冒國平

案例描述:一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)

問題情境:小明2/3小時走了2千米,小紅5/12小時走了5/6千米。誰走得快些?

片斷一:探究“2÷2/3”的計算方法

師:一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)該怎樣計算呢?我們以2÷2/3為例,先請同學(xué)們自己來研究一下。

問題拋出后一個學(xué)生立即答道:“我知道2÷2/3就等于2×3/2。”許多學(xué)生跟著附和。

師:哦,你是怎么知道的呢?

生1:我是根據(jù)上節(jié)課學(xué)的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的方法推測的。

(又有許多學(xué)生表示贊同)

師:原來是猜想而已啊。那就是沒有證據(jù)來證明你的想法了。

生2:我能證明自己是對的。

師:那就給大家一些時間來證明自己好嗎?

學(xué)生反饋結(jié)果如下:

(1)2÷2/3=(2×3/2)÷(2/3×3/2)=2×3/2÷1=2×3/2=3(主要依據(jù):商不變規(guī)律和倒數(shù)的認識)

(2)2÷2/3=2×1÷2/3=2×(1÷2/3)=2×3/2=3(主要依據(jù):一個數(shù)乘1的特性、倒數(shù)的認識)

(3)2÷2/3=2÷(2÷3)=2÷2×3=2×3÷2=2×(3÷2)=2×3/2=3(主要依據(jù):分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系)

(4)畫圖表示這道題的信息和問題:

2÷2/3=2÷2×3=2×3÷2=2×(3÷2)=2×3/2=3

(從具體情境出發(fā)解決問題,主要利用圖示法)

(5)用倍比法解:先求出1小時是2/3小時的幾倍,再用所得的積乘2。

2÷2/3=1÷2/3×2=3/2×2=3(主要利用倒數(shù)的知識)

片斷二:概括計算法則

師:經(jīng)過剛才的學(xué)習(xí)你能用自己的話來概括一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計算法則嗎?

生1:一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)就等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

師:讀一讀書上的話,想一想,和我們自己說的有什么不同?你有什么想法?(書本:除以一個不等于0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù))

生2:我認為書上的話比我們說的范圍更大了,這個法則不但可以用在除數(shù)是分?jǐn)?shù)的時候,還可以用在除數(shù)是整數(shù)的時候。因為整數(shù)可以看作分母是1的分?jǐn)?shù)。

生3:我認為除數(shù)是小數(shù)的時候也可適用。因為任何一個不等于0的數(shù)都有它的倒數(shù),小數(shù)也不例外。

生4:我覺得這句話還可以說得更簡潔一些:除以一個非零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

師:你們比老師想象中還要講得好。那么還有沒有更簡短的表示方法呢?

生1:甲數(shù)除以乙數(shù)(乙數(shù)不為0),等于乘乙數(shù)的倒數(shù)。

生2:用字母表示最簡便:a÷b=a×1/b(b≠0)

生3:我不同意這樣的表示,如果b是小數(shù)或分?jǐn)?shù),那么1/b算什么呢?

生2、生4等:1/b就是b的倒數(shù)啊,只要b不是0都可以這樣表示的。

生3:為什么?

生4:因為b×1/b一定等于1,乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

生3:明白了,這樣寫只是表示兩個數(shù)的關(guān)系。

反思:

感謝學(xué)生,在這節(jié)平常的計算課中,他們讓我看到了除了計算能力之外的閃爍的思維火花。作為一名數(shù)學(xué)教師,我們都應(yīng)當(dāng)意識到計算教學(xué)除了培養(yǎng)學(xué)生的計算能力,還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

