岳德明

一、量、計量單位及計量的基本含義

量，是數(shù)學(xué)中的一個基本概念。例如，我們要經(jīng)常測定生活、生產(chǎn)中的某些事物存在規(guī)模和發(fā)展程度的多少、大小、長短、厚薄、速度等屬性，那么這些可以測定的對象就是量。量有連續(xù)量與不連續(xù)量之分。小學(xué)中，一般不給“量”下嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

為了真實(shí)地測定出某個量存在的規(guī)模和發(fā)展程度，就需要一個約定的“標(biāo)準(zhǔn)”。那么，用來作為測定量的這個標(biāo)準(zhǔn)就叫做計量單位。每一種測量工具都有計量單位，而且測量同一類量的計量工具還有不同程度的計量單位。例如，長度計量單位有厘米、分米、米等，面積單位有平方厘米、平方分米、平方米等。因此，用一種測量工具測定同一個量，得到的量數(shù)也不一樣。用1cm計量單位的工具去測量一條線段，最得的結(jié)果是3cm，也就是說，這條線段的長度是這個計量單位的3倍，那么，這個3就叫做1cm的量數(shù)；如果用計量單位1m的工具去測量該線段的長度時，量得的結(jié)果是0.03m。同一個量隨著測量工具的計量單位變化，所得到的量數(shù)也不一樣。

由此可見，所謂計量，是指把一個約定的標(biāo)準(zhǔn)量與一個未知量作比較的過程。如要測量一條線段的長度，就要用一把有刻度的尺去量這條線段，有刻度的尺是標(biāo)準(zhǔn)量，需要測量的線段長度是未知量，用尺測量線段長度的過程就是計量。

傳統(tǒng)上，說起計量往往會被理解為度、量、衡：度是用計量工具尺計量長度，量是用計量工具升計量容量(液體)，衡是用秤計量工具計量重(質(zhì))量。事實(shí)上，度、量、衡只是計量中的一小部分。可見，計量實(shí)際上是運(yùn)用計量工具測定被計量對象屬性多少、大小、長短、厚薄、快慢等的活動。

用計量工具計量某個量后，就得到這個量的量數(shù)。這個量數(shù)有大有小，就可以用數(shù)來反映。量數(shù)(數(shù))與量的計量單位聯(lián)系起來就能清楚、準(zhǔn)確地反映量的屬性、程度。那么，將一個量的量數(shù)并附上計量單位的總稱，就是數(shù)量。像3cm、0.03m等就是數(shù)量。數(shù)量能清楚、準(zhǔn)確地反映量的屬性、程度。

二、幾個重要量的教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材(上教社，下同)中，學(xué)生所要學(xué)習(xí)的量很多，其中長度、面積、體積等幾個重要的量更需要扎扎實(shí)實(shí)學(xué)習(xí)好。學(xué)生學(xué)習(xí)某個量，將依次需要學(xué)習(xí)量的概念及其計量單位和計量方法等知識。

1量其計量單位的教學(xué)

量有大、有小。大與小是相對而言的，只有通過對量進(jìn)行比較后，才能說一個量比另一個量大，或一個量比另一個量小。學(xué)生在生活中也已經(jīng)積累了不少有關(guān)量的生活經(jīng)驗(yàn)。因此，教學(xué)時除了采用比較的方法外，還應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)他們從“半生活半數(shù)學(xué)的量”，逐步走向數(shù)學(xué)意義上的“量”。

案例長度及其單位的教學(xué)

長度是指平面上兩點(diǎn)間的距離。在小學(xué)數(shù)學(xué)中一般不給長度下定義，而是從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，用比較入手，逐步引導(dǎo)他們感受、建立長度經(jīng)驗(yàn)。首先，讓兩名同學(xué)比身高(長)，兩支鉛筆比長短。學(xué)生有經(jīng)驗(yàn)，只要將

