教育心理學(xué)理論認(rèn)為：思維是人腦對事物本質(zhì)和事物之間規(guī)律性關(guān)系概括的間接的反映。思維是認(rèn)知的核心成分，思維的發(fā)展水平?jīng)Q定著整個(gè)知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能。新課程改革下的現(xiàn)代教育強(qiáng)調(diào)“知識結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)過程”，目的在于發(fā)展學(xué)生的思維能力。只有把掌握知識、技能作為中介來發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求。數(shù)學(xué)知識可能在將來會遺忘，但思維品質(zhì)的培養(yǎng)會影響學(xué)生的一生，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值得以真正實(shí)現(xiàn)的理想途徑。

高中學(xué)生一般為15—18歲，處于青年初期。他們的身心急劇發(fā)展、變化和成熟，學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加復(fù)雜、深刻，生活更加豐富多采。這種巨大的變化對高中學(xué)生的思維發(fā)展提出了更高的要求。研究表明，從初中二年級開始，學(xué)生的思維由經(jīng)驗(yàn)型水平向理論型水平轉(zhuǎn)化，到高中一、二年級，逐步趨向成熟。教師應(yīng)抓住學(xué)生思維發(fā)展的飛躍時(shí)期，利用成熟期前可塑性大的特點(diǎn)，做好思維品質(zhì)的培養(yǎng)工作，使學(xué)生的思維得到更好的發(fā)展。

思維品質(zhì)主要包括思維的靈活性、廣闊性、敏捷供、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性等幾個(gè)方面。思維的靈活性是建立在思維廣闊性和深刻性的基礎(chǔ)上，并為思維敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性提供保證的良好品質(zhì)。人們在工作、生活中，照章辦事易，開拓創(chuàng)新難，難就難在缺乏靈活的思維。所以，思維靈活性的培養(yǎng)顯得尤為重要。

思維的靈活性指思維活動(dòng)的靈活程度，指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時(shí)地用新的觀點(diǎn)看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實(shí)際的解決問題的新設(shè)想、新方案和新方法。學(xué)生思維的靈活性主要表現(xiàn)為：（1）思維起點(diǎn)的靈活：能從不同角度、不同層次、不同方法根據(jù)新的條件迅速確定思考問題的方向。（2）思維過程的靈活：能靈活運(yùn)用各種法則、公理、定理、規(guī)律、公式等從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑。（3）思維遷移的靈活：能舉一反三，觸類旁通。

如何使更多的學(xué)生思維具有靈活特點(diǎn)呢？在教學(xué)實(shí)踐中我作了一些探索。

一、以“發(fā)散思維”的培養(yǎng)提高思維靈活性。

美國心理學(xué)家吉爾福特（J·P·Guilford）提出的“發(fā)散思維”（divergentthinking）的培養(yǎng)就是思維靈活性的培養(yǎng)?！鞍l(fā)散思維”指“從給定義的信息中產(chǎn)生信息，其著重點(diǎn)是從同一的來源中產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多的輸出，很可能會發(fā)生轉(zhuǎn)換作用”。

在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，普遍存在著比較重視集中思維的訓(xùn)練，而相對忽視發(fā)散思維的培養(yǎng)的問題。發(fā)散思維是理解教材、靈活運(yùn)用知識所必需的，也是迎接信息時(shí)代、適應(yīng)未來生活所應(yīng)具備的能力。發(fā)散思維能力的培養(yǎng)應(yīng)圍繞以下幾個(gè)方面：

1.注重知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，它是在探求使已知成立的必要條件和使結(jié)論成立的充分條件的過程中，由未知向已知轉(zhuǎn)化、由復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化。掌握知識間的聯(lián)系是完成轉(zhuǎn)化思想必要的知識基礎(chǔ)。一些學(xué)生在解答問題時(shí)，當(dāng)思維受阻時(shí)不是去對原題進(jìn)行再認(rèn)識，而停留在某一角度苦思冥想，未能把握知識間的相互聯(lián)系對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，致使問題得不到解決。教師要針對這一問題，使學(xué)生注重知識間的聯(lián)系，對問題進(jìn)行多角度分析，形成用轉(zhuǎn)化思想來改變題型結(jié)構(gòu)的習(xí)慣和能力。轉(zhuǎn)化就是對問題的發(fā)散，使問題得以解決。

例1：求2sin2x+3cosx+a=0有解的a的取值范圍。

分析:此題可將原方程化為關(guān)于cosx的一元二次方程:2cos2x-3cosx-2-a=0。用一元二次方程根的分布來解很麻煩。如果從問題的結(jié)論出發(fā)，注意到a=2cos2x-3cosx-2，通過題型的變化，就可以把問題轉(zhuǎn)化為求2cos2x-3cosx-2的值域的問題，從而使問題輕松解決。

2.在教學(xué)中設(shè)置開放性問題，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的基本途徑。

