黃國安,林漢燕

摘要:數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科,高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性是這門學(xué)科的特點(diǎn)。翻開數(shù)學(xué)的發(fā)展史,我們還發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性思維中蘊(yùn)含了極其深刻的哲學(xué)思想。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思維;實(shí)踐;辯證法;哲學(xué)思想

中圖分類號(hào):G40-02文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1002—2589(2009)14—0159—02

一、數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐

數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn),或多或少與人的智力活動(dòng)相關(guān),因此有人認(rèn)為數(shù)學(xué)是“人的精神的自由創(chuàng)造”。實(shí)際上數(shù)學(xué)是來源于實(shí)踐的學(xué)科,數(shù)學(xué)的發(fā)展是為了實(shí)際的需要。從我國殷代的甲骨文中可以看到,我們的祖先為適應(yīng)農(nóng)業(yè)的實(shí)際需要,將“天干”“地支”配成六十甲子來記年月日,幾千年的歷史說明這種日歷的計(jì)算方法是有效的;古代的巴比倫人用于商業(yè)和債務(wù)的計(jì)算就有了乘法表和倒數(shù)表,積累了許多屬于初等代數(shù)范疇的資料;在埃及,由于尼羅河泛濫后重新測量土地的需要,積累了大量計(jì)算面積的幾何知識(shí);后來隨著社會(huì)生產(chǎn)的需要,特別是為適應(yīng)農(nóng)業(yè)耕種與航海技術(shù)的需要而產(chǎn)生的天文測量,逐漸形成了初等數(shù)學(xué),其中包含了當(dāng)前我們在中學(xué)里學(xué)到的大部份數(shù)學(xué)知識(shí);由于蒸汽機(jī)等機(jī)械的發(fā)明而引起的工業(yè)革命以及大量力學(xué)問題的出現(xiàn),需要對運(yùn)動(dòng)特別是變速運(yùn)動(dòng)做更精細(xì)的研究,促使了微積分在長期的醞釀后應(yīng)運(yùn)而生;二十世紀(jì)以來近代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展促使數(shù)學(xué)進(jìn)入一個(gè)空前繁榮時(shí)期,這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)出現(xiàn)了許多新的分支:計(jì)算數(shù)學(xué)、信息論、控制論、分形幾何等等?？傊?實(shí)際的需要是數(shù)學(xué)發(fā)展的最根本的推動(dòng)力。

數(shù)學(xué)的抽象性也往往使人誤解數(shù)學(xué)的公理、公設(shè)、定理僅僅是數(shù)學(xué)家思維的產(chǎn)物,其實(shí)不然。就最早以公理化體系面世的歐幾里德幾何來說,是實(shí)際事物的幾何直觀和實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象,盡管不符合數(shù)學(xué)家公理化體系的程式,卻仍包含著數(shù)學(xué)理論的核心。當(dāng)數(shù)學(xué)家把建立幾何的公理體系當(dāng)作自己的目標(biāo)時(shí),他的頭腦中也一定聯(lián)系到幾何作圖和直觀現(xiàn)象。一個(gè)人,即使是很有天賦的數(shù)學(xué)家,要想在數(shù)學(xué)的研究中得到具有科學(xué)價(jià)值的成果,除了他接受過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練外,在數(shù)學(xué)理論研究的過程中,他必定會(huì)在問題的提出、方法的選擇、結(jié)論的提示等諸多方面自覺或不自覺地受到實(shí)踐的引導(dǎo)。所以,脫離了實(shí)踐,數(shù)學(xué)就會(huì)成為無源之水、無本之木。

