摘要：利用參數(shù)方法計(jì)算VaR的關(guān)鍵在于對收益率分布形式的假定是否合理。為了充分反映金融收益的統(tǒng)計(jì)特性，并更好地刻畫厚尾特征，本文在利用ARMA－GARCH模型過濾了收益序列的自相關(guān)和波動聚類特性后，采用混合正態(tài)分布模型分析資產(chǎn)收益的VaR度量，并對上證綜指獲得的日收益率序列進(jìn)行了實(shí)證研究。比較分析混合正態(tài)分布和正態(tài)分布兩種假定下的VaR。結(jié)果表明：混合正態(tài)分布假設(shè)能夠反映收益分布5%的厚尾特征并準(zhǔn)確地刻畫1%的厚尾部分，避免了正態(tài)分布假設(shè)低估風(fēng)險的缺陷，保證了VaR的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險價值；厚尾；ARMA-GARCH模型；混合正態(tài)分布

中圖分類號：F830 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1000-176X(2009)05-0068-06

一、引 言

金融資產(chǎn)價格的變化可能會使投資者面臨很大的潛在損失。為了衡量損失的程度，JP. MORGAN公司率先提出VaR（Value-at-Risk，風(fēng)險價值或在險價值）方法，并在實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用，成為金融市場風(fēng)險測量的主流方法。VaR是在一定置信水平和一定持有期內(nèi)，某一金融工具或其組合在未來資產(chǎn)價格波動下所面臨的最大可能損失。VaR方法的優(yōu)點(diǎn)是用一個簡單易懂的數(shù)字即風(fēng)險價值概括了投資者在金融市場的波動中面臨的風(fēng)險。VaR的計(jì)算分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法兩種。參數(shù)方法是假定投資收益服從某一分布，并采用特定的估計(jì)方法估計(jì)分布參數(shù)，然后，由該分布計(jì)算得出VaR。而非參數(shù)方法并不假定收益存在某種分布形式，VaR是從經(jīng)驗(yàn)分布中獲得的。非參數(shù)方法的缺點(diǎn)是完全依賴于特定的數(shù)據(jù)集，不能對過去觀察不到的數(shù)據(jù)進(jìn)行外推，在運(yùn)用中受到限制。實(shí)際中比較常用的是參數(shù)方法。

利用參數(shù)方法計(jì)算VaR的關(guān)鍵在于對收益率分布形式的假定是否合理。大量文獻(xiàn)資料和研究已經(jīng)表明，金融收益數(shù)據(jù)的尾部集中了大量的概率分布，顯現(xiàn)出“厚尾”特性，而不能采用傳統(tǒng)的正態(tài)分布假定；另外，資產(chǎn)收益序列往往又具有波動聚類現(xiàn)象。如何處理收益的波動聚類并有效地刻畫金融資產(chǎn)收益序列的尾部特征，對于提高VaR度量模型的準(zhǔn)確度至關(guān)重要。