例2：已知：sinα+sinβ=（1），cosα+cosβ=（2），由此可得到哪些結(jié)論？

我讓學(xué)生進(jìn)行探索，然后相互討論研究，各抒己見。

想法一：（1）＋（2），可得cos（α-β）=-（兩角差的余弦公式）。

想法二：（1）×（2），再和差化積：sin（α+β）［cos（α-β）+1］=，結(jié)合想法一可知：sin（α+β）=。

想法三：（1）-（2）再和差化積：2cos（α+β）［cos（α-β）+1］=-，結(jié)合想法一可知：cos（α+β）=-。

想法四：，再和差化積，約去公因式：tan=，進(jìn)而用萬能公式可求：sin（α+β）、cos（α+β）、tan（α+β）。

想法五：由sin α+cos β=1消去α：4sinβ+3cosβ=；消去β：4sinα+3cosα=（消參思想）。

想法六：（1）+（2），并逆用兩角和的正弦公式：sin（α+）+sin（β+）=；（1）-（2），并逆用兩角差的正弦公式：sin（α-）+sin（β-）=。

想法七：（1）×3-（2）×4：3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，sin（α-θ）+sin（β-θ）=0（θ=arctan），

即2sin·cos=0?！唳?2kπ+π+β（與已知矛盾舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z）。則sin（α+β）、cos（α+β）、tan（α+β）均可求。

開放型題目的引入，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來思考，不僅思考條件本身，而且思考條件之間的關(guān)系。教師根據(jù)條件運(yùn)用各種綜合變換手段來處理信息、探索結(jié)論，有利于學(xué)生思維起點(diǎn)靈活性的培養(yǎng)，也有利于學(xué)生孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

3.注重類比聯(lián)想，探索創(chuàng)新思維。

“發(fā)散”是為了尋求問題解決的最佳思路、最佳結(jié)果。這些思路和途徑的獲得需要聯(lián)想、類比，所以在教學(xué)中教師要重視類比聯(lián)想能力的培養(yǎng)。教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律多方位地類比聯(lián)想，異中求同，同中求異，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納總結(jié)。這樣學(xué)生在掌握更多知識的同時(shí)能拓寬思路。例如:看到以“1”為結(jié)論就聯(lián)想到1=a（a≠0）=a·a（a≠0）=log a（a＞0）=tan45°=sin90°=sinx+cosx等，看到“a+b”就聯(lián)想到“復(fù)數(shù)的?！?、“勾股定律”、“點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離”、“圓的方程x+y=r”及“sin x+cos x=r，且a=rcosx，b=rsinx”等。

二、以思維靈活性的提高帶動(dòng)思維其他品質(zhì)的提高，以思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)來促進(jìn)思維靈活性的培養(yǎng)。

由于思維的各種品質(zhì)是彼此聯(lián)系、密不可分的，處于有機(jī)的統(tǒng)一體中，因此，思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)能有力地促進(jìn)思維靈活性的提高。

1.思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指善于從事物的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，善于從事物之間的關(guān)系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。

例3：方程sinx＝lgx的解有（ ）個(gè)。

A.1 B.2 C.3 D.4

學(xué)生習(xí)慣于通過解方程求解，而此方程無法求解，常令學(xué)生手足無措。若運(yùn)用靈活的思維換一個(gè)角度思考，會發(fā)現(xiàn)此題的本質(zhì)為求方程組y=sinxy=lgx的公共解，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.思維的廣闊性是指善于抓住問題的各個(gè)方面，又不忽視其重要細(xì)節(jié)的思維品質(zhì)，要求學(xué)生能認(rèn)真分析題意，調(diào)動(dòng)和選擇與之相應(yīng)的知識，尋找解答關(guān)鍵。

例4：已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x＝-1，在x軸上截得線段長為4，求拋物線方程。

解法一：截距為3，可選擇一般式方程：y=ax+bx+c（a≠0），顯然有c＝3，利用其他條件可列方程組求a，b值。

解法二：由對稱軸為直線x＝-1，可選擇頂點(diǎn)式方程：y=a（x-m）■+k（a≠0），顯然有m＝-1，利用其他條件可列方程組求a，k的值。另外，由圖像對稱性可知x軸上交點(diǎn)為（1，0）和（-3，0）。

解法三：由截距為3，即過三點(diǎn)（0，3）、（1，0）和（-3，0），可選擇一般式方程：y=ax■+bx+c（a≠0），代入點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求a，b，c值。

解法四：由一元二次方程與一元二次函數(shù)關(guān)系可選擇兩根式：y=a（x-x■）（x-x■）（a≠0）（必須與x軸有交點(diǎn)），顯然x■＝－3，x■＝1。由截距3，可求a值。

3.在把握整體的前提下，側(cè)重某一條件作為解答突破口，在思維廣闊性的基礎(chǔ)上，充分運(yùn)用思維靈活性調(diào)動(dòng)相關(guān)知識、技能尋找解題途徑。

思維的敏捷性指思維活動(dòng)的速度。它的指標(biāo)有二個(gè)：一是速度，二是正確率。具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過程。思維靈活性對于思維速度和準(zhǔn)確率的提高起著決定性作用。