數(shù)學(xué)的研究是不能僅滿足于現(xiàn)實(shí)的數(shù)量關(guān)系和空間形式的,它還努力探索一切可能的數(shù)量關(guān)系和空間形式。在古希臘時(shí)期,數(shù)學(xué)家就超越了在現(xiàn)實(shí)有限尺度、精度內(nèi)度量線段的方法,覺察到了無公度量線段的存在,即無理數(shù)的存在,這其實(shí)是數(shù)學(xué)中最困難的概念之一——連續(xù)性、無限性的問題。直到兩千年以后,同樣的問題導(dǎo)致了極限理論的深入研究,大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。如果沒有實(shí)數(shù)的概念,我們無法度量正方形對角線的長度,也不會(huì)解一元二次方程,極限理論與微積分學(xué)更不可能建立。即使人們可以像牛頓那樣應(yīng)用微積分,但是在判斷結(jié)論的真實(shí)性時(shí)會(huì)感到無所適從。在這種情況下,科學(xué)技術(shù)能走多遠(yuǎn)?在歐幾里德幾何產(chǎn)生時(shí),人們就對其中一個(gè)公設(shè)的獨(dú)立性產(chǎn)生懷疑,到十九世紀(jì)上半葉,數(shù)學(xué)家改變這個(gè)公設(shè),得到了另一種可能的幾何——非歐幾里德幾何。

現(xiàn)實(shí)世界似乎沒有這種幾何的容身之地,因?yàn)檫@種幾何得出的結(jié)論從“常理”來說是非?！盎奶啤钡?。例如,“三角形的面積不會(huì)超過某個(gè)正數(shù)”。但是過了近一百年,在愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的相對論中,非歐幾里德幾何卻是最適合的幾何。再如,二十世紀(jì)三十年代哥德爾得到了數(shù)學(xué)結(jié)論不可判別性的結(jié)果,其中的某些概念非常抽象,近幾十年卻在算法語言的分析中找到了應(yīng)用。所以,許多數(shù)學(xué)在一些領(lǐng)域或一些問題的應(yīng)用,是這些理論當(dāng)初的創(chuàng)始者做夢也想不到的。所有這一切說明,一旦實(shí)踐推動(dòng)了數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)本身就會(huì)不可避免地獲得了一種動(dòng)力,使之有可能超越直接應(yīng)用的界限,而數(shù)學(xué)的這種發(fā)展,最終也會(huì)回到實(shí)踐中去。

二、數(shù)學(xué)思維充滿了辯證法

就數(shù)學(xué)的內(nèi)容來說,數(shù)學(xué)思維充滿了辯證法。在初等數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期,占統(tǒng)治地位的是形而上學(xué)。在該時(shí)期的數(shù)學(xué)家或其它科學(xué)家看來,世界由僵硬的、不變的東西組成。與此相適應(yīng),那時(shí)數(shù)學(xué)研究的是常量。而笛卡爾的變數(shù)是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn),他把數(shù)學(xué)中兩個(gè)完全不同的領(lǐng)域——幾何和代數(shù)結(jié)合起來,建立了解析幾何。這個(gè)框架具備了表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和變化的特性,辯證法因此進(jìn)入了數(shù)學(xué)。在此后不久產(chǎn)生的微積分拋棄了把初等數(shù)學(xué)的結(jié)論作為真理的觀點(diǎn),常常作出相反的判斷,提出一些在初等數(shù)學(xué)的代表人物看來完全不可理解的命題。數(shù)學(xué)走到這樣一個(gè)領(lǐng)域,在那里即使是很簡單的關(guān)系,都采取了完全辯證的形式,迫使數(shù)學(xué)家們不自覺又不自愿地轉(zhuǎn)變?yōu)檗q證數(shù)學(xué)家。在數(shù)學(xué)研究的對象中,充滿了矛盾的對立:曲線和直線,無限和有限,微分和積分,偶然和必然,無窮大和無窮小,多項(xiàng)式和無窮級數(shù),等等。解決這些矛盾的思維方法是極限法。極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系,是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限法,人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限,從“不變”認(rèn)識(shí)“變”,從直線形認(rèn)識(shí)曲線形,從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變,從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確。極限法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用。

