摘要：筆者試圖通過(guò)對(duì)哲學(xué)思想的理解，特別是對(duì)《矛盾論》的介紹，利用辯證法的一些理論來(lái)對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一些解決問(wèn)題的思路，從而對(duì)一些比較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如證明三角條件恒等式）的解法從另外一個(gè)角度得到全新的詮釋，使我們的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更深的理解和感悟，也讓我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)學(xué)習(xí)和體會(huì)到哲學(xué)的一些思想和精髓，讓我們優(yōu)秀的學(xué)生成為數(shù)學(xué)哲學(xué)家或哲學(xué)數(shù)學(xué)家.

關(guān)鍵詞：辯證法；證明三角條件恒等式；角度；函數(shù)

《矛盾論》是毛澤東一九三七年八月寫的哲學(xué)經(jīng)典著作，論述了矛盾普遍性和矛盾特殊性的原理． 它指出：矛盾的普遍性包括兩方面的含義，一方面是指矛盾存在于一切事物的發(fā)展過(guò)程中，另一方面是指每一事物的發(fā)展過(guò)程中存在著自始至終的矛盾運(yùn)動(dòng).

在復(fù)雜的事物的發(fā)展過(guò)程中，有許多的矛盾存在，其中必有一種是主要的矛盾，由于它的存在和發(fā)展規(guī)定或影響著其他矛盾的存在和發(fā)展. 因此，不管怎樣，事物在發(fā)展過(guò)程的各個(gè)階段中，只有一種主要的矛盾起著領(lǐng)導(dǎo)的作用，是完全沒(méi)有疑義的. 由此可知，任何過(guò)程如果有多數(shù)矛盾存在的話，其中必定有一種是主要的，起著領(lǐng)導(dǎo)、決定的作用，其他則處于次要和服從的地位. 因此，我們研究任何過(guò)程，如果是存在著兩個(gè)以上矛盾的復(fù)雜過(guò)程的話，就要用全力找出它的主要矛盾. 而且，我們認(rèn)為，只要捉住了這個(gè)主要矛盾，一切問(wèn)題就迎刃而解了，這是馬克思研究資本主義社會(huì)告訴我們的方法. 萬(wàn)千的學(xué)問(wèn)家和實(shí)行家，不懂得這種方法，結(jié)果如墮煙海，找不到中心，也就找不到解決矛盾的方法.

然而，這種情形不是固定的，矛盾的主要和非主要的方面互相轉(zhuǎn)化著，事物的性質(zhì)也就隨著起變化. 在矛盾發(fā)展的一定過(guò)程或一定階段上，主要方面屬于甲方，非主要方面屬于乙方；到了另一發(fā)展階段或另一發(fā)展過(guò)程時(shí)，就互易其位置，這是依靠事物發(fā)展中矛盾雙方斗爭(zhēng)的力量的增減程度來(lái)決定的.

我們常常說(shuō)“新陳代謝”是宇宙間普遍的永遠(yuǎn)不可抵抗的規(guī)律. 依事物本身的性質(zhì)和條件，經(jīng)過(guò)不同的飛躍形式，一事物轉(zhuǎn)化為其他事物，就是新陳代謝的過(guò)程. 任何事物的內(nèi)部都有其新舊兩個(gè)方面的矛盾，形成一系列的曲折的斗爭(zhēng). 斗爭(zhēng)的結(jié)果，新的方面由小變大，上升為支配的東西；舊的方面則由大變小，變成逐步歸于滅亡的東西. 而一當(dāng)新的方面對(duì)于舊的方面取得支配地位的時(shí)候，舊事物的性質(zhì)就變化為新事物的性質(zhì). 由此可見(jiàn)，事物的性質(zhì)主要是由取得支配地位的矛盾的主要方面所規(guī)定的. 取得支配地位的矛盾的主要方面起了變化，事物的性質(zhì)也就隨著起變化. ?搖?搖

在研究矛盾特殊性的問(wèn)題中，如果不研究過(guò)程中主要的矛盾和非主要的矛盾以及矛盾之主要的方面和非主要的方面這兩種情形，也就是說(shuō)不研究這兩種矛盾情況的差別性，那就將陷入抽象的研究，不能具體地懂得矛盾的情況，因而也就不能找出解決矛盾的正確的方法. 這兩種矛盾情況的差別性或特殊性，都是矛盾力量的不平衡性. 世界上沒(méi)有絕對(duì)平衡發(fā)展的東西，我們必須反對(duì)平衡論或均衡論. 同時(shí)，這種具體的矛盾狀況以及矛盾的主要方面和非主要方面在發(fā)展過(guò)程中的變化，正是表現(xiàn)出新事物代替舊事物的力量.

我們要在生活和工作中用好矛盾論，主要還是一個(gè)“主次矛盾”和“度量掌握”問(wèn)題.

“十指皆有不齊，荷花皆有高低”，說(shuō)的就是我們先要看清事物間的區(qū)別和不同，再分析你的需要目的，而取相應(yīng)部分. 只有我們做到知己知彼后，盡量揚(yáng)長(zhǎng)避短，優(yōu)化自己所掌握的有限資源，才能達(dá)到最大效應(yīng)或效益.

因此，發(fā)現(xiàn)矛盾、認(rèn)清矛盾的兩面性甚至是多面性、特殊性，進(jìn)而找出、抓住主要矛盾，集力擊之，這就是我們要采取的正確的方法.

