王素琴

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的一種結(jié)果，它是數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的基本觀點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法本質(zhì)的概括，是創(chuàng)造性地發(fā)展數(shù)學(xué)的指導(dǎo)方針。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的靈魂，總結(jié)概括數(shù)學(xué)思想，有利于透徹地理解所學(xué)知識(shí)，提高獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。現(xiàn)在把冀教版第十六章《勾股定理》一章中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想總結(jié)如下：

一、整體思想

所謂整體思想是從全題照眼，將數(shù)學(xué)問(wèn)題看成一個(gè)完整的單位，把數(shù)、式、圖等各部分綜合起來(lái)考察，在頭腦中構(gòu)建一個(gè)完整的形象，從而抓住問(wèn)題之間的本質(zhì)聯(lián)系，以達(dá)到迅捷解題的目的。

例1. 如圖（1）在直線L上擺放著3個(gè)正方形，斜放置正方形ABCD的面積為1，正放置的兩個(gè)正方形面積為S₁ ,S₂ ,則S₁ + S₂ =_______。

分析：本題不可能分別求出S₁ ,S₂的值，但可以把S₁+S₂看作整體：AE²+CF²,而通過(guò)△AEB≌△BFC可以得到CF=BE，因此S₁+S₂= AE²+BE²,又利用勾股定理知AE²+BE²= AB²=S正方形ABCD =1

二、分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論是指在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將問(wèn)題所涉及的所有對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，然后逐項(xiàng)進(jìn)行討論，從而得出正確的解題過(guò)程。

例2. 在△ABC中，AB=15,AC=20，AD是BC邊上的高，AD=12，求BC的長(zhǎng)。

分析：此題沒(méi)有給出圖形，三角形的高可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，因此應(yīng)分兩種情況來(lái)求。

解：（1）如圖（2）當(dāng)BC邊上的高AD在 △ABC的內(nèi)部時(shí)，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：

CD²=AC²-AD²=20²-12²=256∴ CD=16

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：

BD²=AB²-AD²=15²-12²=81 ∴BD=9 ∴BC=CD+BD=16+9=25

（2）如圖（3）當(dāng)BC邊上的高AD在△ABC外部時(shí)，BC=CD-BD=16-9=7，所以BC的長(zhǎng)為25或7。

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，其它數(shù)學(xué)思想方法都是轉(zhuǎn)化的手段或策略。如把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)的問(wèn)題；把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

例3.如圖（4）在公路l旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)有C處需要爆破，C與公路?？空続的距離為300m，與公路上的另一?？奎c(diǎn)B的距離為400m，且CA⊥CB，爆破點(diǎn)C周?chē)?50m范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問(wèn)在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖嗎？

分析：要判斷公路AB段是否需要封鎖，只需轉(zhuǎn)化成為C到公路l的距離，若這個(gè)距離大于250m，則不需封鎖，若小于250m，則需封鎖。

解：作CD⊥AB于D

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB²=BC²+AC²=400²+300²=500²

∴AB=500

根據(jù)三角形的面積相等，得：12 AB?CD = 12 BC?AC

即 12 ×500?CD=12 ×400×300

∴CD=240(m)

∵ 240＜250∴公路AB段有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖。

四、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)由抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種思維方式。數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”

例4.在一棵樹(shù)的10m高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)，走到離樹(shù)20m處的池塘處，另一只猴子爬到樹(shù)頂后直接躍到池塘處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，求這棵樹(shù)高。

分析：結(jié)合題意畫(huà)出圖（5）可直觀看出兩只猴子所走路徑分別為AB+BC和AD+DC，然后根據(jù)勾股定理，構(gòu)造方程即可解決問(wèn)題。

解：如圖（5）由題意知AB=10m，樹(shù)BD到池塘C的距離為20m。

設(shè)AD=xm,∴DC=(30-x)m

在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理得：

BD²+BC²=DC²

即（10+x）²+20²=(30-x)²

解得x=5

∴BD=AB+AD=10+5=15(m)

因此這棵樹(shù)高15m 。