王善軍

要提高冪的運(yùn)算的正確性,需在三個(gè)方面加以注意:1.公式的使用條件——同底和相應(yīng)運(yùn)算。2.分清指數(shù)運(yùn)算。3.公式的逆運(yùn)用在有的情況下有簡(jiǎn)便運(yùn)算。

初中一年級(jí)有關(guān)同底數(shù)冪的運(yùn)算通常包括:冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法與同底同指數(shù)的冪的加法(合并同類(lèi)項(xiàng))。

各運(yùn)算單獨(dú)出現(xiàn)時(shí),學(xué)生計(jì)算起來(lái)還是能夠準(zhǔn)確的。但是,當(dāng)它們出現(xiàn)混合運(yùn)算時(shí),有兩處處理的時(shí)候有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤。一是底數(shù)有的運(yùn)算中出現(xiàn)相反數(shù)時(shí)對(duì)符號(hào)的處理時(shí)有難易之分。二是學(xué)生對(duì)指數(shù)的運(yùn)算容易出現(xiàn)混淆情況。那么就需要一種方法去分清它們之間的區(qū)別,記住計(jì)算方法。

一、在出現(xiàn)底數(shù)是相反數(shù)處理符號(hào),把它化為同底數(shù)的方法

依據(jù)是:多個(gè)數(shù)相乘時(shí),積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),積為負(fù);當(dāng)負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí),積為正。具體處理方法有兩種:

1.先把每個(gè)冪的符號(hào)確定為正或負(fù),在根據(jù)乘法的符號(hào)確定方法來(lái)確定,最后在根據(jù)公式計(jì)算。例如

(-a)33·(a2)2·(-a)5·a3

=(-a9)·a4·(-a)5·a3

=+(a9·a4·a5·a3)

=a21

底數(shù)分別是-a和a,不是同底,解決方法——化為同底數(shù)。

兩個(gè)負(fù)因數(shù),積為正。

2.可以一次性確定符號(hào),轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問(wèn)題.還是剛才的例題。

(-a)33·(a2)2·(-a)5·a3

=(-a)9·a4·(-a)5·a3

=+(a9·a4·a5·a3)

=a21

負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)9+5=14是偶數(shù),積為正。

再例如:

(-a)33·(a2)2·(-a)6·a3

=(-a)9·a4·(-a)6·a3

=-a10

負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)9-6=3是奇數(shù),積為負(fù)。

二、冪的運(yùn)算法則實(shí)例

它們的運(yùn)算法則是:冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減;合并同類(lèi)項(xiàng),合并它們的系數(shù),字母和指數(shù)均不變。它們有兩個(gè)共同特點(diǎn):1.底數(shù)不變。2.指數(shù)在進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算。問(wèn)題就出現(xiàn)指數(shù)運(yùn)算上,但指數(shù)運(yùn)算也有規(guī)律的:冪的乘方指數(shù)是乘法,同底數(shù)冪相乘指數(shù)相加,同底數(shù)冪相除指數(shù)相減.我們可以把運(yùn)算分為三級(jí):乘方、乘除、加減.那么技巧就是:指數(shù)運(yùn)算比相應(yīng)冪的運(yùn)算“降一級(jí)”——冪的乘方指數(shù)對(duì)應(yīng)運(yùn)算降為乘法,同底數(shù)冪相乘指數(shù)對(duì)應(yīng)運(yùn)算降為加,同底數(shù)冪相除指數(shù)對(duì)應(yīng)運(yùn)算將為減,同底同指數(shù)冪加減指數(shù)不變。這樣在混合運(yùn)算中按冪的運(yùn)算來(lái)確定指數(shù)運(yùn)算就不容易出現(xiàn)問(wèn)題了。下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明:

例:1.乘方與乘方

(a2)3·(a3)4

=a6·a12

=a18

指數(shù)運(yùn)算為加

2.乘除

a10÷a7·a2

=a10-7+2

=a5

指數(shù)運(yùn)算分別為加減

3.乘與加減

a·a7+a4·a4-a2·a3

=a8+a8-a5

=2a8-a5

指數(shù)運(yùn)算為加

指數(shù)不變

4.乘方、乘、加減

(a4)2+a3·a5-a9·a2

=a8+a8-a7

=2a8-a7

指數(shù)運(yùn)算分別為乘、加

指數(shù)不變

三、冪的運(yùn)算公式的逆運(yùn)用

在整式乘除運(yùn)算中,有的運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算,有的運(yùn)用乘法公式運(yùn)算,大量習(xí)題都是直接套用公式運(yùn)算,但有一部分如果直接運(yùn)用公式不僅計(jì)算很繁,而且很難計(jì)算準(zhǔn)確。如果把公式反過(guò)來(lái)使用,就會(huì)化繁為簡(jiǎn),化難為易。

1.同底數(shù)冪乘法公式的逆用

例1.已知3m=4,3n=5求3m+n

分析:本題如果想先求出m,n的值,再代入3m+n中求值,是很難辦到的,但若將同底數(shù)冪乘法性質(zhì)反過(guò)來(lái)用,就可得到aman=am+n,這樣問(wèn)題就迎刃而解了.

解:3m+n=3m·3n=4×5=20.

2.積的乘方性質(zhì)的逆用

例2.計(jì)算(a-1)2(a+1)2

分析:這個(gè)題若按一般運(yùn)算順序,先算乘方,后算乘法,就會(huì)很繁雜,但若仔細(xì)觀察,不難發(fā)現(xiàn),作為兩個(gè)因式的冪的指數(shù)都是2,如果將積的乘方性質(zhì)反過(guò)來(lái)運(yùn)用就會(huì)簡(jiǎn)捷很多.

解:(a-1)2(a+1)2

=(a-1)(a+1)2

因此,記住冪的運(yùn)算中指數(shù)運(yùn)算比相應(yīng)冪的運(yùn)算“降一級(jí)”就能準(zhǔn)確分清指數(shù)運(yùn)算,提高運(yùn)算的正確率,避免失誤.

總之,把握好冪的運(yùn)算法則和一定的技巧方法能給我們的運(yùn)算帶來(lái)更快、更準(zhǔn)確的效果。

作者單位:江蘇省贛榆縣金橋雙語(yǔ)學(xué)校