朱春雷

方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它對豐富學(xué)生解決問題的策略,提高解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義。

六年級(上冊)“方程”單元,是在四年級(下冊)和五年級(下冊),學(xué)生已經(jīng)分別學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”“方程的意義”“等式的性質(zhì)”等知識,并能解決簡單的、一步計(jì)算的方程,會列方程解答簡單的、一步計(jì)算的實(shí)際問題的基礎(chǔ)上安排的。本單元教學(xué)內(nèi)容的安排和教學(xué)的設(shè)計(jì)是在繼承傳統(tǒng)優(yōu)勢的基礎(chǔ)上,從便教利學(xué)出發(fā),著眼于學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí),加強(qiáng)了學(xué)生的自主探索,注重學(xué)生對方程思想方法和價(jià)值的感受和體驗(yàn)。突破了傳統(tǒng)教材先學(xué)解方程,再利用解方程來解決實(shí)際問題的做法,把列方程解決實(shí)際問題和解方程安排在一起進(jìn)行教學(xué),使學(xué)生在列方程解決實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程。教師在解讀教材,研究教法、學(xué)法,具體教學(xué)中可從以下幾個(gè)方面認(rèn)真把握。

第一,從促進(jìn)學(xué)生有效地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),提高學(xué)習(xí)效率出發(fā),科學(xué)合理安排教學(xué)內(nèi)容

六年級(上冊)教科書“方程”單元安排了兩個(gè)例題:例1,西安大雁塔高64米,比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米?例2,北京頤和園占地290公頃,其中水面面積大約是陸地面積的3倍。頤和園的陸地和水面大約各有多少公頃?讓學(xué)生解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,學(xué)習(xí)列方程解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題。通過這部分內(nèi)容的教學(xué),一方面可以使學(xué)生進(jìn)一步感受方程的思想和方法,增強(qiáng)用方程方法解決問題的意識和能力;另一方面,也能使學(xué)生進(jìn)一步積累解方程的經(jīng)驗(yàn),從而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此,解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,列方程解決兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題,同屬于本單元的教學(xué)內(nèi)容。而會用等式的性質(zhì)解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,能列方程解決一些需要兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題,也同為本單元的教學(xué)目標(biāo)之一。

教材為了讓學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)活動(dòng),提高學(xué)習(xí)效率,把解方程和列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)融為一體,同步進(jìn)行,這是和以前教材不同的編排。在例1里,解2x-22=64這個(gè)方程是新知識,用它解答實(shí)際問題也是新知識;在例2里,解方程x+3x=290是新授內(nèi)容,解決實(shí)際的問題也是新授內(nèi)容。這兩道題既教學(xué)解方程的思路和方法,又教學(xué)列方程的相等關(guān)系和技巧。這樣編排,能較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。一方面分析實(shí)際問題里的數(shù)量關(guān)系,抽象成方程,形成知識與技能的教學(xué)內(nèi)容。如例1,通過分析大雁塔和小雁塔高度的數(shù)量關(guān)系,建立起等量關(guān)系,根據(jù)已知量和未知量的數(shù)量關(guān)系列出方程:2x-22=64。這是需要進(jìn)行兩步計(jì)算才能求出解的方程,學(xué)生以前沒有見過,而今天也是在解決問題的過程中出現(xiàn)的新知識,這提高了學(xué)生的求知欲望,觸動(dòng)他們好奇心,為了解決實(shí)際問題,還必須解這道方程,促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)解方程。這不僅提供了學(xué)習(xí)的內(nèi)容,也提供了學(xué)生自主探索的空間和進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會。另一方面,利用方程解決實(shí)際問題,使知識技能的教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義,成為數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度有效發(fā)展的載體。如例2,通過學(xué)生學(xué)習(xí)解方程x+3x=290,利用方程的解,順利解決了頤和園的陸地大約有72.5公頃,水面大約有217.5公頃的實(shí)際問題。在解決問題的過程中,學(xué)生充分體會到列方程和解方程的實(shí)際意義,感受到解方程是解決問題的途徑和必經(jīng)過程,枯燥的知識技能教學(xué)變得有意義、有情趣、有價(jià)值。

第二,從引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)方程解法考慮,讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法