對于波動聚類問題，廣義自回歸條件異方差模型（GARCH模型）通過假定數(shù)據(jù)方差項(xiàng)的某種自相關(guān)性，提供了收益波動性建模的系統(tǒng)框架，但在該模型中，通常假定收益率殘差服從為條件正態(tài)分布，而不能刻畫收益分布的厚尾特征。雖然對GARCH模型有很多發(fā)展和改進(jìn)（如TARCH、EGARCH等），并可以假定殘差服從分布或廣義誤差分布（GED），但并不能充分而準(zhǔn)確地描述實(shí)際收益數(shù)據(jù)的尾部特征，而且在分布的選擇上缺乏靈活性和適應(yīng)性。在分析數(shù)據(jù)的尾部變化方面，國外很多文獻(xiàn)利用極值理論(EVT，Extreme Value Theory)對分布的尾部進(jìn)行擬合和建模。McNeil［1-2-3］使用極值理論研究了嚴(yán)重?fù)p失分布的尾部估計(jì)和異方差序列的尾部風(fēng)險度量；Hans N.E.Bystrom［4］比較分析了分塊樣本極大值和門限極值理論模型的性能；Danielsson and de Vries［5］比較各種模型的表現(xiàn)情況，認(rèn)為EVT模型的表現(xiàn)優(yōu)于參數(shù)方法和歷史模擬方法；Lee and Saltoglu［6］運(yùn)用EVT模型對亞洲股票市場進(jìn)行分析，認(rèn)為歷史模擬法和參數(shù)方法比EVT模型表現(xiàn)更好。在國內(nèi)，田宏偉等［7］研究了極值理論在市場風(fēng)險度量和在匯率風(fēng)險價值計(jì)算中的應(yīng)用；朱國慶［8］、田新時［9］等也利用極值理論討論了上海股市收益的厚尾和風(fēng)險度量問題。極值理論雖然提供了超越樣本的預(yù)測能力，但在實(shí)際運(yùn)用中存在很大的缺陷。極值理論是完全基于收益序列尾部特征的，只考慮屬于極端值的樣本，一方面會使得樣本較少，另一方面也忽略了尾部以外的信息。另外，運(yùn)用極值理論時，閥值的選取對模型也有很大的影響。

研究收益分布的厚尾特征對于衡量潛在損失具有非常重要的意義，而如何設(shè)定收益的分布形式，有效地描述和刻畫厚尾性對于VaR的計(jì)算又存在直接影響。為了充分反映金融收益的統(tǒng)計(jì)特性，并更好地捕捉尾部信息，本文結(jié)合ARMA－GARCH模型和混合正態(tài)分布的假定討論資產(chǎn)收益的VaR度量。采用混合正態(tài)分布刻畫厚尾特征，一方面在于盡量減少傳統(tǒng)的正態(tài)分布等假定帶來的模型誤設(shè)風(fēng)險，另一方面又保持正態(tài)分布比較方便的特征。

二、VaR方法

VaR是在一定的置信水平下和一定的目標(biāo)期間內(nèi)，某金融工具或投資組合可能出現(xiàn)的最大損失（或最壞情況下的損失）。如果用r表示資產(chǎn)的日收益率，并假定其分布為f(r)，則對于選定的置信水平α，VaR可以表示為：

∫-VaR-∞f(r)dr=1-α（1）

VaR實(shí)際上是在一定的目標(biāo)期間內(nèi)，收益分布對應(yīng)于尾部水平（1-α）的分位數(shù)。例如，置信水平選取α=95%，則VaR就是收益分布的5%分位數(shù)，具體可以描述為：損失的水平在95%的置信水平下不會超過這個數(shù)值。

VaR方法準(zhǔn)確地給出了風(fēng)險的大小，是一個非常有用的概括風(fēng)險的方法，但VaR只是預(yù)期損失將以概率（1-α）超過VaR值，而并沒有給出對損失的具體描述。為了分析損失的程度，引入條件VaR來度量在損失超過VaR值時損失的期望值，用公式表示為：

ES=-E（r|r≤-VaR） （2）

三、ARMA-GARCH模型

對收益率序列r，通常采用ARMA模型分析序列的自相關(guān)性。ARMA模型的形式為：

rt=μ+∑pi=1φirt-i+ut-∑qj=1θiut-i（3）

其中，{ut}是均值為0、方差為σ2的白噪聲序列。ARMA模型中關(guān)于ut是白噪聲序列的假定，使得模型無法有效解釋收益序列中經(jīng)常觀察到的波動聚類現(xiàn)象，因此，在ARMA模型中進(jìn)一步引入GARCH效應(yīng)對波動性建模，本文采用通常使用的GARCH(1，1)模型，其形式為：

