摘要：在解數(shù)列題的過程中，學生的錯誤往往看似嚴密，實際上卻隱藏著各種知識盲點或邏輯漏洞． 如何避免學生今后再犯類似的錯誤？本文就數(shù)列中常見的錯解進行歸類剖析，并且認為，在教學及糾錯過程中，教師要提供適量的補償練習，以強化認知要點．

關鍵詞：數(shù)列錯解；補償練習；強化要點

在解數(shù)列題的過程中，學生往往出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，一些看似嚴密的解題過程，究竟隱藏著怎樣的知識盲點或邏輯漏洞？如何避免學生今后再犯類似的錯誤？本文就數(shù)列中常見的錯解進行歸類剖析，供同行教學時參考． 筆者認為，在教學及糾錯過程中，教師要提供適量的補償練習，以強化認知要點．

“所用公式的特點”不熟悉

例1若等差數(shù)列｛ａｎ｝和｛bｎ｝的前n項和An，Bn滿足=（n∈N+），求．

典型錯解 由題意設An=k（7n+1），Bn=k（4n+27），則==．

剖析與矯正 上述錯解是因為對等差數(shù)列的前n項和公式理解不到位．實際上，本題中An是關于n的二次函數(shù)形式，即An=an2+bn，而不是關于n的一次函數(shù)． 正確答案為：

由題意設An=kn（7n+1），Bn=kn（4n+27），則==．

補償練習（1）已知等比數(shù)列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，a1=7，S3=21，求公比q．

（2）已知數(shù)列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，Sn=a#8226;3n-1－2，｛ａｎ｝成等比數(shù)列，求實數(shù)a．

（3）設等差數(shù)列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，已知S=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值．

評注 該組補償練習旨在熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的特點，避免由記憶或理解偏差而造成的錯解或繁解．

“通項的構成規(guī)律”不清楚

例2若數(shù)列｛ａｎ｝的通項為ａｎ=1+++…+，則an+1－an=．

典型錯解 an+1=1+++…++， 所以an+1－an=．

剖析與矯正 上述錯解在于對數(shù)列的構成規(guī)律沒有進行正確的判斷． 構成通項的和式的分母為連續(xù)的正整數(shù)，從到共有2n項．

正確答案為：++…+．

補償練習已知f（ｎ）=++…+（n∈N+），求f（n+1）－f（ｎ）．

評注 該練習旨在對和式的構成規(guī)律有進一步的認識，它也是學生探究數(shù)列的單調性和后續(xù)學習如何運用數(shù)學歸納法的基礎．

“過程中n的取值范圍”不重視

例3已知數(shù)列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=2Sn（n∈N*），求通項an ．

典型錯解 由an+1－an=2（Sn－Sn-1）=2an 得：

an+1=3an，則數(shù)列｛ａｎ｝成等比數(shù)列． 所以an=a1#8226;qn-1=3n-1．

剖析與矯正 上述錯解是由于不重視數(shù)列表達式中變量n的取值范圍造成的． 如果注意到表達式Sn-1（或an-1）有意義的前提是n≥2，并且養(yǎng)成良好的書寫習慣，就會避免類似的錯誤． 正確答案為：

由an+1－an=2（Sn－Sn-1）=2an（n≥2）得

an+1=3an（n≥2）． 所以數(shù)列a2，a3，…，an成等比數(shù)列，且a2=2．

所以an=a2#8226;qn-2=2#8226;3n-2（n≥2）.

所以 an=1，n=1，2#8226;3n-2，n≥2.

補償練習已知數(shù)列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，Sn=3n－2（n∈N+），求通項an．

評注 遇到該類練習，學生基本上能利用an=S1， n=1，Sn－Sn-1， n≥2 求解，但大多數(shù)錯解或不規(guī)范的解答都是由于不重視數(shù)列表達式中變量n的取值范圍造成的，主要表現(xiàn)在沒有書寫取值范圍的習慣．

“數(shù)列的函數(shù)特征”沒理解

例4已知函數(shù)

f（ｘ）=4－x+4（x≤6），ax-5（x>6）， 數(shù)列｛ａｎ｝滿足an=f（ｎ）（n∈N+），且｛ａｎ｝是單調遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是．

典型錯解 由題意得函數(shù)f（ｘ）為單調增函數(shù)，則4－>0，a>1，a6-5>4－×6+4， 解得7

剖析與矯正 上述錯解是因為沒能準確地理解數(shù)列的函數(shù)特征． 數(shù)列（也稱離散函數(shù)）是定義在正整數(shù)集N+（或其有限子集｛1，2，…，k｝）上的函數(shù)，數(shù)列的函數(shù)特征特殊在定義域上． 因此，函數(shù)an=f（ｎ），第二段的定義域應為｛7，8，…，n，…｝，并且應該用a7>a6去建立不等關系． 正確答案為4

補償練習 （1）數(shù)列｛ａｎ｝滿足：an=n2+. 求證：an+1>an．

（2）已知數(shù)列｛ａｎ｝是遞增數(shù)列，且an=n2+λn（n∈N+），求實數(shù)λ的取值范圍．

評注 該組練習旨在辨析數(shù)列的單調性與對應函數(shù)的單調性之間的關系：若已知數(shù)列的通項公式，并要求判斷數(shù)列的單調性，則可考慮判斷對應函數(shù)的單調性，如補償練習（1）；若已知數(shù)列的單調性，則要慎用對應函數(shù)的單調性進行求解，應該用單調遞增（減）數(shù)列的充要條件去轉化，即數(shù)列｛ａｎ｝是遞增數(shù)列等價于an+1>an恒成立，如補償練習（2）．

“題中的隱含條件”不注意

例5已知1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則= ．

典型錯解 由題意得a1=2，b=1×4?圯b2=±2． 所以=±1．

剖析與矯正上述錯解忽視了b2必須大于0的隱含條件． 事實上，設數(shù)列1，b1，b2，b3，4的公比為q（q≠0），則b2=1×q2>0． 正確答案為1．

補償練習 已知等比數(shù)列｛ａｎ｝的前n項和為Sn，若S10=10，S30=70，則S40= ．

評注 該補償練習旨在突出等比數(shù)列中隱含條件的常見形式，提醒學生在遇到兩解時要有反思的意識． 當然，此類型題目的隱含條件需要平時的積累和總結．

“轉化變形的過程”不等價

例6已知a，b都是正數(shù)，且a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，求x1x2…xn的值．

典型錯解 記T=x1x2…xn?搖，①

?搖T=xnxn-1…x1.?搖 ②

兩式相乘，結合等比數(shù)列的性質得，T2=（x1#8226;xn）n=（a#8226;b）n?圯T=（a#8226;b）．

所以x1x2…xn=（a#8226;b）．

剖析與矯正 上述錯解較難發(fā)現(xiàn)錯因——問題出在開方上，此處不等價． 我們可以舉一個反例：1，－2，4，－8，16，－32，64成等比數(shù)列，但中間五項的乘積小于0． 正確答案為±（a#8226;b）．

補償練習設a，b，c為非零的實數(shù)，則b=是a，b，c成等比數(shù)列的條件．

評注 該補償練習旨在突出平方與算術平方根的關系，諸如此類的不等價關系經常被學生忽視． 當然，有時也不乏教輔資料上的錯誤．