■張文獻(xiàn)

對一道物理競賽試題的解析

■張文獻(xiàn)

一、試題提出的背景

帶電粒子在電場、磁場和重力場組成的復(fù)合場中的運(yùn)動規(guī)律十分典型，且該部分知識是高中物理中許多重要定理、定律、運(yùn)動模型的載體，因此在高考中占有很重要的地位。近幾年的高考物理試題特別是壓軸題與一些競賽題“長得很象”，將物理競賽題改編成高考試題，雖然降低了一些難度，但仍讓相當(dāng)多的考生一籌莫展?，F(xiàn)對一道不難的物理競賽試題進(jìn)行分析、引申，希望對更多同學(xué)有所幫助。

二、試題及分析

試題：如圖1所示，質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，從垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中由靜止釋放，不計空氣阻力，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間.試求粒子在磁場中運(yùn)動的最大深度和最大速度。

分析：帶電粒子在運(yùn)動過程中受到重力和洛侖茲力這兩個力的作用，開始時粒子在重力作用下而向下運(yùn)動，粒子隨后受到的洛倫茲力與速度方向垂直，且洛侖茲力的大小和方向都在隨時間變化，因此粒子所受合力為變力，且合力方向與速度方向不在一條直線，粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動。由于洛侖茲力始終不做功，故粒子的動能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化。粒子在水平方向上受到洛侖茲力的水平分量而做變加速運(yùn)動，豎直方向受到重力和洛侖茲力的豎直分量而做變加速運(yùn)動。粒子運(yùn)動到最大深度（即軌跡曲線最低點(diǎn)）處，速度方向必沿水平方向，洛侖茲力和重力的合力提供向心力，以后粒子將斜向上運(yùn)動，由能量關(guān)系可知此時粒子速度最大。

三、三種解法

解法一：微元求和法.

在粒子運(yùn)動軌跡上任取一點(diǎn)A，令粒子在此點(diǎn)速度為，以水平向右方向為x軸，豎直向下為y軸建立直角坐標(biāo)系，將速度v分解為vx和vy，將洛侖茲力f分解為fx和fy，如圖2所示。則有：

將①式兩邊同乘以△t（△t→0）得：

fx△t表示在極短時間△t內(nèi)粒子在x方向的合力的沖量，vy△t表示在時間內(nèi)粒子在y方向的位移.由動量定理知粒子從開始到運(yùn)動至最低點(diǎn)這過程中，粒子水平方向上合力的沖量等于粒子水平方向動量的變化。

③式兩邊求和分別得：

又因為粒子從開始到運(yùn)動至最低點(diǎn)這過程中只有重力做功，故由動能定理得：

微元求和法是分析、解決高層次物理問題的常用方法。也是局部到整體的思維方法。此題粒子在x方向只受洛侖茲力的水平分量作用，微元求和后得出一個重要結(jié)論：粒子在x方向的速度改變△v與y方向的位移△y成正比，即

解法二：數(shù)學(xué)判別式法。

粒子作曲線運(yùn)動到最低點(diǎn)時速度最大為vm，方向沿水平方向，令粒子軌跡曲線最低點(diǎn)的曲率半徑為ρ。

則由向心力公式得：

這是關(guān)于的一元二次方程，在題設(shè)條件的約束下，最低點(diǎn)的速度大小為唯一的確定值，故關(guān)于的二次方程判別式為零。

解法三：建立物理模型法。

粒子開始時速度為零，可設(shè)想其具有沿水平向右的速度和水平向左的速度.由于初速度為零，則和大小相等，且使對應(yīng)的洛侖茲力。則粒子在以后的運(yùn)動過程中受到三個力作用：重力mg，與對應(yīng)的洛侖茲力，與對應(yīng)的洛侖茲力.由于f1與mg相平衡，粒子在這兩個力作用下做勻速直線運(yùn)動，粒子所受另一個力提供向心力，使粒子做勻速圓周運(yùn)動，如圖3所示.則粒子的曲線運(yùn)動可以看作以速度做水平向右的勻速直線運(yùn)動和以速度在同一平面內(nèi)做逆時針勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動。這樣在任一時刻粒子的速度是和的矢量和，曲線運(yùn)動最低點(diǎn)即圓周運(yùn)動的最低點(diǎn)，此時和同向故合速度最大，。粒子從開始到最低點(diǎn)下降的高度為圓周運(yùn)動直徑，即由洛侖茲力提供向心力得：由1011式得

此方法關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ?，將?fù)雜的曲線運(yùn)動分解成兩個簡單運(yùn)動，求解較簡單。

四、試題引申：

解法三還可求出任一時刻粒子的運(yùn)動軌跡坐標(biāo)方程和速度方程.現(xiàn)提供求t時刻粒子軌跡坐標(biāo)方程的解法：

所以粒子的軌跡坐標(biāo)參數(shù)方程為：

粒子的運(yùn)動具有周期性，粒子的運(yùn)動軌跡是一條滾輪曲線，如圖5所示。

該試題中帶電粒子由靜止釋放，如果粒子開始時就有初速度，那該怎么求解呢？這時同樣給粒子附加沿水平方向向左，向右速度大小相等的速度，由于這兩個方向相反速度的合速度為零，因而不影響粒子的運(yùn)動，粒子以后的運(yùn)動可以看作以速度v1水平向右的勻速直線運(yùn)動和以速度v2與v0的合速度作勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動，如圖6所示.如果該空間還有恒定電場，又該如何來求解呢？這時可以將重力mg和電場力Eq等效成一個恒力，相當(dāng)于試題中的恒力即重力來求解，這里不再贅述。

此道試題是帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的一道經(jīng)典題目，由它可以引申出很多類型的試題。2008年江蘇省高考物理試卷第14題就是改編自這道競賽試題。對此物理競賽試題透徹掌握了，那高考試題就迎刃而解了。老師要能把握高考命題走向，同時要有扎實的基本功，抓住問題的本質(zhì)，高屋建瓴地給學(xué)生用通俗易懂的方式講解。通過一題多解，一題多變，對學(xué)生進(jìn)行物理競賽輔導(dǎo)，拓寬學(xué)生的知識面，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于優(yōu)秀學(xué)生的成長和提高，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)物理的興趣，為他們?nèi)蘸蟮陌l(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。

(作者單位：湖北省武鋼三中)

責(zé)任編輯 張 泉