解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程的知識基礎(chǔ)主要有兩點(diǎn):一、等式的性質(zhì);二、化簡ax±bx的方法。前者已在五年級(下冊)教學(xué)過,而且學(xué)生也積累了一定的利用等式的性質(zhì)解只需要一步計(jì)算的方程的經(jīng)驗(yàn);后者在四年級(下冊)教學(xué)用字母表示數(shù)時(shí)已安排相應(yīng)的例題。因?yàn)橛羞@些因素,教材沒有把解方程作為教學(xué)的重點(diǎn),而是把列方程解決實(shí)際問題作為教學(xué)的主線,讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法。例1教學(xué),首先引導(dǎo)學(xué)生利用題中數(shù)量之間的相等關(guān)系列出方程2x-22=64,學(xué)生對這個(gè)方程既熟悉又陌生,熟悉的是ax=c的解法,而這個(gè)方程多了“-22”該怎么辦?新的問題產(chǎn)生了。這時(shí)學(xué)生初次面對兩步解,就要在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略把稍復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化成五年級(下冊)里教學(xué)的簡單方程?；瘡?fù)雜為簡單、變未知為已知是人們解決新穎問題的常用策略。教材給出了解這個(gè)方程的第一步運(yùn)算,教師要鼓勵(lì)學(xué)生自主解釋并理解運(yùn)算的依據(jù),并接著解出這個(gè)方程,從而初步掌握解法。例2的教學(xué)是讓學(xué)生通過解決實(shí)際問題,學(xué)習(xí)解形如ax±bx=c的方程。同樣教材也是先引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析題中數(shù)量之間的相等關(guān)系,并在根據(jù)等量關(guān)系列出方程后,突出轉(zhuǎn)化的過程,鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立求解,并通過交流突出解例2這樣的方程時(shí),一般要先化簡,即兩步轉(zhuǎn)化成一步,復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化成簡單方程,使新知識植根于已有的經(jīng)驗(yàn)和能力的基礎(chǔ)上。教材為什么示范了解方程的全過程,目的除了規(guī)范格式、理清解答過程,還有一個(gè)目的就是說明這道題利用方程要解決兩個(gè)實(shí)際問題:陸地面積和水面面積。然后重點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生結(jié)合題意檢驗(yàn)方程,進(jìn)一步理解并掌握解方程的完整過程。

例1和例2都有列方程和解方程兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容,列出的方程必須正確地解答,才可能得到正確的答案。解方程雖然不是教學(xué)的主線,但它也是教學(xué)的主要內(nèi)容。

因此教學(xué)過程中,學(xué)生在初步掌握解方程的方法后,又在后面練習(xí)里專門安排了解方程,加強(qiáng)了解方程的練習(xí),“練習(xí)一”的“1.解方程。4x+20=56,1.8+7x=3.9,5x-8.3=10.7?！笔窃诶?解方程的基礎(chǔ)上又向兩個(gè)方向擴(kuò)展,一是引出了a+bx=c、ax-b=c等結(jié)構(gòu)與例題不完全相同的方程,二是把小數(shù)及運(yùn)算納入了方程。只要體會了例題里解方程的轉(zhuǎn)化思想和轉(zhuǎn)化方法,會進(jìn)行小數(shù)計(jì)算就能適應(yīng)這兩個(gè)方面的擴(kuò)展。練習(xí)過程中要先讓學(xué)生說說解每道方程的第一步要怎樣做,以及這樣做的根據(jù)是什么,然后讓學(xué)生獨(dú)立完成。交流時(shí),除了關(guān)注學(xué)生是否求得了正確的解,還要關(guān)注學(xué)生解方程的過程是否進(jìn)行了檢驗(yàn)。這樣及時(shí)的練習(xí)使解方程的思路和方法得到了進(jìn)一步鞏固,也更好達(dá)成了解方程這個(gè)重要的教學(xué)目標(biāo)。

第三,從學(xué)生的實(shí)際思維和有利于學(xué)生發(fā)展的角度,正確看待解方程的不同思路和不同解法

教材中突出了利用等式的性質(zhì)解方程的方法,如例1第一步“2x-22+22=64+22”,要讓學(xué)生清楚地理解,根據(jù)等式的性質(zhì),在方程的兩邊同時(shí)加上22,就可以使方程變形為“2x=?”,即把兩步轉(zhuǎn)化為一步,新方程轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的方程。應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程,較好地解決了關(guān)于方程解法的中、小學(xué)銜接問題。教材專門改變了在小學(xué)階段利用四則運(yùn)算的意義、四則運(yùn)算互逆關(guān)系及相關(guān)運(yùn)算律解方程的傳統(tǒng)做法,所以,在五年級(下冊)剛學(xué)習(xí)方程時(shí)就引入等式的性質(zhì),并應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程。

能解方程和會解方程是學(xué)生的基本技能,也是學(xué)習(xí)能力。教師在幫助學(xué)生掌握教材提供的利用等式的性質(zhì)解方程的基礎(chǔ)上,教師要尊重學(xué)生解決問題的實(shí)際情況,尊重他們所看好的策略和方法,從有利于學(xué)生思維、有利于學(xué)生解決問題和有利于學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā),正確地對待學(xué)生不同的思考和運(yùn)用不同的方法解方程。當(dāng)學(xué)生能根據(jù)四則運(yùn)算的意義、四則運(yùn)算的互逆關(guān)系,將例1解方程的過程由“2x-22=64”直接推出“2x=64+22”,并接著寫“2x=86,x=43”把方程解出來,教師對于學(xué)生這樣的思考和解法應(yīng)給予充分肯定,而且要說明能解方程和會解方程是目的。