ut=σtεt， σ2t=ω+αu2t-1+βσ2t-1 （4）

其中，ω＞0，α≥0，β≤1，α+β＜1。{εt}是一個均值為0、方差為1的獨(dú)立同分布?xì)埐钚蛄校ǔ＜俣闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)化的學(xué)生t分布。從GARCH(1，1)模型的表達(dá)式可以看出，如果u2t-1或σ2t-1較大，則σ2t較大，這意味著大的u2t-1會緊跟著另一個大的u2t，因此，模型有效地描述了序列中存在的波動聚類現(xiàn)象。為了提高GARCH模型在尾部的能力，可以將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布假定替換為t分布假定。不過，最近關(guān)于時間序列的經(jīng)驗(yàn)研究顯示GARCH模型的尾部太薄，即使是假設(shè)εt服從t分布的GARCH模型，可能也并不適合描述實(shí)際數(shù)據(jù)的尾部。

四、混合正態(tài)分布

ARMA-GARCH模型過濾之后得到殘差序列{εt：εt=ut/σt}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，但傳統(tǒng)上對殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)化t分布的假定并不能很好地描述分布的尾部特征。為了使分布假設(shè)更合理，同時又充分反映收益的統(tǒng)計(jì)特性，避免極值理論中只關(guān)注極端值的情況，采用混合正態(tài)分布方法有很好的實(shí)用價值，它在保持正態(tài)分布比較方便的基礎(chǔ)上能夠刻畫數(shù)據(jù)的厚尾特性。

混合正態(tài)分布的概率密度是幾個正態(tài)概率密度的線性組合。假定{εt}服從混合正態(tài)分布，則其概率密度為：

f(ε|θ)=∑kj=1pjfj(ε)（5）

其中，pj≥0且∑kj=1pj=1；fj(ε)為正態(tài)分布N(μj，σ2j)的密度函數(shù)，j=1，…，k，并假設(shè)k個正態(tài)分布之間是獨(dú)立的；θ=(μ1，…，μk，σ21，…，σ2k，p1，…，pk)為混合正態(tài)分布的參數(shù)。如果對樣本容量為t的數(shù)據(jù)序列引入缺失數(shù)據(jù)的隱變量z=(zij)，i=1，…，t;j=1，…，k，其中zij的取值為：當(dāng)?shù)趇個樣本來自于混合分布的第j個正態(tài)分量時，令zij=1，否則zij=0，則結(jié)合式（5）可知，f(εi|zij=1)=fj(ε)，f(zij=1|p)=pj。因此，在混合正態(tài)分布中，各樣本值均由k個正態(tài)分布中某一個正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性所決定，或者說，各樣本值均來源于k個正態(tài)分布中的某一個分布。參數(shù)θ中的p1，…，pk反映了樣本來源于各個正態(tài)分布的概率；而μ1，…，μk，σ21，…，σ2k決定k個正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性。

金融資產(chǎn)收益率在過濾了自相關(guān)和波動聚類之后，在大部分“正常的”時間里可近似認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而在“異常的”時間可能是來源于一個具有較大方差的正態(tài)分布。金融資產(chǎn)收益率具有厚尾特性而不能用正態(tài)分布來描述的原因可能也正是因?yàn)槭找婢哂械摹爱惓！碧匦?，這種異常往往會給投資者帶來比預(yù)期更大的損失?；谏鲜鏊枷?，采用混合正態(tài)分布擬合ARMA-GARCH過濾之后的殘差，不僅可以充分描述收益的統(tǒng)計(jì)特性，而且可以反映收益的厚尾特征。為了直觀地說明混合正態(tài)分布對厚尾的描述，以下考慮兩個正態(tài)分布混合下的情況，表1給出了混合正態(tài)分布的參數(shù)設(shè)置以及分布的統(tǒng)計(jì)特性。從表1中可以看出，3個分布的均值和偏度均為0；εB和εC的標(biāo)準(zhǔn)差和峰度均大于εA，而且εB和εC的峰度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于3。εA實(shí)際上服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），這說明εB和εC相對于正態(tài)分布εA顯示出尖峰的特征。通過混合正態(tài)分布εB、εC分別與均值、方差相同的正態(tài)分布的尾部放大對比，可以看出：相對于正態(tài)分布而言，εB、εC的左尾現(xiàn)象非常明顯。這在一定程度上表明，混合正態(tài)分布這一假設(shè)，在保持正態(tài)分布特征的基礎(chǔ)上，通過賦予各正態(tài)分量合適的參數(shù)以及適當(dāng)?shù)谋壤梢杂糜诿枥L和刻畫序列的尾部特征。