無限與有限有本質(zhì)的不同,但二者又有聯(lián)系,無限是有限的發(fā)展.無限個(gè)數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和,把它定義為“部分和”的極限,就是借助極限法,從有限認(rèn)識(shí)無限;“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對靜止兩種不同狀態(tài),但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如,要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,用初等方法是無法解決的,困難在于這時(shí)速度是變量。為此,人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速,并求其平均速度,把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限,就是借助極限法,從“不變”認(rèn)識(shí)“變”;曲線形與直線形有本質(zhì)的差異,但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化,正如恩格斯所說:“直線和曲線在微分中終于等同起來了?！鄙朴诶眠@種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得,要求曲線形的面積,只用初等的方法就不行了。劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓,一般地,人們用小矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積,都是借助極限法,從直線形認(rèn)識(shí)曲線形;量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系,兩者之間有著辯證關(guān)系。量變能引起質(zhì)變,質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一,在數(shù)學(xué)研究工作中起重要作用。對任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來說,當(dāng)它邊數(shù)加倍后,得到的還是內(nèi)接正多邊形,是量變,不是質(zhì)變。但是,不斷地讓邊數(shù)加倍,經(jīng)過無限過程之后,多邊形就“變”成圓,多邊形面積變轉(zhuǎn)化為圓面積.這就是借助極限法從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變;近似與準(zhǔn)確是對立統(tǒng)一關(guān)系,兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”,依次是相應(yīng)的無窮級數(shù)和、瞬時(shí)速度、圓面積的近似值,取極限后就可得到相應(yīng)的準(zhǔn)確值。這都是借助極限法,從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確。

由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性,很少有人懷疑數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性,而把它們當(dāng)作真理的一種典范。數(shù)學(xué)真的是萬古不變的真理嗎?數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性也是相對的,即使象1+1=2這樣簡單的公式也有不成立的地方。例如在布爾代數(shù)中,1+1=0,而布爾代數(shù)在電子線路中有廣泛的應(yīng)用;歐幾里德幾何在我們的日常生活中總是正確的,但在研究天體運(yùn)動(dòng)某些問題或速度很快的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)卻不適用。把數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和公理化體系看作是一種教條是錯(cuò)的。數(shù)學(xué)的公理化體系從來也不是不容懷疑、不容變化的“絕對真理”。就如歐幾里德的幾何體系從一開始就有人懷疑第五公設(shè)不是獨(dú)立性的。兩千多年來人們一直在尋找答案,終于在十九世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。雖然人們長時(shí)期受到歐幾里德幾何的束縛,但是最終人們還是接受非歐幾里德幾何。如果歷史上某些數(shù)學(xué)家多一點(diǎn)敢于向舊體系挑戰(zhàn)的革新精神,非歐幾里德幾何也許還可能早幾百年出現(xiàn)。

數(shù)學(xué)是多樣化的,它研究的范圍隨著新問題的出現(xiàn)而不斷擴(kuò)大。同一切科學(xué)一樣,如果死守著前輩的思想方法結(jié)論不放,數(shù)學(xué)就不會(huì)進(jìn)步。在一個(gè)學(xué)科領(lǐng)域內(nèi),當(dāng)有關(guān)的知識(shí)積累到一定的程度后,理論就會(huì)要求把一堆看來散亂的結(jié)果以某種體系的形式表現(xiàn)出來。這就需要對已有的事實(shí)再認(rèn)識(shí)、再審視、再思索,創(chuàng)造新概念、新方法,盡可能地使理論能包括最一般、最新發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。這是一個(gè)艱苦的理論創(chuàng)新過程。數(shù)學(xué)公理化也一樣,它表示數(shù)學(xué)理論已經(jīng)發(fā)展到了一個(gè)成熟的階段,但并不是認(rèn)識(shí)一勞永逸的終結(jié),現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)可能被今后更多更深刻的認(rèn)識(shí)所代替,現(xiàn)有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事實(shí)的公理提議所代替。數(shù)學(xué)就是在不斷地更新過程中得到發(fā)展。

參考文獻(xiàn):

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(責(zé)任編輯/彭巍)