兩者的一端對齊，看另一端，另一端長就長、另一端短就短。初步建立長度觀念。

但是，一支鉛筆到底有多長，一支鉛筆比另一支鉛筆到底長多少，這就需要借助“第三者”來進(jìn)行定量比較才公平。把兩支鉛筆放在每小格完全相同的方格紙上(如下圖所示)，就可看出上面一支鉛筆占8格，下面一支鉛筆占6格，上面一支鉛筆比下面一支鉛筆長2格。學(xué)生在用方格紙比較長度中知道要比較兩個量分別是多少，或一個量比另一個量長多少，可借助“第三者”來比較，而且還可用自己的腳步、眼等“計量單位”進(jìn)行比較，以進(jìn)一步積累長度經(jīng)驗(yàn)。

接著，教師讓學(xué)生經(jīng)歷需要建立一個統(tǒng)一長度計量單位的活動。教師讓學(xué)生將兩支鉛筆再放在兩張方格紙上(如下圖)，并比較兩支鉛筆哪支長。這時，學(xué)生在認(rèn)識上發(fā)生沖突，上面一支鉛筆長占8格，下面一支鉛筆長也占8格，“一樣長”。明明是上面一支鉛筆比下一支鉛筆長，現(xiàn)在怎么會一樣長呢?他們強(qiáng)烈地感受到需要用一個統(tǒng)一的格子(計量單位)去比較兩支鉛筆，才能真實(shí)地比較出兩支鉛筆的長短，產(chǎn)生學(xué)習(xí)統(tǒng)一的長度計量單位的心理需求。

在此基礎(chǔ)上，教師介紹計量工具尺，并教學(xué)長度計量單位“標(biāo)準(zhǔn)量”厘米。教師讓學(xué)生拿出直尺，找到0刻度線、1刻度線、2刻度線……在數(shù)學(xué)上，從0刻度線到1刻度線的長度是1厘米(如下圖)。1厘米“就是測量鉛筆長度的統(tǒng)一格子”，與學(xué)生的手指寬度差不多。教師要求學(xué)生再舉例，生活中哪些物體的長度大約也是1厘米長，幫助他們建立1厘米的長度表象。

學(xué)生認(rèn)識長度計量工具及單位后，教師讓他們在尺上指出1厘米、2厘米、3厘米等“線段”，感受直尺上就有許多線段：從0刻度線到2刻度線間有2個1厘米，是2厘米；從1刻度線到4刻度線間有3個1厘米，是3厘米……

最后，教師要求學(xué)生用直尺測量鉛筆長度、小刀片長度……使他們體驗(yàn)物體有長度，并可用統(tǒng)一長度單位的尺準(zhǔn)確地測量出來，不斷積累長度經(jīng)驗(yàn)。長度經(jīng)驗(yàn)及其計量單位表象的建立，又為學(xué)生學(xué)習(xí)其他長度單位打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

案例面積及其單位的教學(xué)

教師先讓學(xué)生拿出兩個太小顯著的長方形(如下圖)，要求他們用水彩筆“勻速”地涂兩個長方形再比較大?。灰部勺寣W(xué)生用視覺直接比較大小，還可用重疊的辦法比較。教師再跟進(jìn)：左面長方形比右面長方形大，在數(shù)學(xué)上就說左面長方形的面積比右面長方形的面積大，或者右面長方形的面積比左面長方形的面積小。通過定性比較，幫助學(xué)生初步感知面積經(jīng)驗(yàn)。

那么，兩個平面圖形比較面積大小，其中一個圖形的面積比另一個圖形面積到底大多少?教師再從長方體和正方體教具上分別撕下兩個平面圖形(如下圖)，并要求學(xué)生說說哪個圖形的面積大一些，大多少?