圖1 混合正態(tài)分布與均值方差相同的正態(tài)分布尾部放大對比圖

假定獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從混合正態(tài)分布時，分布參數(shù)θ按照極大似然估計(jì)方法求參數(shù)是很困難的。極大似然估計(jì)在計(jì)算方面的復(fù)雜程度依賴于似然函數(shù)的形式，而混合正態(tài)分布的似然函數(shù)根據(jù)式（5）可得：

f(ε1……εt|θ)=∏ti=1f(ε|θ)=∏ti=112π∑kj=1pjσjexp-(εi-μj)22σ2j （6）

極大似然估計(jì)的計(jì)算很復(fù)雜，無法利用解析方法獲得參數(shù)的估計(jì)值。由于在引入隱變量z后，f(zij|p)事實(shí)上是一個多項(xiàng)分布Multinomial(1，p)，因此，在實(shí)際中，參數(shù)估計(jì)常采用EM算法或貝葉斯方法。

五、實(shí)證分析

本文利用上證綜指獲得的收益率序列rt作為樣本計(jì)算收益率的VaR。由于中國股市從1996年12月16日起實(shí)行漲跌停板交易制度，為了提高模型的精度，減少極端異常值的干擾，樣本期間取為1996年12月16日至2008年11月11日，樣本數(shù)量為2 874個，數(shù)據(jù)來源于CCER經(jīng)濟(jì)金融研究數(shù)據(jù)庫。實(shí)證分析的過程是先用ARMA－GARCH模型對收益率序列rt分離相關(guān)性和波動聚類特征，通過過濾得到近似獨(dú)立同分布的殘差序列εt；然后假設(shè)殘差εt服從混合正態(tài)分布，并計(jì)算該分布的VaR和ES值；最后計(jì)算收益率序列rt的VaR和ES值。

1. 收益率序列的統(tǒng)計(jì)特性及ARMA-GARCH模型

在考察的樣本期間內(nèi)，收益率集中在（-0.1，0.1）之間，具體的描述統(tǒng)計(jì)以及正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 收益率數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)和正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果

平均值

標(biāo)準(zhǔn)差

中位數(shù)

最大值

最小值

0.000371

0.017454

0.000498

0.098570

-0.094441

偏 度

峰 度

Jarque-Bera檢驗(yàn)

-0.050992

7.788802

統(tǒng)計(jì)量=2 747.427，P = 0.000000

Jarque-Bera正態(tài)性檢驗(yàn)（又稱為峰度-偏度檢驗(yàn)）結(jié)果表明，收益率序列rt顯著異于正態(tài)分布。圖1繪制了收益率的核密度圖以及假定收益率服從正態(tài)分布時的概率密度圖，從圖1中可以看出，收益率序列存在明顯的尖峰厚尾現(xiàn)象，特別是左尾是很明顯的，這表明，收益率在負(fù)值時異常值出現(xiàn)的概率更大。

圖1 收益率的核密度圖和正態(tài)分布假設(shè)下的概率密度圖

進(jìn)一步采用Augmented Dikey-Fuller方法對收益率進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，t統(tǒng)計(jì)量為-54.79，小于顯著性水平1%的Mackinnon臨界值-3.43，因而拒絕單位根假設(shè)，即收益率序列rt是平穩(wěn)的，可以用ARMA模型分析序列可能存在的自相關(guān)問題。相關(guān)計(jì)算表明，直至滯后36期，rt序列的自相關(guān)系數(shù)最大僅為0.079，基本上不存在明顯的自相關(guān)現(xiàn)象，ARMA模型簡化為rt=0.000371+μt；而考察r2t序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)時，表明r2t序列存在相關(guān)性，說明序列rt可能存在ARCH效應(yīng)。對是否真實(shí)存在ARCH效應(yīng)， LM檢驗(yàn)的結(jié)果表明，當(dāng)選擇滯后階數(shù)為3時，相伴概率P=0，即rt序列存在ARCH效應(yīng)。由于日收益率序列rt只是存在ARCH效應(yīng)，因此，ARMA-GARCH模型簡化為：

rt=μ+ut， ut=σtεt， εt~iid(0，1)