既然讓學(xué)生在列方程解決實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程,那么,解方程的學(xué)習(xí)也應(yīng)該和數(shù)量關(guān)系的分析聯(lián)系起來。學(xué)生根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系可以列出不同的方程,也反映出學(xué)生在解方程時(shí)也會有各自獨(dú)到的思考過程,我們應(yīng)該尊重不同的思考,并幫助他們理清思路。當(dāng)學(xué)生思考“怎樣才能使大雁塔的高度是小雁塔高度的2倍”這個(gè)問題,并且得出“只要64米加上22米,它們的和不就是小雁塔高度的2倍嗎”的結(jié)論。這時(shí)學(xué)生很順利地列出方程“2x=64+22”,當(dāng)中也就蘊(yùn)涵著解法的思考,說不定學(xué)生就會干脆用算術(shù)方法“(64+22)÷2=43(米)”解答了。其實(shí)解方程也會加深對數(shù)量關(guān)系的分析,幫助學(xué)生分析問題、解決問題,“小雁塔高度的2倍”不正好與“大雁塔的高度加上22米的和”建立起等量關(guān)系了嗎!同時(shí)也讓學(xué)生感受到解方程在解決實(shí)際問題過程中的價(jià)值。教學(xué)中,我們要充分尊重教材,領(lǐng)會教材的意圖,幫助學(xué)生完成必需的學(xué)習(xí)任務(wù),如分析數(shù)量關(guān)系列方程時(shí),我們要引導(dǎo)學(xué)生按條件敘述的順序進(jìn)行思考,而不能鼓勵(lì)他們喜歡怎么想就怎么想。在此基礎(chǔ)上,我們就要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際,從利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考,促進(jìn)學(xué)生有效發(fā)展的角度,科學(xué)地、綜合地、全面地考慮,通過創(chuàng)新教學(xué),使教學(xué)真正扎實(shí)、有效和有可持續(xù)發(fā)展性。

第四,從學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想的滲透的高度思考,讓學(xué)生在解方程和列方程解決實(shí)際問題的過程中感受方程的思想方法和價(jià)值

我們要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn),在解方程和列方程解決實(shí)際問題的過程中,進(jìn)一步感受方程的思想方法和價(jià)值。在教學(xué)解方程時(shí),都是根據(jù)實(shí)際問題,通過分析數(shù)量關(guān)系列出方程,再引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握方程的解法。這樣既使學(xué)生體會到方程是解決實(shí)際問題的需要,又能使學(xué)生認(rèn)識到列方程需要依據(jù)數(shù)量之間的相等關(guān)系。教材中安排的實(shí)際問題是需要逆向思考的問題,學(xué)生經(jīng)過列方程解決這樣的實(shí)際問題,體會到列方程解決實(shí)際問題可以按條件的敘述順序,通過正向思考解決。一方面降低了解決實(shí)際問題的思維難度,拓寬了學(xué)生解決實(shí)際問題的思路;另一方面也有利于學(xué)生在列方程解決實(shí)際問題的過程中,更好地感受方程的思想,體會方程的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

在學(xué)生掌握列方程和解方程后,教師注意引導(dǎo)把列方程和解方程與其他知識相結(jié)合,繼續(xù)解決一些實(shí)際問題,如要求學(xué)生列方程解答已知三角形的面積和底,求高的實(shí)際問題。并和現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問題聯(lián)系起來,用方程的方法去思考解答。這樣在不同的情境中應(yīng)用方程的知識和方法,有助于學(xué)生把握方程思想的普遍意義,不斷提高解方程和列方程解決實(shí)際問題的能力。

解方程和列方程解決實(shí)際問題的教學(xué),是通過組織有效的數(shù)學(xué)活動(dòng),使學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成式與方程的過程,積累了將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn),進(jìn)一步感受方程的思想方法及價(jià)值,發(fā)展了抽象思維能力和符號意識。而學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中,也養(yǎng)成獨(dú)立思考、主動(dòng)與他人合作交流、自覺檢驗(yàn)等習(xí)慣。由解方程和列方程解決實(shí)際問題獲得的成功體驗(yàn),也為學(xué)生增加了探究問題的好奇心和進(jìn)一步樹立了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。這些更是我們用好教材,創(chuàng)新教學(xué),促進(jìn)學(xué)生發(fā)展所要努力探究的。