王月琴

[關(guān)鍵詞]曲線方程；直角坐標(biāo)系集合；約束條件；標(biāo)準(zhǔn)形式一般方法

[中圖分類號]G633.6

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號]1004-0463(2009)05(A)-0052-02

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生能動地解決問題的過程，教師的職責(zé)不僅僅是給學(xué)生傳授教科書上的知識，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生能動地解決問題，逐步達(dá)到自覺運用知識的水平，受心理素質(zhì)和認(rèn)知水平的限制，同一問題不同學(xué)生的理解程度是不同的，因而，如何把握這些教學(xué)中的客觀因素。有意識地選取素材，提煉主題，通過具體實踐，充分激發(fā)學(xué)生解決問題的能動性，刻意培養(yǎng)學(xué)生的心理素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生探求、總結(jié)解決問題的辦法，從而提高學(xué)生解決問題的能力，是教師永遠(yuǎn)研究的課題，現(xiàn)結(jié)合解析幾何教材中求曲線方程這一問題進行討論。

在解析幾何中，課本上總結(jié)出來的求曲線方程的步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任一點M的坐標(biāo)；

(2)寫出適合條件尸的點肥的集合；

(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式；

(5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上。

根據(jù)情況可以省略步驟(5)，根據(jù)情況也可以省略步驟(2)，在課本所列的這些步驟中，條件“尸太抽象，可具體化為約束條件，在論證曲線與方程的關(guān)系時，使用集合形式便于表達(dá)這兩者之間的關(guān)系，在求曲線方程式時，主要由約束條件坐標(biāo)化寫出方程，所以，可以把(2)(3)兩步合并成：把約束條件坐標(biāo)化，寫出方程f(x，y)=0，于是可把求曲線方程的步驟概括為：

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點M的坐標(biāo)為(x，y)；

(2)把約束條件坐標(biāo)化，寫出方程f(x，y)=0；

(3)化簡方程f(x，y)=0。

這三個步驟是簡約而具體的，但是，沒有經(jīng)過實踐，學(xué)生無法理解每個步驟所示內(nèi)容的深刻性，因此，本人結(jié)合作業(yè)有意識地給出以下三個類型的習(xí)題：

①點M到點A(4,0)和點B(-4，0)的距離之和為12，求點M的軌跡方程。

②兩條直線分別繞著定點A和B(AB=2a)在平面上轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時，兩條直線保持相互垂直，求兩條直線的交點P的軌跡方程，(提示：以點A為原點，AB所在直線為x軸建立坐標(biāo)系；以點z為原點，AB所在直線為X軸建立坐標(biāo)系；以線段AB的中點為原點，AB所在直線為X軸建立坐標(biāo)系。)

③兩個定點的距離為6。點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程。

大部分學(xué)生對①、②題完成較好，而解決③題時出現(xiàn)的問題較多，歸納起來有如下幾種情況：A沒有建立坐標(biāo)系而解題，B以其中一定點為原點建立坐標(biāo)系，C以線段AB的中點為原點建立坐標(biāo)系。

建立坐標(biāo)系的過程，實際上是選擇坐標(biāo)系的過程，這是通過所給的三類題目的實踐得到的心得，故可把“建立”一詞理解為：為了解決問題，我們主動地去選擇坐標(biāo)系，強調(diào)我們主動地去解決問題，為了很好地(以最簡單的形式)解決問題，需要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，“適當(dāng)”的目的就是為了使方程簡單，所以“適當(dāng)”的原則就是充分利用對稱性，這樣的說法旨在激發(fā)學(xué)生的能動性，從心理上減輕他們解決實際問題的壓力，提高他們實踐的主動性。

同時還有一個非常基本的問題，即同一圖形在不同的坐標(biāo)系下，有不同的方程，既然圖形相同，為什么方程不同?(有意引導(dǎo)，主線控制)，顯然，這里所說的圖形相同是指圖形的形狀相同，但在不同的坐標(biāo)系中，它們相應(yīng)的位置是不同的，所以方程不同，可見方程除反映圖形的形狀之外，還反應(yīng)了圖形的位置，可見幾何特征(圖形的形狀、位置)一定反應(yīng)在代數(shù)特征上(方程的形式與系數(shù))，反之亦然，第二次總結(jié)出求曲線方程的三個必要步驟：

(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點M的坐標(biāo)為(x，y)；

(2)把約束條件坐標(biāo)化，寫出方程f(x，y)=0；

(3)把方程f(x，y)=0化簡，整理成最簡形式或標(biāo)準(zhǔn)形式。

這個步驟旨在引導(dǎo)學(xué)生理解課本上所列出的步驟，經(jīng)過第二次總結(jié)后，又經(jīng)歷了具體實踐，逐句逐詞推敲并總結(jié)心得，從而培養(yǎng)了學(xué)生閱讀理解、歸納總結(jié)、深化主題、完善表達(dá)的能力，并且又提出了新的問題：什么是標(biāo)準(zhǔn)形式?暫時告訴學(xué)生曲線的一般形式就是標(biāo)準(zhǔn)形式，在學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，總結(jié)出標(biāo)準(zhǔn)形式的意義：

(1)標(biāo)準(zhǔn)形式能具體判定曲線的形狀與位置(代數(shù)到幾何的過程)；

(2)標(biāo)準(zhǔn)形式中的各系數(shù)都有一定的幾何意義(不變量)；

(3)滿足相應(yīng)約束條件(圖形的形狀與位置)的軌跡就一定是這種形式(幾何到代數(shù)的過程)。

再反過來解釋化成標(biāo)準(zhǔn)形式的必要性：為確定曲線的形狀與位置，一定的形狀和位置的曲線都有相應(yīng)結(jié)構(gòu)的方程，為此，可在一定條件下進一步簡化求曲線方程的步驟：用待定系數(shù)法求曲線方程，必須強調(diào)的是：可用待定系數(shù)法求曲線方程的前提是已知曲線的形狀和位置，特別對于橢圓、雙曲線、拋物線，更要強調(diào)曲線的位置的重要性，即對稱軸必須與坐標(biāo)軸平行或重合，這樣又體現(xiàn)了選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的原則——充分利用曲線的對稱性，于是總結(jié)出求曲線方程的一般方法，方法一：題設(shè)給出的約束條件難以判定曲線的形狀，可按上述三個必要步驟求出曲線方程，方法二：題設(shè)給出的約束條件可以判定曲線的形狀，可用待定系數(shù)法求曲線方程，但要注意曲線的位置。

這樣，整個教學(xué)的過程貫穿著解析幾何的基本問題：幾何特征與代數(shù)特征的關(guān)系，并且以此為主線，分階段、分層次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法，這樣極大地激發(fā)了學(xué)生的能動性，使學(xué)生的能力和潛力得到了充分的發(fā)揮。