σ2t=ω+αu2t-1+βσ2t-1（7）

在上述模型中，如果假定殘差εt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用準(zhǔn)極大似然估計(jì)（QML）方法并結(jié)合模型參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，模型的估計(jì)結(jié)果為：

σ2t=4.637995×10-6+0.110810u2t-1+0.880523σ2t-1（8）

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷男Ч?，對?biāo)準(zhǔn)化的殘差序列εt進(jìn)行LM檢驗(yàn)。結(jié)果表明，在滯后3階的情況下，相伴概率為0.73，表明序列εt已不存在ARCH效應(yīng)。進(jìn)一步計(jì)算εt序列和ε2t序列的自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)，計(jì)算結(jié)果均接近于0，表明殘差序列εt不存在ARCH效應(yīng)，也不存在自相關(guān)現(xiàn)象。因此，可以認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列εt是獨(dú)立同分布序列。

2.殘差序列εt的混合正態(tài)分布假設(shè)

如果模型（7）、（8）的設(shè)定是正確的，那么在正態(tài)分布假設(shè)下，ARMA-GARCH模型過濾后得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差εt序列應(yīng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。然而通過表3中關(guān)于εt序列的描述統(tǒng)計(jì)和正態(tài)性檢驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，雖然序列的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但是峰度值卻顯著大于3，表明序列存在尖峰現(xiàn)象。

進(jìn)一步從圖2中殘差數(shù)據(jù)的核密度圖和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖中可以看出，殘差序列存在明顯的尖峰厚尾現(xiàn)象。這表明經(jīng)過ARMA-GARCH模型過濾后，殘差序列εt依然存在厚尾現(xiàn)象，殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的假設(shè)并不合理。

圖2 殘差數(shù)據(jù)的核密度圖和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖

本文假定標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從混合正態(tài)分布，分布參數(shù)的估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)誤差如表4所示。對分布的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行秩和檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為83.123，P值為 0.015，表明在0.01的水平下不能拒絕分布假設(shè)。擬合的混合正態(tài)分布其均值為0.0111，均方差為1.0017，峰度為5.1600，都接近于殘差序列相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)值。

圖3給出了殘差數(shù)據(jù)在混合正態(tài)分布和正態(tài)分布兩種擬合下的對比圖，從圖3中可以看出，相對于正態(tài)分布，混合正態(tài)分布不僅能充分反映出序列的統(tǒng)計(jì)特性，而且能夠刻畫序列的尾部特征。從混合正態(tài)分布的參數(shù)值可以看出，數(shù)據(jù)來源于正態(tài)分布N（0.049137，0.706401）的概率約為73%；而來源于正態(tài)分布N（-0.093617，1.542316）的概率約為26%。

圖3 殘差數(shù)據(jù)在兩種分布假設(shè)下擬合的對比圖

3.VaR的計(jì)算結(jié)果及檢驗(yàn)

以下計(jì)算并比較在混合正態(tài)分布和正態(tài)分布兩種假設(shè)下的VaR，其中，置信水平取α=99%和α=95%兩種情況。

由式（1）計(jì)算混合正態(tài)分布和正態(tài)分布的VaR和ES，結(jié)果如表5所示。從表5中可以看出，混合正態(tài)分布在99%置信水平下的VaR和ES均明顯大于正態(tài)分布的相應(yīng)值，這正是由于混合正態(tài)分布考慮了數(shù)據(jù)的尾部特征。在95%的置信水平下，兩種分布的VaR和ES相對來說比較接近，表明對于該例數(shù)據(jù)，混合正態(tài)分布更關(guān)注1%的厚尾。

