摘要：本文從2008年浙江數(shù)學卷第8題的一個學生的錯誤解法引發(fā)的一系列思考，對緣何學生出現(xiàn)“f（ｘ）=a”?圳“f ′（ｘ）=0”的錯誤認識進行了反思，拓展，進一步提出了若f（ｘ）=a恒成立，則f ′（ｘ）=0成立的結論，并把此結論應用于證明三角恒等式、組合恒等式、導函數(shù)的奇偶性與周期性.

關鍵詞：導函數(shù)；恒等式

楔子

（2008年浙江卷第8題）若cosα+2sinα=－，則tanα等于（）

A．B． 2 C． － D． －2

有一位學生這樣解答：由cosα+2sinα=－，兩邊取導數(shù)，得－sinα+2cosα=0，即tanα＝2. 與正確答案一致.

疑點

正當大家為這位同學的巧妙解法心中暗暗叫好時，我潑了冷水.

讓我們再來解一道類似問題：若cosα+2sinα=2，則tanα=_______？如果我們?nèi)绶ㄅ谥疲驳玫絫anα＝2，顯然這是錯誤的. 這說明上面的解法僅僅是一種巧合罷了. 由方程“f（ｘ）=a”不一定有“f ′（ｘ）=0”成立.

反思

本題考查了三角函數(shù)的知識，是考查三角運算能力的一道好題，我們可以直接求解. 作為選擇題，還可以采取驗證法等. 緣何學生出現(xiàn)“f（ｘ）=a”?圳“f ′（ｘ）=0”的錯誤？在學生學習解方程時，學生建立了條件反射“f（ｘ）=a”?圳“f 3（ｘ）=a3”，當面對等式f（ｘ）=a，容易引發(fā)錯誤的類比：f ′（ｘ）=a′=0．

拓展

問題已水落石出，但同學們并不滿足，于是便有了如下的延伸探究. 若f ′（ｘ）=0成立，則f（ｘ）=a恒成立嗎？答案是肯定的. 在高中數(shù)學中，我們接觸到許多恒等式，下面列舉二三.?搖

1. 三角恒等式

證明三角恒等式的常規(guī)方法是用三角公式，但有時技巧性強，靈活性大，不易想到． 若想到用導數(shù)解決，則會峰回路轉(zhuǎn)．

例1求證：cos2x-+cos2x+cos2x+=.

證明設f（ｘ）=cos2x-+cos2x+cos2x+，則f′（ｘ）=－2cosxsinx-2cosx+#8226;sinx+-2cosx-#8226; sinx-=－sin2x－sin2x++sin2x-=－sin2x－2sin2x#8226;cos=0，所以f（ｘ）=C（Ｃ為常數(shù)）．

又C=f（0）=，所以f（ｘ）=cos2x－+cos2x++cos2x＝.

2. 組合恒等式

證明組合恒等式的方法很多，常利用C+C+…+C=2n，C=C及C=C+C. 這里我們用導數(shù)的方法來解決.

例2求證：C+2C+3C+…+nC=n2n-1.

證明因為C+Cx+Cx2+…+Cxn=（1+x）n，兩邊對x求導數(shù)，得C+2Cx+3Cx2+ …+nCxn-1=n（1+x）n-1. 令x=1，得C+2C+3C+…+nC=n2n-1.

3. 導函數(shù)的奇偶性與周期性

導函數(shù)本身有許多獨特的性質(zhì)，如導函數(shù)的周期性與奇偶性在最近幾年的高考數(shù)學試題中便是一大亮點.

例3（２００７江西）設函數(shù)f（ｘ）是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線y=f（ｘ）在x=5處切線的斜率為（）

A. －?搖?搖?搖?搖 B. 0?搖?搖?搖?搖 C. ?搖?搖?搖?搖?搖 D. 5

分析由函數(shù)f（ｘ）是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，得f（ｘ）＝ｆ（－ｘ），f（ｘ）＝ｆ（ｘ＋5），利用復合函數(shù)導數(shù)運算法則得f ′（ｘ）= －f ′（－ｘ），ｆ ′（ｘ）＝ｆ ′（ｘ＋5），所以ｆ ′（ｘ）是以周期為5的奇函數(shù). 所以f′（5）=f ′（0）=0，所以選B.

例4（２００６湖南）若f（ｘ）＝ａｓｉｎｘ＋+bsinｘ-（ａｂ≠0）是偶函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對（ａ，ｂ）可以是＿＿＿＿＿＿＿＿（寫出你認為正確的一組數(shù)即可）.

分析f ′（ｘ）=acosｘ＋+bcosｘ-，由f（ｘ）＝ｆ（－ｘ），利用復合函數(shù)導數(shù)運算法則得f ′（ｘ）＝－ｆ ′（－ｘ），所以f ′（ｘ）是奇函數(shù). 所以f ′（0）=acos+bcos=0，所以a+b=0，只要填滿足a+b=0的數(shù)組即可.

捕捉學生點滴的智慧火花，發(fā)現(xiàn)學生思維中的“金子”，有利于增強學生的自信心. 給學生一個寬廣的舞臺，讓他們的思維盡情舞動，而我們要帶著欣賞的眼光，做一個好的傾聽者.