引：如圖1所示，用一大小不變的力F拉著物體沿一半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)一周，力F方向始終沿切線方向，求F所做的功。

分析：此為變力做功，若套用公式W=FL，由于運(yùn)動(dòng)一周位移為0，則W=0。

但實(shí)際情況是：變力F始終與運(yùn)動(dòng)方向相同，變力F始終作為動(dòng)力做功，因此在物體運(yùn)動(dòng)一周過(guò)程中，變力F應(yīng)該做正功。

解決問(wèn)題的方法：可用微元法將曲線分成無(wú)限個(gè)小元段△L。每一小元段由于無(wú)限小，都可以看成是直線，從而在每一小元段內(nèi)，可看成是恒力F在做功：W=F·△L，總功為各個(gè)小元段做功的代數(shù)和：W=∑W=∑F·△L=F∑△L=F·2πR=2πRF。

微元法是分析、解決物理問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將研究對(duì)象（物體或物理過(guò)程）進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的。微元可以是一小段線段、圓弧，一小塊面積，一個(gè)小體積、小質(zhì)量，一小段時(shí)間……但應(yīng)具有整體對(duì)象的基本特征。這樣，只需分析這些“元過(guò)程”，然后將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，問(wèn)題便可解決。微元法是采用分割、近似、求和、取極限四個(gè)步驟建立所求量的積分式來(lái)解決的。

例1：設(shè)某個(gè)物體初速度為v，做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，則物體的位移與時(shí)間的關(guān)系式為x=vt+at，試推導(dǎo)。

解析：作物體的v-t圖像，如圖2把物體的運(yùn)動(dòng)分割成若干個(gè)小元段，由于每一小元段時(shí)間△t極短，速度可以看成是不變的，設(shè)為v，則在此△t時(shí)間內(nèi)物體的位移為x=v△t，物體在時(shí)間t內(nèi)的位移為x=∑x=∑v△t，在v-t圖像上則為若干個(gè)矩形面積之和。

圖2

當(dāng)把運(yùn)動(dòng)過(guò)程分得非常非常細(xì)，若干個(gè)矩形合在一起就成了梯形OABC。圖線與軸所夾的面積，表示在時(shí)間t內(nèi)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移。

S=（OC+AB）·OA，所以x=（v+v）t。

又v=v+at，聯(lián)立得x=vt+at。

例2：利用力－位移圖像可求功。設(shè)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為零，試推導(dǎo)當(dāng)彈簧形變量為x時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E=kx，其中為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)。

解析：彈簧從處于原長(zhǎng)到被拉長(zhǎng)的過(guò)程中，若克服彈力做功為W，則E=W。但彈力F為變力，W≠Fx。怎么求變力所做的功？

根據(jù)F=kx作F-x圖像，如圖3，把彈簧的伸長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)分割成無(wú)數(shù)個(gè)小元段。由于每一小元段伸長(zhǎng)量△x極短，彈力可以看成是不變的，設(shè)為F，則在此過(guò)程中彈力做功為：△W=F△x。

圖3

彈簧在伸長(zhǎng)x過(guò)程中彈力做功為：W=∑△W=∑F△x，在F-x圖像上則為若干個(gè)矩形面積之和。當(dāng)把彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程分得非常非常細(xì)，若干個(gè)矩形合在一起就成了三角形OAB，圖線與x軸所夾的三角形面積就表示彈簧在伸長(zhǎng)過(guò)程中彈力做的功。

S=·OA·OB，所以W=x·kx=kx，即E=kx。

例3：質(zhì)量為m的物體從高為n的山頂，沿如圖4所示的曲線滑到山腳，用微元法求重力做功多少？

圖4

解析：把物體從山頂?shù)缴侥_所經(jīng)過(guò)的曲線路段分割成無(wú)數(shù)個(gè)小元段，由于每一小元段△L都很小，可認(rèn)為△L段為直線。設(shè)△L段斜面頂角為α，則物體通過(guò)△L段重力做功為：△W=mg·△L·cosα=mg·△h。