由以上計(jì)算得到的殘差VaR和ES，結(jié)合GARCH模型（7）、（8）式得到的條件標(biāo)準(zhǔn)差σt，將εt的VaR和ES分別代入表達(dá)式rt=σtεt，則可以獲得收益率序列rt的動態(tài)VaR和ES估計(jì)序列。表6給出了對應(yīng)于兩種分布假設(shè)、收益率rt在99%和95%置信水平下VaR和ES的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表6中也可以看出，混合正態(tài)分布假設(shè)下收益率在99%置信水平的VaR和ES均明顯大于正態(tài)分布假設(shè)的相應(yīng)值，而兩種分布假設(shè)下95%置信水平的VaR和ES比較接近，這也正是由于針對給定的收益率樣本，混合正態(tài)分布更關(guān)注收益率1%的厚尾。

VaR的準(zhǔn)確性可以采用基于失效率的檢驗(yàn)方法進(jìn)行評估。對于給定時間窗口T下的T個樣本，如果定義失效率N為樣本值超過VaR的個數(shù)，即異常樣本的個數(shù)，那么在T較大時，N應(yīng)趨近于T(1-α)，其中α為置信水平。對于T天的動態(tài)VaR，通過比較異常個數(shù)N的理論值和實(shí)際值，可以初步判斷VaR的準(zhǔn)確性。進(jìn)一步采用Kupiec［10］提供的方法，構(gòu)建對數(shù)似然比統(tǒng)計(jì)量：

LR=-2ln［(1-α)T-NαΝ］+2ln［（1-N/T）T-N（N/T）N］（9）

如果LR＞3.84，則認(rèn)為（1-α）并不是樣本值超過VaR的真實(shí)概率，即VaR與設(shè)定的置信水平α并不對應(yīng)。表7給出了不同時間窗口T的各種VaR類型中異常個數(shù)的理論值、實(shí)際值和統(tǒng)計(jì)量。從表7中可以看出，當(dāng)置信水平為95%時，實(shí)際觀察到的值在兩種分布假設(shè)下均非常接近或等于理論值，而且統(tǒng)計(jì)量均小于3.84。這說明兩種分布假設(shè)都能描述5%的厚尾部分。然而，當(dāng)置信水平為99%時，正態(tài)分布假設(shè)下的實(shí)際值明顯大于混合正態(tài)分布假設(shè)，統(tǒng)計(jì)量也出現(xiàn)大于3.84的情況，而混合正態(tài)分布假設(shè)下的值接近于理論值，統(tǒng)計(jì)量也都小于3.84。這說明混合正態(tài)分布假設(shè)更適合描述分布的厚尾特征，能夠準(zhǔn)確刻畫1%的厚尾部分，而正態(tài)分布假設(shè)在1%的尾部上大大低估了風(fēng)險。

表7各種VaR類型中異常個數(shù)的理論值、實(shí)際值和統(tǒng)計(jì)量

VaR類型

時間窗口T下，異常個數(shù)的實(shí)際值（理論值）

六、結(jié) 論

利用參數(shù)方法計(jì)算VaR的關(guān)鍵在于對收益率分布形式的假定是否合理。為了充分反映金融收益的統(tǒng)計(jì)特性，并更好地刻畫厚尾特征，本文在利用ARMA－GARCH模型過濾了收益序列的自相關(guān)和波動聚類特性后，采用混合正態(tài)分布模型分析資產(chǎn)收益的VaR度量，并對上證綜指獲得的日收益率序列進(jìn)行了實(shí)證研究。研究表明，即使是過濾了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，日收益率序列仍然存在厚尾現(xiàn)象，并不服從傳統(tǒng)的正態(tài)分布，而混合正態(tài)分布假設(shè)能夠反映收益分布5%的厚尾特征并準(zhǔn)確地刻畫1%的厚尾部分，避免了正態(tài)分布假設(shè)低估風(fēng)險的缺陷，保證了VaR的準(zhǔn)確性。應(yīng)當(dāng)指出的是，本文假定混合分布的參數(shù)在樣本期間為常數(shù)，如果能夠判斷出收益序列或金融數(shù)據(jù)在不同時期存在顯著的變化，則應(yīng)當(dāng)考慮分布參數(shù)的可變性。

參考文獻(xiàn)：

［1］ McNeil， A.J. Estimating the Tails of Loss Severity Distributions Using Extreme Value Theory［J］. ASTIN Bulletin，1997，（27）:117-137.

