于正榮

碰撞問題是高中物理的重點和難點，下面討論、澄清幾個與碰撞有關(guān)的問題。

問題1 質(zhì)量為m1的入射小球與靜止的、質(zhì)量為m2的被碰小球發(fā)生正碰，m1＞m2 是碰后入射小球不被反彈的必要條件嗎？

在高中物理學(xué)生分組實驗《驗證碰撞中的動量守恒》中，教材強調(diào)入射小球m1的質(zhì)量必須大于被碰小球m2的質(zhì)量，以至于有人認為這就是入射小球不被反彈的必要條件。對此有必要作深入的分析。

設(shè)碰前入射小球m1的速度為v1，m2靜止，碰后入射小球和被碰小球的速度分別為v′1、v′2，由于碰撞過程動量守恒，所以有：

m1v1=m1v′1+m2v′2（1）

由于兩小球的碰撞不一定是彈性碰撞，碰撞過程可能有動能損失，只能認為碰后系統(tǒng)的動能不大于碰前的動能，因此有：

12m1v21≥12m1v′12+12m2v′22（2）

由（1）、（2）兩式可解得：

v′1≥m1-m2m1+m2v1（3）

v′2≤2m1m1+m2v1

要使入射小球碰后不被反彈，應(yīng)滿足v′1＞0。由（3）式不難看出，如果m1＞m2，則必有v′1＞0。但值得注意的是，如果m1＜m2，雖然m1-m2m1+m2v1＜0，但由于v′1≥m1-m2m1+m2v1，v′1也有可能大于零。因此m1＞m2只是保證入射小球不被反彈的充分條件，而不是必要條件。

問題2 如圖1所示，在光滑絕緣水平的直軌道上有A、B兩個小球，它們相隔一定距離開始相向運動，A球的速度為2v，B球的速度為v。已知A球的質(zhì)量是B球質(zhì)量的3倍，兩球都帶正電，B球所帶電量是A球所帶電量的2倍。由于庫侖斥力的作用兩球不會直接接觸。下列說法正確的是（ ）

A．A球可能一直沿原來的方向運動，B球一定會反向運動；

B．A、B兩球都將反向運動，但B球先反向運動；

C．兩球距離最近時，速度大小相等、方向相同；

D．A球和B球所受的庫侖斥力始終做負功。

C選項容易判斷。由于系統(tǒng)總動量方向向右，所以它們距離最近時，速度大小相等，方向向右，即B球先反向運動。A球會不會反向運動？A球在運動過程中會一直受到向左的庫侖斥力作用，因此只要時間足夠長，速度總會反向。事實果真如此嗎？下面通過計算說明。

設(shè)經(jīng)過足夠長的時間，A、B兩球速度分別變?yōu)関′1、v′2。由于系統(tǒng)動量守恒，所以有：

3m?2v-mv=3mv′1+mv′2（4）

兩球從開始到距離最近時，B球已反向運動，以后兩球距離將越來越大，因此對整個過程而言，系統(tǒng)電勢能將轉(zhuǎn)化為動能。設(shè)電勢能減少量為ΔE璸，因此有：12?3m(2v)2+12mv2+ΔE璸=12?3mv′21+12mv′22（5）

由（4）、（5）兩式可解得：

v′1=54v±(34v)2+ΔE璸6m（6）

由于斥力的存在，v′1不可能大于2v，所以（6）式只能取v′1=54v-(34v)2+ΔE璸6m。要使A球一直沿原來的方向運動，則應(yīng)滿足：

v′1＞0（7）

由（6）、（7）兩式可解得這種情況下電勢能的減小量必須滿足：ΔE璸≤6mv2（8）

設(shè)兩球最初距離為r，則系統(tǒng)最初的電勢能為E璸=kq1q2r。因兩球無窮遠時電勢能為零，所以電勢能的減小量ΔE璸≤kq1q2r。由于兩球電量、起始距離的具體數(shù)值未知，所以ΔE璸可能大于6mv2也可能小于6mv2，（8）式有可能滿足，即A球可能一直向右運動。答案AC正確。

從運動的角度看，盡管A球一直受到向左的斥力（阻力）作用，但由于兩球距離越來越大，斥力越來越小，當(dāng)距離足夠大時，斥力幾乎為零，A球速度幾乎不再減小了。其運動的速度圖像如圖2所示。

問題3 靜止的氫原子處于第一激發(fā)態(tài)（n=2），現(xiàn)在用具有一定動能的實物粒子轟擊該氫原子，使該氫原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到第二激發(fā)態(tài)（n=3）。已知第一激發(fā)態(tài)的能級E2=-3.4eV，第二激發(fā)態(tài)的能級E3=-1.51eV。則下列可能實現(xiàn)的是（ ）

