曾 山

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)化工學(xué)院 江蘇 徐州 221116)

質(zhì)心是一個(gè)很重要的概念,其實(shí)質(zhì)心是與質(zhì)心系質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表點(diǎn),它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心.我們要研究物體的整體運(yùn)動(dòng),就只需找到這個(gè)物體的質(zhì)心,則物體任何一部分的運(yùn)動(dòng)一般都可以分解為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和物體該部分相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng).

1 質(zhì)心的定義

如圖1所示的物體,我們用mi和ri表示物體系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和位矢,則質(zhì)心C的3個(gè)直角坐標(biāo)被定義為

圖1 質(zhì)心的位置

其矢量式為

對(duì)質(zhì)量連續(xù)的物體,如本文將討論的勻質(zhì)半球體,可以當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)系,質(zhì)點(diǎn)就成為微小的質(zhì)量元,把求和改為積分,即

2 問(wèn)題的引入

計(jì)算一半徑為R、質(zhì)量為M的勻質(zhì)半球體的質(zhì)心位置,通過(guò)5種微元的選取方法來(lái)得到結(jié)果.不妨設(shè)其密度為ρ.

3 微元的選取

3.1 直角坐標(biāo)系下取dxdydz

如圖2所示,半球體可看作無(wú)窮多個(gè)長(zhǎng)方體,其邊長(zhǎng)分別為dx、dy和dz.我們選用最常用的體積微元dV=dxdydz,則質(zhì)量微元

圖2 半球體可看作無(wú)窮多個(gè)長(zhǎng)方體

dm=ρdV=ρdxdydz

對(duì)其積分

而半球體質(zhì)量M可表示為

即

(1)

從而得到

3.2 柱坐標(biāo)系下取dθdrdz

如圖3所示,半球體可看作無(wú)窮多個(gè)柱體,其底面積為rdθdr,高為dz.從而選取體積微元dV=rdθdrdz,則質(zhì)量微元

圖3 半球體可看作無(wú)窮多個(gè)柱體

dm=ρrdθdrdz

對(duì)其積分

與式(1)聯(lián)立,從而得到

3.3 球坐標(biāo)系下取dθdφdr

如圖4所示,在球面坐標(biāo)系下,半球體可看作無(wú)窮多個(gè)曲面六面體的組合,這些曲面六面體可近似看作長(zhǎng)方體,其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為rdφ,緯線方向的寬為rsinφdθ,徑向方向的高為dr.從而選取體積微元

圖4 半球體可看作無(wú)窮多個(gè)曲面六面體

dV=r2sinφdθdφdr

則質(zhì)量微元[1]

dm=ρr2sinφdθdφdr

對(duì)其積分

與式(1)聯(lián)立,從而得到

3.4 薄圓盤高度取dz

如圖5所示,半球體可看作無(wú)窮多個(gè)薄圓盤,圓盤的底面積為Sz,圓盤的高為dz,選取體積微元為dV=Szdz,如圖5所示.

圖5 半球體可看作無(wú)窮多個(gè)薄圓盤

由幾何關(guān)系,有

Sz=π(R2-z2)

則質(zhì)量微元

dm=ρπ(R2-z2)dz

對(duì)其積分

與式(1)聯(lián)立,從而得到

3.5 薄球殼厚度取dr

圖6 半球體可看作無(wú)窮多個(gè)薄半球殼

(2)

因此可以對(duì)無(wú)窮多個(gè)薄半球殼進(jìn)行如下微元選取和積分.

對(duì)應(yīng)體積微元dV=2πr2dr,則質(zhì)量微元

dm=2πρr2dr

對(duì)其積分

將式(2)代入上式,得

與式(1)聯(lián)立,從而得到

4 結(jié)論

通過(guò)上述5種微元選取的方法,了解了在積分過(guò)程中微元選取方法的多樣性,亦即計(jì)算物體質(zhì)心位置方法的多樣性,在具體問(wèn)題中,可以視微元選取的簡(jiǎn)便性采用不同的微元取法.

但我們知道,微元的選取方法遠(yuǎn)不止上述5種,質(zhì)心位置的計(jì)算方法也不僅如此,在具體計(jì)算中,還可以借助一些轉(zhuǎn)換[2]來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算和拓寬思路.

在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過(guò)程中,微元法作為一種廣泛的分析方法,在計(jì)算物體的質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、非保守力做功、電場(chǎng)和電勢(shì)的分布、穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)分布等問(wèn)題中都有涉及.因而需要用到不同的微元法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析,這也是我們討論多種微元選取方法的意義所在.