知、化一般為特殊。例如，求有理函數(shù)的積分時，就是把一般的有理函數(shù)化歸為五種特殊類型的有理函數(shù)的線性組合，因為這五種特殊類型的有理函數(shù)的積分能夠解決，所以我們能解決一般的有理函數(shù)的積分。

至于化難為易、化繁為簡則要具體問題具體分析，不能僅從形式上來看。

值得注意的是，在解題時需要經(jīng)過多次的反復(fù)與嘗試，在實踐中接受反饋信息，選擇更為可取的化歸方向，以實現(xiàn)真正意義上的化歸。

二、關(guān)于變化的成分

一般地，用化歸法解決問題時，既可以對整個問題進行變形，也可以對已知條件及未知結(jié)論中的某一方面進行變形。積分中可供變化的成分有被積函數(shù)、被積表達式以及整個積分式。

1.對被積函數(shù)進行恒等變形

對被積函數(shù)進行恒等變形，可以把未知的積分化歸為能用基本積分公式解決的積分。基本積分法和直接積分法就是對被積函數(shù)進行恒等變形的化歸法。

2.對被積表達式進行恒等轉(zhuǎn)化

對被積表達式進行恒等轉(zhuǎn)化的目的是把它化歸為標準形式的積分表達式。換元積分法就是把被積表達式作為可變成分的化歸法。

3.對整個積分式進行恒等變換

運用分部積分公式可以對整個積分式進行恒等變換，從而把未知的積分化歸為已知的或比較容易、比較簡單的積分。

正如求積分時，各種積分方法要交替使用一樣，對積分的三個成分進行變形一般也是交替進行的。

把積分法融于對積分的三個成分進行變化的過程之中，由此來認識積分法，顯示出積分法是一個統(tǒng)一的、連貫的整體。

三、關(guān)于化歸的方法

顯然，求積分的關(guān)鍵在于如何實現(xiàn)從未知積分向已知積分的轉(zhuǎn)化。用以實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法是比較多、比較靈活的。常用的有分割法、映射法和恒等變形法。

1.分割法

分割法就是把要解決的問題按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易求解。求積分時常用的對被積函數(shù)的分解就是分割法的一種。對被積函數(shù)的分割常被用到由一般向特殊的化歸上，比較典型的就是有理函數(shù)的積分。

分割的目的是為了實現(xiàn)化未知為已知、化難為易、化繁為簡。

2.映射法

映射法是指在兩類數(shù)學(xué)對象或兩個集合的元素之間建立某種對應(yīng)關(guān)系。

例如，取余法與換元法，它們都是映射法。

用映射法求積分時，一般先通過映射將未知積分轉(zhuǎn)化為已知積分，求出這個積分后再通過映射求出原來的積分。

用映射法求積分時要注意兩個方面:轉(zhuǎn)化后的積分是已知的或比較容易、比較簡單的;映射是可逆的。由于這第二方面的要求，我們往往對映射加上一些限制條件。

3.恒等變形法

對積分進行化歸時，恒等變形法是經(jīng)常用到的，特別是代數(shù)式的恒等變形和三角函數(shù)的恒等變形。有理式的分解也可以看成是一種恒等變形。

進行恒等變形的目的是為了通過適當(dāng)?shù)淖兓鴮崿F(xiàn)化歸方向進行的化歸。分部積分法就是就是利用恒等變形以求得變化的例子。

在實際應(yīng)用時，上述三種化歸的方法也是交錯進行的，有時需要進行多次的化歸。如三角函數(shù)有理式的積分就是一個二次化歸的例子，只不過在解題時把它們合并起來了。

綜上所述，以化歸的思想統(tǒng)一認識積分方法，核心是以可變的觀念看問題;關(guān)鍵是善于對所要解決的問題進行變換;值得注意的是要選擇好化歸的方向，以實現(xiàn)真正意義上的化歸。

為了求出積分，必須對其進行化歸，本文粗淺地討論了把積分化歸成什么形式，對它的什么部分進行化歸，以及怎樣化歸這樣三個問題，不當(dāng)之處敬請諒解并加以指正。

作者單位:江蘇鹽城紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院