∴物體從山頂滑到山腳重力所做的總功W=∑△W=mg∑△h=mgh。

例4：如圖5所示，將質(zhì)量為m的物體從山腳拉到高為h的山頂，且拉力總是與物體所經(jīng)過(guò)的坡面平行，已知物體與坡面的摩擦系數(shù)為μ，山腳到山頂?shù)乃骄嚯x為s，求將物體從山腳拉到山頂至少要做多少功？

圖5 圖5′

解析：物體在拉力作用下從山腳拉到山頂，重力勢(shì)能增加，需要拉力做功；又因?yàn)槲矬w與山坡間有摩擦力作用，所以同時(shí)還要克服摩擦力做功。故拉力所做的總功最小值為物體重力勢(shì)能的增加量與克服摩擦力做功之和。

摩擦力在山坡的不同位置其方向、大小都不相同，要求出克服摩擦力所做的功，可把物體從山腳到山頂所經(jīng)過(guò)的曲線路段分割成無(wú)數(shù)個(gè)小元段，由于每一小元段△L都很小，可認(rèn)為△L段為直線，摩擦力方向、大小都不變。通過(guò)取一微元段進(jìn)行分析，進(jìn)而求得全過(guò)程摩擦力做的總功。

解答：當(dāng)把物體緩慢地拉到山頂時(shí)，拉力做功最少。

該過(guò)程中，物體重力勢(shì)能的增加量為：△E=mgh。

如圖5′，把物體從山腳到山頂所經(jīng)過(guò)的曲線路段分割成無(wú)數(shù)個(gè)小元段，由于每一小元段△L都很小，可認(rèn)為△L段為直線。設(shè)△L段斜面傾角為θ，則該小段△L過(guò)程中摩擦力為恒力，且f=μmgcosθ。

物體通過(guò)△L段克服摩擦力做功為：△W=f·△L=μmgcosθ·△L=μmg·△s。

物體從山腳到山頂克服摩擦力做的總功為：W=∑△W=μmg∑△s=μmgs。

綜上所述知：將物體拉到山頂，拉力至少要做的功為：W=△E+W=mgh+μmgs。

例5：某行星圍繞太陽(yáng)C沿圓弧軌道運(yùn)行，它的近日點(diǎn)A離太陽(yáng)的距離為a，行星經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)A時(shí)的速度為v，行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)B離開(kāi)太陽(yáng)的距離為b，如圖6所示，求它經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)的速度v的大小。

圖6 圖6′

解析：此題可根據(jù)開(kāi)普勒第二定律用微元法求解。設(shè)行星在近日點(diǎn)A時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間△t，由于時(shí)間極短，如圖6′，可以認(rèn)為行星在△t時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為v，半徑為a，可以得到行星在△t時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為：s=v△t·a。

同理，設(shè)行星在經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間△t，則也有：s=v△t·b。

由開(kāi)普勒第二定律可知：s=s，聯(lián)立得：v=v。

總之，“微元法”作為高中物理的一個(gè)重要物理思想，在被應(yīng)用于物理解題時(shí)，通?；白儭睘椤昂恪保杨}中給出的變化的事物或題中反映的變化的過(guò)程轉(zhuǎn)化為極為簡(jiǎn)單的不變的事物或不變的過(guò)程來(lái)處理。其常用手段為：通過(guò)限制“變化”賴(lài)以發(fā)生的“時(shí)間”和“空間”來(lái)限制“變化”。由于一切“變化”都必須在一定的時(shí)間和空間范圍內(nèi)才可能得以實(shí)現(xiàn)，因此“微元法”就抓住“變化”的這一本質(zhì)特征，通過(guò)限制“變化”所需的時(shí)間或空間來(lái)把變化的事物或變化的過(guò)程轉(zhuǎn)化為不變的事物或不變的過(guò)程。