1.探討算理時,能培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力。

我們在教學(xué)新的計算內(nèi)容時,經(jīng)常會遇到這樣的情形:在老師教學(xué)前就有許多學(xué)生能根據(jù)法則進行計算了,但是問他們?yōu)槭裁纯梢赃@樣算時,大多數(shù)人卻答不上來。這就產(chǎn)生了要探究算理的內(nèi)因。而在探討的過程中,學(xué)生必然要用到已有的知識來分析新知,或是要根據(jù)教師的演示來進行推理。這時教師就可以及時地培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力。如可以讓學(xué)生先想一想這個新知識會和哪些舊知識有關(guān),演算時想一想每一步的依據(jù)是什么?為什么這樣做?例如在上述案例中,當(dāng)學(xué)生給出“2÷2/3=(2×3/2)÷(2/3×3/2)=2×3/2÷1=2×3/2=3”這一想法時,我立即組織討論:(1)2÷2/3=(2×3/2)÷(2/3×3/2)等式成立的依據(jù)是什么?(2)商不變規(guī)律中提出只被除數(shù)和除數(shù)同時乘一個不為零的相同的數(shù),商都不變,為什么在這么多數(shù)中,惟獨選擇了3/2這個數(shù)?通過對這兩個問題的討論,相當(dāng)于每一個學(xué)生都對此題進行了重新分析。

在教師演示時,則可以讓學(xué)生邊看邊想,如果把老師的操作轉(zhuǎn)化成算式應(yīng)該怎樣表達。如教學(xué)100以內(nèi)的加、減法時,教師經(jīng)常會組織學(xué)生進行擺小棒。這時,就可以適時地讓學(xué)生觀察直觀操作的過程后,自行推出筆算豎式的寫法,那么教師在分析算理的過程中也培養(yǎng)了學(xué)生的分析推理能力。

2.說明算理時,能培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性。

有的學(xué)生計算能力很強,但是不善于說理,因為計算教學(xué)中涉及的每一個概念、性質(zhì)、公式、法則之間都存在著嚴(yán)密的邏輯性,想要清晰地表述出一個計算規(guī)則的算理,學(xué)生的思維必須具有良好的條理性和邏輯性。因此教師在教學(xué)中,可以通過訓(xùn)練學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言有條理地來說明算理,從而達到培養(yǎng)思維邏輯性的目的。例如在上例中,學(xué)生的每一種想法我都要求他們說清自己的理由,說不清的在同學(xué)的幫助下再說,這樣一來,大家都對每一個算式的遞推過程加深了理解,把一個個知識點串成了一條條線。

3.證明算法時,能培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

學(xué)生們一旦對知識有點了解,就會急著去應(yīng)用,同時他們又很喜歡挑戰(zhàn)已有的結(jié)論,教師可以抓住學(xué)生的這種年齡特征來設(shè)置認知的“最近發(fā)展區(qū)”。在計算教學(xué)中,就可以通過讓學(xué)生自己想辦法來證明某個計算的規(guī)則是正確的,從而調(diào)動他們頭腦中所有的舊知識一起運作,學(xué)生在選擇和應(yīng)用舊知的過程中,對原有的認知結(jié)構(gòu)進行了擴展,綜合應(yīng)用能力也必然得到了發(fā)展。例如上例片斷一中,學(xué)生在證明2÷2/3=2×3/2時,用到了商不變規(guī)律、倒數(shù)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、圖示法、倍比法解題等各種知識并將它們有效地組合起來為這個新內(nèi)容服務(wù)。而在片斷二中,學(xué)生對計算法則的再次認識及關(guān)于“b”和“1/b”的關(guān)系的討論,都映射出了他們的認知決不僅僅停留在這節(jié)課的知識點上。在這樣的教學(xué)活動中學(xué)生所獲得的又豈止是計算能力的發(fā)展呢?

4.歸納規(guī)則時,能培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的規(guī)則都是抽象概括的結(jié)果。如上述案例中,在教學(xué)例題后可以初步得出“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的結(jié)論,再通過辨析得出“除以一個不等于0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”,并用字母表示出這個規(guī)則,最后通過一定的練習(xí)后歸納概括出:兩數(shù)相除,被除數(shù)不變,除號變乘號,除數(shù)變它的倒數(shù)。這一過程,實際上培養(yǎng)了學(xué)生的比較、分析和歸納、抽象概括的能力。