A．采用電子轟擊氫原子，電子的動能等于1.89eV；

B．采用電子轟擊氫原子，電子的動能等于3.80eV；

C．采用質(zhì)子轟擊氫原子，質(zhì)子的動能等于1.89eV；

D．采用質(zhì)子轟擊氫原子，質(zhì)子的動能等于3.80eV。

第一、二激發(fā)態(tài)的能級差為1.89eV，通常認為只要實物粒子的能量大于等于1.89eV即可使氫原子發(fā)生躍遷，選項中的A、B、C、D似乎都正確。其實問題并不這么簡單，原因是實物粒子使氫原子躍遷與光子使氫原子躍遷的情形并不完全相同。光子與氫原子作用時，可將自身全部能量給氫原子；實物粒子與氫原子發(fā)生作用（碰撞）時，只會將其自身動能的一部分給氫原子。下面討論要使氫原子發(fā)生躍遷，實物粒子的初動能應(yīng)具備什么條件。

設(shè)實物粒子和氫原子的質(zhì)量分別為m1、m2，氫原子起初靜止，實物粒子以速度v1與氫原子發(fā)生正碰，碰后速度分別變?yōu)関′1、v′2。由于動量守恒，所以有：m1v1=m1v′1+m2v′2（9）

碰撞前后系統(tǒng)損失的動能被氫原子獲得，使其發(fā)生躍遷，設(shè)這部分能量為ΔE，所以有：

12m1v21=12m1v′21+12m2v′22+ΔE（10）

由（9）式變形得到v′2=m1(v1-v′1)m2，將其代入（10）式，化簡并整理可得到關(guān)于v′1的一元二次方程為：m1(m1+m2)v′21-2m21v1v′1+2m2ΔE-m1(m2-m1)v21=0（11）

為使（11）式有實數(shù)解，方程根的判別式必須滿足Δ≥0，即：4m41v21-4m1(m1+m2)［2m2ΔE-m1(m2-m1)v21］≥0，化簡可得實物粒子的初動能應(yīng)滿足：

12m1v21≥(1+m1m2)ΔE（12）

如果是電子與氫原子碰撞，由于電子質(zhì)量m1頼2，根據(jù)（12）式可得12m1v21≥ΔE，即電子的動能只要大于等于氫原子的能級差，就可以使氫原子發(fā)生躍遷，所以選項A、B正確。

如果是質(zhì)子與氫原子碰撞，此時質(zhì)子質(zhì)量m1≈m2，根據(jù)（12）式可得12m1v21≥2ΔE，即質(zhì)子的動能必須要大于等于氫原子的能級差的2倍，才能使氫原子發(fā)生躍遷，所以選項C錯誤，正確答案為A、B、D。

問題4 為什么完全非彈性碰撞系統(tǒng)動能的損失最大？

先對碰撞過程作定性分析。設(shè)A、B兩球在光滑的水平面上分別以速度v1、v2同向運動，由于v1＞v2，將發(fā)生追碰（正碰）。從接觸開始，兩球由于相互擠壓而發(fā)生形變，它們之間因此產(chǎn)生相互排斥的彈力，所以A球減速運動，B球加速運動。容易推斷，當(dāng)兩球速度相等時距離最近，兩球擠壓形變的程度也最嚴重，由于形變而儲存的彈性勢能也最大。如果這個形變完全不能恢復(fù)，即發(fā)生了完全非彈性碰撞，顯然這時系統(tǒng)動能的損失最大。另外，如果兩物體發(fā)生的是迎面碰撞，碰撞的細節(jié)過程與前述類似，結(jié)論一致。

再對碰撞過程作定量分析。設(shè)兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，碰撞前、后的速度分別為v1、v′1 ，v2、v′2 。由于碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，有：

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2（13）

另外，由于碰撞的恢復(fù)系數(shù)

e=v′2-v′1v1-v2（14）

由（13）、（14）兩式可解得：

v′1=m1-em2m1+m2v1+(1+e)m2m1+m2v2（15）

v′2=(1+e)m1m1+m2v1+m2-em1m1+m2v2（16）

所以系統(tǒng)動能的損失為：

ΔE璳=(12m1v21+12m2v22)-(12m1v′21+12m2v′22)

=(1-e2)m1m2(v1-v2)22(m1+m2)（17）

由（17）式可以看出：當(dāng)e=0時系統(tǒng)動能損失最大。而恢復(fù)系數(shù)e=0時，由（14）式可得到v′1=v′2，這正是完全非彈性碰撞。

另外，從（17）式還可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)e=1時，ΔE璳=0，此碰撞為彈性碰撞。另外，由（14）式可得到v′2-v′1=v1-v2 ，這正是我們熟悉的另一個結(jié)論：彈性碰撞，分離速度差等于接近速度差。

(欄目編輯羅琬華)