函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 函數(shù)概念的產(chǎn)生，本身就標(biāo)志著數(shù)學(xué)思想方法的重大轉(zhuǎn)折——由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)。而函數(shù)的應(yīng)用，更使得數(shù)學(xué)的面貌從對(duì)象到理論、方法、結(jié)構(gòu)都發(fā)生了根本的變化。函數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題，在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域占有非常重要的地位，同時(shí)它也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是普通高中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)、教師教學(xué)的重點(diǎn)。本研究的目的在于分析出普通高中各年級(jí)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解程度，從而進(jìn)一步探索出普通高中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解程度的一般規(guī)律，期望能對(duì)函數(shù)概念的教與學(xué)提供借鑒。

1.函數(shù)概念的教學(xué)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是最重要的概念之一，函數(shù)概念深刻反映了客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化與實(shí)際事物的量與量之間的依存關(guān)系，它告訴人們一切事物都在不斷地變化著，而且相互聯(lián)系、相互制約。因而函數(shù)概念是培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)、解決實(shí)際問題的有力工具。函數(shù)概念不僅與中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容(如數(shù)、式、方程等)有密切聯(lián)系，而且是近代數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)。由于函數(shù)思想充分體現(xiàn)了集合、對(duì)應(yīng)、映射等基本數(shù)學(xué)思想，因而就使中學(xué)數(shù)學(xué)能接近數(shù)學(xué)科學(xué)的現(xiàn)代水平，進(jìn)而使學(xué)生獲得基本的深刻的有用的高等數(shù)學(xué)思想方法［１］。

關(guān)于函數(shù)與函數(shù)值函數(shù)的傳統(tǒng)記號(hào)是f(x)或y=f(x)或f(x，y)=0，學(xué)生常常搞不清哪個(gè)是哪個(gè)的函數(shù)。如果設(shè)函數(shù)的集合為A，那么f(x)∈A所表示的是函數(shù)值屬于A，這種表示就錯(cuò)了。同樣y=f(x)∈A或f(x，y)=0∈A也是錯(cuò)的。我們所指的函數(shù)是f，記號(hào)f∈A才是正確的。函數(shù)f是指將f(x)指派給x，如lg是將lgx指派給x。

例1.f(x)=2x+1，求f(x-1)，f［f(x)］，并說明f(x)與f(x-1)是否為同一函數(shù)。

解：f(x-1)=2(x-1)+1=2x-1

f［f(x)］=2f(x)+1=2(2x+1)+1=4x+3

顯然f(x)與f(x-1)不是同一函數(shù)，這里雖然定義域、值域都相同，但對(duì)于x來(lái)說，“對(duì)應(yīng)法則”是完全不同的。

例2.已知y=f(x)的定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)，求f(x-1)的定義域。

分析：f(x-1)中自變量應(yīng)是“x”，而非“x-1”，因此求定義域，即求x的取值范圍。

解：由已知0≤x-1≤1有1≤x≤2，

解之得1≤x≤或-≤x≤-1，

∴f(x-1)定義域?yàn)閧x|1≤x≤或-≤x≤-1}。

例3.判定函數(shù)f(x)=1，f(x)=sinx+cosx二者是否為同一函數(shù)。

從形式上講，無(wú)論如何也不能斷言這兩個(gè)函數(shù)相等;而從本質(zhì)上講，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，sinx+cosx=1又無(wú)可非議，因而f(x)=f(x)，所以不管對(duì)應(yīng)法則如何千變?nèi)f化，抓住函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)便不會(huì)產(chǎn)生理解上的歧義。又如函數(shù)f(x)=x，f(x)=是不同的兩個(gè)函數(shù)。因此正確理解函數(shù)的概念，要從函數(shù)的三要素(定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則)入手，逐一考查。

2.函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)

