摘要：2008年全國Ⅰ（理）第10題在把握新課改本質(zhì)的基礎(chǔ)上，以新穎的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行精心的構(gòu)思和藝術(shù)化的剪裁，以問題為中心，知識(shí)為紐帶，橫縱之間相互滲透，各種思想方法融會(huì)貫通，充分體現(xiàn)了以“能力立意”的命題宗旨. 本文將對(duì)該題一些有代表性的解法進(jìn)行討論匯總，以期引玉.

關(guān)鍵詞：客觀題；精妙；解法；匯總

一個(gè)問題的價(jià)值取向并不在于它的深?yuàn)W，而在于它的功效；剖析問題最合理的途徑就是對(duì)問題進(jìn)行遷移和轉(zhuǎn)化，而遷移和轉(zhuǎn)化方式的不同則取決于對(duì)問題情境的感受程度的不同. 2008年全國Ⅰ（理）第10題在解析幾何、三角函數(shù)、不等式三方面知識(shí)的交匯點(diǎn)處進(jìn)行設(shè)計(jì)，立意新穎，毫無贅言，思維開放度高，解法多樣，充分體現(xiàn)了知識(shí)與技巧并重、基礎(chǔ)與能力并舉.

試題若直線+=1通過點(diǎn)M（cosα，sinα），則（）

A. ?搖a2+b2≤1B. a2+b2≥1

C. +≤1D. +≥1

解法1利用直線與圓的位置關(guān)系

由點(diǎn)M（cosα，sinα）的坐標(biāo)特征可知，點(diǎn)M為單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn). 依題意，直線+=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，即直線與圓相交或相切，故圓心到直線的距離d=≤1，從而+≥1，故答案為D.

點(diǎn)評(píng)此法的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的特征聯(lián)想到單位圓上的點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)，這可能是命題人的出發(fā)點(diǎn).

解法2利用排除法

本題需要判斷a2+b2，+與1的大小關(guān)系，由于直線在坐標(biāo)軸上的截距a，b和單位圓上的點(diǎn)M都具有任意性，故可用特殊位置來排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

由圖1可得a2+b2<1，+>1，故B、C答案錯(cuò)誤. 由圖2可得a2+b2>1，故答案A錯(cuò)誤. 排除答案A、B、C，故答案為D.

點(diǎn)評(píng)高考數(shù)學(xué)的選擇題是單項(xiàng)選擇，如果不能很快形成直接解題的思路，便可通過排除錯(cuò)誤選項(xiàng)來間接得到正確的答案.

解法3利用三角函數(shù)的有界性

把點(diǎn)M（cosα，sinα）代入直線方程+=1得+=1，+=#8226;cosα+sinα=sin（α+φ）（其中tanφ=）.

因?yàn)?=1，而sin（α+φ）≤1，所以≥1，從而+≥1. 故答案為D.

點(diǎn)評(píng)此法的關(guān)鍵在于通過將式子轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，并利用正弦函數(shù)的有界性，巧妙地找出正確選項(xiàng).

解法4利用向量的數(shù)量積

把點(diǎn)M（cosα，sinα）代入直線方程+=1得+=1，構(gòu)造向量m=，，n=（cosα，sinα），則m#8226;n=#8226;cosα+sinα，而m=，n==1. 因?yàn)閙#8226;n≤m#8226;n，所以1=cosα+sinα≤，從而+≥1. 故答案為D.

點(diǎn)評(píng)此法通過構(gòu)造向量，實(shí)現(xiàn)了向量數(shù)量積與向量的模之間的不等轉(zhuǎn)化.

解法5利用基本不等式

把點(diǎn)M（cosα，sinα）代入直線方程+=1得+=1. 兩邊平方得++=1，而=2#8226;#8226;≤+.

因?yàn)?++=+=+，所以+≥1. 故答案為D.

點(diǎn)評(píng)此法利用了基本不等式s2+t2≥2st及“1”的等價(jià)變形sin2α+cos2α=1.

解法6利用消元法

把點(diǎn)M（cosα，sinα）代入直線方程+=1得+=1，則=.

所以+=+=

==≥1，從而+≥1. 故答案為D.

?搖點(diǎn)評(píng)此法利用了消元法來減少變量，并通過配方，利用完全平方的非負(fù)性進(jìn)行證明.

解法7利用柯西不等式

把點(diǎn)M（cosα，sinα）代入直線方程+=1得+=1. 由柯西不等式得+=+#8226;（cos2α+sin2α）≥+2=1，故答案為D.

點(diǎn)評(píng)此題利用柯西不等式，結(jié)合sin2α+cos2α=1這一條件，實(shí)現(xiàn)快速解答.

解法8利用參數(shù)方程

把點(diǎn)M（cosα，sinα）代入直線方程+=1得+=1. 令+=λ2（λ≠0），設(shè)=λcosθ，=λsinθ，

所以λcosθcosα+λsinθsinα=1，即λcos（θ－α）=1.

因?yàn)閏os（θ－α）≤1，

所以λ≥1，從而+≥1.

故答案為D.

點(diǎn)評(píng)此法通過引入?yún)?shù)，借助參數(shù)方程，并利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行了證明.

本題在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)，以最常見、最美觀的形式展現(xiàn)，考查了最基本、最重要的知識(shí)點(diǎn)，解決問題的思路活、途徑廣，考生應(yīng)試很容易“入題”，也不難尋求正確答案，區(qū)別主要在于解決問題所花時(shí)間的長短. 此題在樸實(shí)中凸顯能力，不愧為一道精妙的高考試題.