這時，教師要求學(xué)生把透明方格紙蓋在A、B兩個圖形上并問：現(xiàn)在知道這兩個圖形的面積誰大、誰小了嗎?誰比誰多(少)多少了嗎?學(xué)生通過數(shù)方格，知道A圖形有15小格，B圖形有16小格，所以A圖形比B圖形小，A圖形比B圖形小l格。教師跟進(jìn)：在數(shù)學(xué)上，我們就說A圖形的面積比B圖形的面積小，或者說，B圖形的面積比A圖形的面積大。逐步從定性比較走向定量比較。

教師再要求學(xué)生用數(shù)方格的方法，說出下面平面圖形的面積，并揭示面積的基本含義：(所謂)平面圖形或物體表面的面積，指的就是它們的大小(情況)。

接著，教師要求學(xué)生說說下面兩個長方形的面積誰大、誰小，為什么?

此時，學(xué)生認(rèn)知上又發(fā)生了矛盾，體驗(yàn)到僅憑數(shù)格子無法真實(shí)地反映兩個長方形面積的大小，同時也催生出需要學(xué)習(xí)統(tǒng)一面積計量單位的強(qiáng)烈心理需求。教師隨即讓學(xué)生將方格紙放在兩個長方形上面，再數(shù)格子，比較兩個長方形的面積。學(xué)生立刻發(fā)現(xiàn)一個12小格，一個48小格，顯然左面的長方形面積要比右面的小。

此時，學(xué)生學(xué)習(xí)面積計量單位水到渠成。教師要求學(xué)生用尺量出方格紙1格的邊長長度，并跟進(jìn)：邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米：再幫助他們建立1平方厘米的表

象：那么，生活中哪些圖形或者物體表面的面積與1平方厘米差不多?學(xué)生舉出1格作文紙、1小塊修正紙、手指甲的表面等。

最后，教師讓學(xué)生在方格紙上涂出1平方厘米、2平方厘米、5平方厘米等圖形，使他們感受到這張方格紙可以計量平面圖形的面積。

案例體積及其單位的教學(xué)

在長度、面積、體積三個重要量中，體積概念更難理解。但是，學(xué)生在生活中還是積累了許多體積經(jīng)驗(yàn)，像大人與小孩、講臺與課桌等，因此，體積概念的教學(xué)也應(yīng)借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，并采用比較的方法。

實(shí)際上，學(xué)生理解“空間”比理解體積似乎更困難。教師呈示一只里面已經(jīng)裝了一些貨物的集裝箱：集裝箱里面還能裝貨物嗎?為什么?學(xué)生感受到集裝箱里面還能裝貨物，因?yàn)槔锩孢€有“空間”。教師說：對!并呈示課件，繼續(xù)往集裝箱里裝貨物，直至裝滿。這說明物體占有空間。接著，教師讓學(xué)生舉例，學(xué)生舉出鉛筆盒占了書包的一些空間、書包占了課桌抽屜的一些空間……教師跟進(jìn)：那么，誰占的空間大?誰占的空間小?顯然，書包所占的空間要比鉛筆盒所占的空間大，或者鉛筆盒所占的空間要比書包所占的空間小。

在此基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)行三個層次的教學(xué)，幫助學(xué)生不斷豐富、積累體積經(jīng)驗(yàn)。第一，將兩個“相似”物體，大小明顯到可用視覺加以確認(rèn)后，想象一個物體包含在另一個物體之內(nèi)。例如，大象身體與老鼠身體比較，誰占的空間大?學(xué)生通過視覺就能知道大象身體能包含老鼠身體(學(xué)生語“老鼠鉆入大象的鼻子內(nèi)”)，顯然，大象身體所占的空間比老鼠所占空間大。那么，數(shù)學(xué)上，把物體占的空間的大小叫做物體的體積。在這里，就說成大象身體體積比老鼠身體體積大，使學(xué)生初步形成物體體積具象。再如，集裝箱體積與里面所裝貨物的體積和比較，誰的體積大?顯然，集裝箱的長、寬、高都大于里面貨物的長、寬、高，也就是說大長方體包含了小長方體，因此，集裝箱體積要比里面所裝貨物的體積和大。