研究函數(shù)的性質(zhì)，不僅可以加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)、理解、掌握，更重要的是可以利用函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題［３］。對(duì)函數(shù)是一個(gè)刻畫某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，我們已經(jīng)形成初步認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性，亦即“變中不變”的性質(zhì)。作為教學(xué)活動(dòng)的第一環(huán)節(jié)，課題的提出應(yīng)該是自然的，學(xué)生容易產(chǎn)生共鳴。目前中學(xué)對(duì)這個(gè)內(nèi)容普遍采用照字面意義講解定義的方法，以教師講解為主，雖然也有啟發(fā)引導(dǎo)，但總體上缺少學(xué)生的主動(dòng)活動(dòng)，特別是缺少學(xué)生自己的思維構(gòu)造，本質(zhì)上是缺少一個(gè)“建構(gòu)”的過程。其實(shí)，對(duì)于如何用探究的方法對(duì)“函數(shù)單調(diào)性”進(jìn)行建構(gòu)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷思維構(gòu)造的過程，一些中學(xué)教師很關(guān)注，向往解決，并進(jìn)行了嘗試，但不盡人意，感覺較難處理，有待突破。

3.教學(xué)案例及分析

課例1：函數(shù)的單調(diào)性。

授課時(shí)間：2008年11月14日。

授課地點(diǎn)：攀枝花某中學(xué)高一(3)班。

教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)單調(diào)性的概念，把握函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì);掌握判斷和證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟。

教學(xué)過程：

（1）啟發(fā)引入階段。

師：請(qǐng)同學(xué)們作出下列三個(gè)函數(shù)的圖像：(1)y=-x；(2)y=|x-2|；(3)y=。(教師巡視)

(幾分鐘后，請(qǐng)兩位學(xué)生畫(1)，(2)和(3)的圖像，請(qǐng)其他學(xué)生與黑板上的核對(duì)有什么不同。)

(2)閱讀書本階段。

師：對(duì)照書上給出的單調(diào)性定義，強(qiáng)調(diào)增函數(shù)、減函數(shù)是在區(qū)間上。而區(qū)間很重要，是自變量與函數(shù)值的關(guān)系。這里x，x的任意性是非常重要的。對(duì)照書本再看一下概念，單調(diào)區(qū)間。

（3）解疑、訓(xùn)練階段。

例題講解，證明函數(shù)f(x)=-x+1是R上的減函數(shù)。簡(jiǎn)析：這個(gè)課例比較明顯地表現(xiàn)為一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)現(xiàn)過程，比較多地表現(xiàn)為概念形成過程。教師呈現(xiàn)了一個(gè)觀察三個(gè)函數(shù)的共性的問題情境，通過這個(gè)情境，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。然后在這一理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上給出書上的形式化定義，完善學(xué)生對(duì)于單調(diào)性的數(shù)學(xué)理解，并通過證明練習(xí)，鞏固新知識(shí)的獲得，整個(gè)過程設(shè)計(jì)得完整、合理，符合學(xué)生的認(rèn)知與思維特點(diǎn)。

案例2：函數(shù)的概念。

授課地點(diǎn)：攀枝花某中學(xué)高一(3)班。

教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)與技能

①了解函數(shù)是特殊的數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)，理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素。

②了解“區(qū)間”“無(wú)窮大”等概念，掌握區(qū)間的符號(hào)表示。

（2）過程與方法

①進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)概念中的作用。

②通過現(xiàn)實(shí)事物本質(zhì)，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與概括，重視其經(jīng)歷，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)由具體逐步過渡到符號(hào)化、代數(shù)式化的數(shù)學(xué)思想。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀

①能對(duì)以往學(xué)過的知識(shí)理性化思考，對(duì)事物間的聯(lián)系有一種數(shù)學(xué)化的思考。

②函數(shù)知識(shí)是學(xué)好數(shù)學(xué)后繼知識(shí)的基礎(chǔ)和工具，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、滲透靜與動(dòng)的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

教學(xué)過程：

實(shí)例1：國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高，表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)問(年)變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來(lái)，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化。

從圖表中的數(shù)據(jù)可以看出我國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)在逐年減少。