［2］ McNeil， A.J. Extreme Value Theory for Risk Managers［M］.Internal Modeling and CAD. Risk Book，1999.

［3］ McNeil， A.J. Estimation of Tail-related Risk Measures for Heteroscedastic Financial Time Series:An Extreme Value Approach［J］. Journal of Empirical Finance，2000，（7）：271-300.

［4］ Hans N.E.Bystrom. Managing Extreme Risk in Tranquil and Volatile Markets Using Conditional Extreme Value Theory［J］. International Review of Financial Analysis，2004，（13）：133-152.

［5］ Danielsson J.，C.G.de Vries. Value at Risk and Extreme Returns， London School of Economics［J］.Financial Markets Group Discussion Paper，1997，（273）.

［6］ Lee， Saltoglu. Assessing the Risk Forecasts for Japan［J］. Japan and the World Economy， 2002，14（1）：63-87.

［7］ 田宏偉，詹原瑞，邱軍. 極值理論(EVT)方法用于受險價值(VaR)計(jì)算的實(shí)證比較與分析［J］. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，（10）.

［8］ 朱國慶，張維. 關(guān)于上海股市收益厚尾性的實(shí)證研究［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2001，（4）.

［9］ 田新時，郭海燕. 極值理論在風(fēng)險度量中的應(yīng)用——基于上證180指數(shù)［J］.運(yùn)籌與管理，2004，（1）.

［10］ Kupiec， Paul. H.Techniques for Verifying the Accuracy of Measurement Models［J］.Journal of Derivatives，1995，(3):73-80.

［11］ 菲利普#8226;喬瑞（Philippe Jorion）.風(fēng)險價值VaR［M］.陳躍，等譯，北京：中信出版社，2004.10.

［12］ Ruey S.Tsay. 金融時間序列分析［M］. 潘家柱譯，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.4.

［13］ 詹姆斯 D.漢密爾頓. 時間序列分析［M］. 劉志明譯，北京：中國社會科學(xué)出版社，1999.12.

［14］ Clark. A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices［J］.Econometrica，1973，(1)：135-155.

［15］ Zangari， P.An Improved Methodology for Measuring VAR， RiskMetrics Monitor［M］.Reuters/JP Morgan， Second quarter，1996.

［16］ Venkataraman， S.Value at Risk for a Mixture of Normal Distributions: The Use of Quasi-Bayesian Estimation Technique［J］.Economic Perspectives， Federal Reserve Bank of Chicago， March/April，1997，21（2）：2-13.（責(zé)任編輯：于振榮）

VaR Measures Based on Mixture of Normal Distributions

Abstract: In order to describe the statistic character and account for the characteristic of fat tails of return series， this paper focuses on the VaR analysis for fat-tailed financial returns based on mixture of normal distributions combined with ARMA—GARCH Model. We firstly build an ARMA－GARCH Model to fit the correlationship and volatility clustering of return series， then we propose the statistical models of mixture of normal distributions to estimate VaR and ES instead of normal distribution. The empirical study of the return series of Shanghai stock index shows that mixtures of normal distributions can well fit the return series and performs well on one percent of the distribution’s tail. Comparing with normal distribution， mixtures of normal distributions can model fat tails while preserving some convenient characteristics of normal distribution and enhance the accuracy of VaR.

Key words: Value-at-Risk (VaR); fat tails; ARMA-GARCH model; mixture of normal distributions