第二，教師讓學(xué)生用兩個特殊的物體——長方體，對其進(jìn)行長、寬、高的兩兩直接比較，例如，讓學(xué)生拿出兩本書，分別比較它們的長、寬、高，并讓大家邊比較、邊觀察、邊說說誰的體積大，誰的體積小：如果兩本書的封面面積(長、寬一樣)一樣大，那么比厚，哪本書厚那本書的體積就較大；如果兩本書的寬、厚一樣，那么比長，哪本書長那本書的體積就較大：如果兩本書的長、厚一樣，那么比寬，哪本書寬那本書的體積就較大。學(xué)生感受到長方體所占空間的大小受它的長、寬、高影響，比較兩個長方體的體積大小要看它們的長、寬、高，以區(qū)分“空間大小”與“面積大小”，發(fā)展空間觀念，進(jìn)一步積累體積經(jīng)驗(yàn)。

第三，如果難以直接比較兩個物體體積的大小，就需要進(jìn)行間接比較。學(xué)生會把甲乙兩杯水(體積)倒入同一個長方體玻璃缸內(nèi)，并發(fā)現(xiàn)甲杯水高一些，乙杯水低一些，進(jìn)而判斷出甲杯水體積比乙杯水體積大。

緊接著，教師讓學(xué)生觀察、思考，把甲杯水倒入長方體玻璃缸內(nèi)后，水的體積前后是否發(fā)生變化?使他們知道在不計算損耗的情況下體積具有守恒性。學(xué)生知道了物體體積的守恒性，對他們計算組合體體積有著重要的幫助。

學(xué)生通過學(xué)習(xí)長度、面積概念及其計量單位后，已有經(jīng)驗(yàn)，要計量一個物體的體積，同樣需要統(tǒng)一的體積計量單位。因此，教學(xué)體積計量單位時，可以開門見山。教師首先出示一個長方體和一個正方體，讓學(xué)生直接比較它們的體積，并問：那么，這個長方體體積到底是多少呢?這個長方體體積比這個正方體體積到底大多少呢?這與計量長度、面積一樣，要計量一個長方體的體積，同樣需要有統(tǒng)一的體積計量單位。

接著，教師要求學(xué)生拿出一個正方體學(xué)具，量一量它的棱長是多少厘米，并說像這樣棱長是1厘米的正方體，它的體積是1立方厘米(如右圖)，這就是計量物體體積的一個計量單位。

然后，教師再要求學(xué)生用橡皮泥捏一個大約是1cm³的正方體，或用小刀片在橡皮泥上切下一個約1cm³的正方體。再讓學(xué)生想想、說說生活中，哪些物體的體積也與1cm³的體積差不多?大家會舉出骰子、鉛筆的橡皮頭、開關(guān)按鈕、粉筆頭等物體，以幫助他們建立1cm³的表象。

最后，教師要求學(xué)生用幾個1cm³的正方體搭積木，并說出它們的體積是多少立方厘米，為什么。

2量的計量的教學(xué)

量的計量方法有兩種，一種是直接計量，如以上用尺計量線段的長度，用1平方厘米的方格紙計量平面圖形的面積等，都是直接計量。另一種是間接計量。所謂間接計量，是指有時需要先計量有關(guān)的量的程度，然后通過計算才能得到所需的計量結(jié)果，例如先用尺量出正方形的邊長，最后再計算出正方形的面積，就是間接計量。因此，我們也可以將計算長(正)方形面積、長(正)方體體積的方法看作是一種間接計量。在用計量單位直接計量的時候，一定要注意引導(dǎo)學(xué)生從直接計量走向間接計量(計算)。

案例用量角器計量角的教學(xué)