4.結(jié)語(yǔ)

針對(duì)教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合函數(shù)歷史，我認(rèn)為中學(xué)函數(shù)教學(xué)應(yīng)該加強(qiáng)以下幾點(diǎn)。

(1)重視函數(shù)的概念教學(xué)

我國(guó)的教學(xué)一貫是注重運(yùn)算推理與解題技能，而對(duì)知識(shí)的產(chǎn)生過程漠不關(guān)心，其結(jié)果只能是空中樓閣，所以我們應(yīng)該重視函數(shù)的概念教學(xué)。調(diào)查結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)是多樣的，歷史上不同時(shí)期、不同的數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)也是各不相同的，因此概念的教學(xué)還應(yīng)該多樣化［4］。例如在解決有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域的問題時(shí)，采用“變量”觀點(diǎn)給出的定義，這樣便于突出y隨x的變化情況;在講述反函數(shù)概念時(shí)，應(yīng)采用“解析式”觀點(diǎn)給出的定義，以顯示原函數(shù)和反函數(shù)在定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則上的聯(lián)系;在引入一些特殊的函數(shù)時(shí)(如問題4中的D)，使用“映射”觀點(diǎn)給出的定義;在處理關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等綜合性問題時(shí)，不妨借助于圖形，使用“圖像”觀點(diǎn)給出的定義［5］。

(2)豐富和修正學(xué)生的函數(shù)表象

由于函數(shù)表象和函數(shù)定義的分離學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)并不理想。學(xué)生在某場(chǎng)合是利用函數(shù)表象來(lái)處理問題的，而錯(cuò)誤和狹隘的表象會(huì)給學(xué)生造成障礙。在教學(xué)中，我們應(yīng)拋開課本和參考書的局限，盡可能多地讓學(xué)生接觸函數(shù)例子和相關(guān)問題(Clement，2001)，尤其在高中階段對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)之后。從歷史上看，人們對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)是通過一些具體函數(shù)來(lái)深化的，如柯西根據(jù)函數(shù)y=x(x≥0)-x(x＜0)和函數(shù)y=是同一函數(shù)而修改了前人的定義;狄里克雷也是由于發(fā)現(xiàn)了著名的狄里克雷函數(shù)而重新定義了函數(shù)。

(3)為學(xué)生提供充分的討論機(jī)會(huì)

在歷史上，函數(shù)概念正是在眾多數(shù)學(xué)家的討論和爭(zhēng)辯中發(fā)展和完善的，一種定義、一個(gè)函數(shù)都要經(jīng)過他人的檢驗(yàn)和接受［6］。因此在正常教學(xué)的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)當(dāng)多創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生對(duì)一些典型問題展開討論，在討論中明辨是非，鞏固概念，全面地認(rèn)識(shí)函數(shù)的各個(gè)方面。

(4)在教學(xué)中應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)

教學(xué)與信息技術(shù)的整合勢(shì)在必行，我國(guó)(至少是教育落后地區(qū))在這方面差得很遠(yuǎn)，測(cè)試中沒有一個(gè)學(xué)生能把函數(shù)看成是“加工機(jī)”或“程序”等，而國(guó)外早就有這方面的案例(Tall 1992;Kieran 1993)。利用圖像對(duì)問題進(jìn)行分析，或根據(jù)圖像設(shè)計(jì)問題，這樣對(duì)函數(shù)的圖像教學(xué)及對(duì)函數(shù)的理解都會(huì)有幫助作用［7］。

(5)將函數(shù)的歷史融入教學(xué)

歷史對(duì)教學(xué)的作用己經(jīng)受到關(guān)注，HPM研究方興未艾。學(xué)生的函數(shù)定義與歷史上的定義具有相似性，學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的疑惑在歷史上也存在過，因此在函數(shù)的教學(xué)中，如果能恰當(dāng)?shù)厝谌霘v史，無(wú)疑會(huì)改善我們的教學(xué)［8］。

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