例5：若兩直線l■：y=k（x+3）-2，l■：x+4y-4=0的交點(diǎn)在第一象限，求k的范圍。

常規(guī)解法：先求交點(diǎn)，再根據(jù)x、y均大于0，可求得k的范圍。

巧解：由于l■：y=k（x+3）-2表示恒過定點(diǎn)（-3，-2）的直線系，再結(jié)合圖像，很容易得k的范圍。

此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性，以簡馭繁，用特殊化思想求解，解題迅速、正確。

4.思維的獨(dú)創(chuàng)性指思維活動(dòng)的獨(dú)創(chuàng)程度，具有新穎善于應(yīng)變的特點(diǎn)。思維的靈活性為思維的獨(dú)創(chuàng)性提供了肥沃的土壤，為解題“靈感”的閃現(xiàn)提供了燃料。

在教學(xué)實(shí)線中，我常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生提出富有個(gè)性的見解的時(shí)候，往往是“思維火花”閃爍的時(shí)候。

例6：求值：sin■ 10°+sin■ 50°+sin10°sin50°。

一般解法：原式=1-■（cos20°+cos100°）+sin10°sin50°

=1-cos60°cos40°+■（-cos60°+cos40°）

=■

獨(dú)特靈活的解法1：令x=sin■ 10°+sin■ 50°+sin10°sin50°，y=cos■ 10°+cos■ 50°+cos10°cos50°，則x+y=2+cos40°，x-y=-cos40°-■， 即2x=■，則原式=■。

構(gòu)造對偶式求解，思維靈活頗有獨(dú)創(chuàng)性。

解法2：構(gòu)造直徑為1的圓內(nèi)接三角形，三個(gè)角為10°，50°，120°，則sin10°，sin50°，sin120°可構(gòu)成三角形三邊長。

逆用余弦定理：sin■ 10°+sin■ 50°-2sin10°sin50°cos120°=sin■ 120°，則原式=■。

靈活的構(gòu)想獨(dú)特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)。我在教學(xué)中比較注重學(xué)生解題思路的獨(dú)特征、新穎性的肯定和提倡，充分給予嘗試、探索的機(jī)會，以活躍思維、發(fā)展個(gè)性。

5.思維的批判性指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析的程度，是否善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和仔細(xì)地檢查思維過程。我在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的甚至懷疑的意見，注意引導(dǎo)和啟發(fā)，提倡獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)。

例7：△ABC中，sinA=■，cosB=■，求cosC。

大部分學(xué)生如此解：由sinA=■可得cosA=±■；由cosB=■可得sinB=■，進(jìn)而可求cosC=■或cosC=■。

有學(xué)生提出異議：

由sinA=■＜■可知A＞■或A＜■，同理可知B＞■。

由A+B＜π可知A＞■不可能，即cosA=-■取不到。

故只有一解：cosC=■。

學(xué)生對結(jié)論的可靠程度進(jìn)行懷疑，在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性來確定三角形內(nèi)角的取值范圍，嚴(yán)密論證了三角函數(shù)值取值的可能性。

三、靈活新穎的教法探求和靈活扎實(shí)的學(xué)法指導(dǎo)。

教師的教法常常影響到學(xué)生的學(xué)法。靈活多變的教學(xué)方法對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)起著潛移默化的作用，富有新意的學(xué)法指導(dǎo)能及時(shí)為學(xué)生注人靈活思維的活力。

以下是我在培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性方面的一些實(shí)踐和體會。

“導(dǎo)入出新”──良好的開端是成功的一半。引人入勝的教學(xué)導(dǎo)入可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，采用“創(chuàng)設(shè)情境”、“敘述故事”、“利用矛盾”、“設(shè)置懸念”、“引用名句”、“巧用道具”等新穎多變的教學(xué)手段，可使學(xué)生及早進(jìn)入積極思維狀態(tài)。

“錯(cuò)解剖析”──提供給學(xué)生題解過程，但其中有錯(cuò)誤的地方，讓學(xué)生反串角色，扮演教師批改作業(yè)。換一個(gè)角度來考查學(xué)生的知識掌握情況，尋找錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，以求更好地加深對知識的掌握。

“例題變式”──從例題入手，變換條件，尋求結(jié)論的不同之處；變換結(jié)論，尋求條件的不同之處；變換提出問題的背景，尋求多題一解；變換問題的思考角度，尋求一題多解……以變來培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維。

“編制試卷”——列出考查知識點(diǎn)、考查重點(diǎn)、試題類型，讓學(xué)生自己編制一份測驗(yàn)試卷，并給出解答，使學(xué)生站在教師的角度體驗(yàn)出題心理，更好地掌握知識結(jié)構(gòu)和思維方式。

“撰寫小論文”──根據(jù)學(xué)習(xí)體會、解題經(jīng)驗(yàn)、考試心得等，撰寫學(xué)科研究性小論文。選擇比較好的指導(dǎo)修改并編輯出版，激勵(lì)學(xué)生善于進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)其良好的思維品質(zhì)。

近年來，隨著課程教材改革的推進(jìn)，突出思維品質(zhì)的培養(yǎng)已成為廣大教師和教育工作者的共識。我將繼續(xù)探索下去，以求有更多的收獲。

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