這里，舉一個用量角器直接計量角的度數(shù)的例子。

教學(xué)時，可把量角器的認(rèn)識與計量角結(jié)合起來。教師直接讓學(xué)生在量角器上找角，學(xué)生可能先找到平角、直角等特殊角。教師追問這些角的頂點(diǎn)在哪里(在量角器上又叫“中心點(diǎn)”)，并用課件呈示；角的兩條邊在哪里(在量角器上又稱“刻度線”，其中左右兩條刻度線都叫零刻度線)，并用課件呈示，使學(xué)生對量角器結(jié)構(gòu)有個比較好的認(rèn)識，又知道量角器上有各種角，為探索“線邊重合，點(diǎn)點(diǎn)重合”做好了鋪墊。

接著，教師要求學(xué)生在紙制量角器上先畫出角，再說出角的度數(shù)，并追問：你是從哪里數(shù)起的?是數(shù)外圈的還是數(shù)內(nèi)圈的?或者是從左零刻度線開始數(shù)起的?還是從右零刻度線開始數(shù)起的?引導(dǎo)學(xué)生知道用量角器上的角去計量被量角的度數(shù)時有兩個起點(diǎn)，既可以從右(外)零刻度線開始數(shù)，又可以從左(內(nèi))零刻度線開始數(shù)，為他們“讀出度數(shù)”提供鋪墊。

然后，教師就要求學(xué)生用量角器去嘗試計量被量角的度數(shù)。學(xué)生在交流中，教師不斷追問，當(dāng)學(xué)生先把量角器的一條零刻度線與角的一條邊重合時，追問：第二步做什么?學(xué)生答：把量角器的中心點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，再問：你是怎樣使量角器的中心點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合的?學(xué)生答：移(平移)過來，最后再讀出度數(shù)；當(dāng)學(xué)生先用量角器的中心點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合時，教師又追問：接著做什么?學(xué)生答：旋轉(zhuǎn)量角器，使一條零刻度線與角的一條邊重合，最后讀出度數(shù)，以幫助學(xué)生獲得量角的“動作技能”。

學(xué)生通過獨(dú)立量角，小組交流量角方法，全班反饋量角步驟，并在教師及時、適度的引導(dǎo)下，建構(gòu)起量角技能：先線邊重合，再平移使點(diǎn)點(diǎn)重合；或先點(diǎn)點(diǎn)重合，再旋轉(zhuǎn)使線邊重合；最后讀出度數(shù)。即線邊重合，點(diǎn)點(diǎn)重合，讀出度數(shù)。

案例計算長(正)方形面積的教學(xué)

首先，教師讓學(xué)生拿出一個長方形和正方形，并問：它們的面積分別是多少?你有什么辦法?

學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)用計量工具方格紙蓋在長、正方形上面(如下圖)，得到長方形面積是15平方時厘米，正方形面積是16平方厘米。

這時，教師要十分注意引導(dǎo)學(xué)生從用直接計量長、正方形面積逐步抽象到用間接計量——計算長、正方形面積的方法(公式)。教師追問：你是怎樣數(shù)出來的?有學(xué)生是1cm²、1cm²數(shù)的。但也有學(xué)生會用巧妙的辦法數(shù)，一行有5個1cm²，是5cm²，有3行，因此是3個5cm²，即3×5=15cm²；還有學(xué)生先數(shù)一列有3個1cm²，是3cm²，有5列，所以是5個3cm²，是5×3=15cm²。教師應(yīng)對學(xué)生的巧數(shù)方法予以充分的肯定。

接著，教師出示一個被墨水蓋住了的長方形(如下左圖)，并問大家：現(xiàn)在，誰還能知道它的面積是多少cm²?為什么?學(xué)生這時已有巧數(shù)長方形面積的經(jīng)驗(yàn)，他們看到最后1列有4格是4²，有這樣的6列，因此這個長方形的面積是6×4=24cm²。教師繼續(xù)出示右下圖：現(xiàn)在，誰還能知道這個長方形的面積?為什么?學(xué)生看到這個長方形的寬有5格，就知道它一列有5個1cm²，長有7格，就知道它有這樣的7列，所以，這個長方形的面積是7×5=35cm²。

教師再出示一個長11厘米，寬6厘米的長方形(下圖)，并問學(xué)生：現(xiàn)在，誰還能知道它的面積是多少?為什么?此時，學(xué)生已經(jīng)有了一定的表象能力，看到寬6厘米，就想象這個長方形的一列有6個1cm²，是6cm²；長11厘米，就想象這個長方形有這樣的11列，所以得到這個長方形的面積是11個6cm²，即11×6=66cm²。

最后，教師要求學(xué)生議一議，并歸納出直接計量長方形面積的方法：長方形面積=長×寬(或?qū)挕灵L)。

案例計算長(正)方體體積的教學(xué)

教師先要求學(xué)生用1cm³的正方體搭長方體(如下圖)，并追問它們的體積分別是多少?為什么?它們的長、寬、高分別是多少?為什么?

教師繼續(xù)要求學(xué)生用1cm³的正方體搭長方體(如右圖)，并追問他們：這個長方體的體積是多少?為什么?它的長、寬、高分別是幾?為什么?學(xué)生通過搭、觀察，知道這個長方體的1排是6cm³，現(xiàn)在有這樣的5排，是5個6cm³，因此長方體的體積是5×6=30cm³：又因?yàn)?cm³的邊長是1厘米，1排是5cm³，因此長方體的長6厘米；現(xiàn)在有這樣的5排，因此寬是5厘米，高是1厘米。

教師要求學(xué)生以小組為單位搭長方體(如右圖)。學(xué)生在交流時，教師可適時介入：這個長方體的長、寬、高分別是多少?為什么?這個長方體的體積是多少?為什么?學(xué)生通過搭、觀察知道這個長方體1排是6cm³，現(xiàn)有這樣的5排，是5個6cm³，因此一層是5×6=30cm³；因?yàn)楝F(xiàn)有這樣的4層，所以這個長方體體積是6x5x4=120cm³，或者說含有6×5×4=120個1cm³。又因?yàn)?cm³的邊長是1厘米，1排是6cm³，因此長6厘米；現(xiàn)有這樣的5排，因此寬是5厘米，有這樣的4層，因此高是4厘米。

接著，教師出示一個被墨水蓋住的長方體形(如右圖)，并問：現(xiàn)在，誰知道它的體積是多少cm³?為什么?學(xué)生已有數(shù)長方體體積的經(jīng)驗(yàn)和表象能力，看到最后1行是7格就知道有7cm³；從右面看有6格，就知道1層有6行，則體積是7×6＝42cm³；看到高有5格，就知道它有5層，則體積是7×6×5=210cm³。教師追問：那么，它的長、寬、高是幾厘米?為什么?學(xué)生看到1行有7格就知道長是7厘米，因?yàn)槊扛竦倪呴L是1厘米；看到有這樣的6行就知道它的寬是6厘米，看到有這樣的5層就知道它的高是5厘米。

然后，教師繼續(xù)出示下面兩個長方體，并要求學(xué)生說說它們的體積分別是多少?為什么?(單位：cm³)

這時，學(xué)生的空間能力得到進(jìn)一步發(fā)展。看到長是6小格，就是6厘米，說明長方體1行有6cm³；寬是3小格，就是3厘米，說明有這樣的3行，因此長方體1層有6×3=18cm³；現(xiàn)在，這個長方體的高有3小格，是3厘米，就是有這樣的3層，所以這個長方體的體積是6×3×3=54cm³。

右上圖長方體的長6厘米，說明1行有6cm³；寬4厘米，說明有這樣的4行，因此長方體1層有6×4=24cm³：現(xiàn)在這個長方體的高5厘米，說明有這樣的5層，所以這個長方體的體積是6×4×5=120cm³。

最后，教師要求學(xué)生議一議，并歸納出直接計量長方體體積的方法：長方體體積=長×寬×高。