下面，我用“矛盾論”的思想就三角條件恒等式的證明方法與同學(xué)們做一些交流.

以角度為主要矛盾，得到“配角法”的思路

同學(xué)們?cè)谟龅饺菞l件恒等式的證明問(wèn)題的時(shí)候，常常因?yàn)楹瘮?shù)名和角的關(guān)系不知所措，我們認(rèn)為，函數(shù)名和角就是一對(duì)矛盾，當(dāng)我們碰到矛盾時(shí)，我們?cè)趺唇鉀Q這個(gè)問(wèn)題呢？我認(rèn)為，我們可以利用辯證法中的矛盾論的思想來(lái)解決. 在這類問(wèn)題中，角的變化是主要矛盾，函數(shù)名的變化是次要矛盾. 因?yàn)椤霸趶?fù)雜的事物的發(fā)展過(guò)程中，有許多的矛盾存在，其中必有一種是主要的矛盾，由于它的存在和發(fā)展規(guī)定或影響著其他矛盾的存在和發(fā)展”.

請(qǐng)看下面的例子：

例1已知sinβ=msin（2α+β），求證：tan（α+β）=tanα.

分析這是一個(gè)比較典型的三角條件恒等式的證明問(wèn)題，我們的學(xué)生拿到這類問(wèn)題之后，常常因?yàn)闂l件與結(jié)論之間不僅函數(shù)名不一樣（sin與tan），角度也明顯不同（條件是β、2α+β兩種角度；結(jié)論是α+β、α兩種角度），從而茫然不知所措，往往有種害怕的心理. 其實(shí)這類問(wèn)題并不可怕.

我們抓住主要矛盾分析一下：主要矛盾就是角度，條件和結(jié)論中的角度之間的關(guān)系是什么樣的呢？有什么聯(lián)系呢？

下面的式子就是這種聯(lián)系：把β看做兩個(gè)角度之差，把2α+β看做兩個(gè)角度之和，有β=（α＋β）－α，2α+β=（α＋β）＋α.

好了，我們暫時(shí)不關(guān)心函數(shù)名，只做角度的調(diào)整. 我們堅(jiān)信，如果角度調(diào)整到位，函數(shù)名也一定會(huì)有所變化，這種變化就是條件到結(jié)論的轉(zhuǎn)化. 下面，讓我們看看證明的過(guò)程.

證明由條件sinβ=msin（2α+β）變形得sin（α+β－α）=msin（α+β+α）.

現(xiàn)在利用兩角和與差的關(guān)系式展開(kāi)變形得（評(píng)述：這就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程）

sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=m［sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］.

也即：（1－m）sin（α+β）cosα=（m+1）#8226;cos（α+β）sinα.

再將此式左右相除，即得結(jié)論：tan（α+β）=tanα.

反思此題緊緊抓住角度的變化這一主要矛盾，順利地解決了這個(gè)貌似困難的問(wèn)題. 其實(shí)，這種方法就是我們常說(shuō)的“配角法”，這種方法的要點(diǎn)是抓住角度是這種問(wèn)題的主要矛盾，發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的角度關(guān)系，進(jìn)而促進(jìn)條件和結(jié)論的轉(zhuǎn)化. 我們?cè)倥e一個(gè)例子，看看“配角法”這個(gè)方法是否具有普遍性.

例2已知sinα=Asin（α+β），且A<1，求證：tan（α+β）=.

分析條件的角度是α，α+β，結(jié)果中的角度是β，α+β，它們之間是什么關(guān)系呢？

α+β－β=α.

證明我們將條件轉(zhuǎn)化為sin［（α+β）-β］=Asin（α+β）

我們將此式展開(kāi)即可得到結(jié)論.

例3已知2sinβ=sinα+sinγ，求證：2tan=tan+tan.

分析我們注意到本題看上去比較復(fù)雜，其主要矛盾是角度比較多，主要有六種角度：

β、α、γ、、、. 這些角度有什么關(guān)系呢？

－=；－=.

證明sinα－sinβ=sinβ－sinγ，利用和差化積公式得

2cossin=2cossin，變形有

= ，我們?cè)倮媒嵌茸兓年P(guān)系得

=.

展開(kāi)即有tan－tan=tan－tan.

整理即有2tan=tan+tan.

反思辯證法的思想讓我們把問(wèn)題簡(jiǎn)單化了.

以參數(shù)或某種函數(shù)為主要矛盾，得到“帶入消元法”的思路

我們?cè)倏纯蠢?，例1這個(gè)問(wèn)題中，我們注意到m是條件和結(jié)論的中介，如果我們把m當(dāng)做矛盾中的主要矛盾，我們就得到新的解法——帶入消元法.

例1的證明方法2：由條件，m=.

所以tanα=tanα=tanα=#8226;tanα=tan（α+β）.

我們?cè)倏蠢?的證明方法2：分類討論.

（1）sinα+β=0?圯sinα=0?圯sinβ=0，所以左=右.

（2）sin（α+β）≠0，因?yàn)锳=，

所以有：=

=

==tan（α+β）.

例4已知cosα=cosβcosγ，求證：tantan=tan2.

分析我們把條件中的cosγ和結(jié)論中的tan看做問(wèn)題的主要矛盾，我們只要找到它們之間的聯(lián)系，此問(wèn)題就迎刃而解了. 所以tan2=.

證明因?yàn)閏osγ=. 所以tan2=====tantan.

例5已知：sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，且θ為銳角，b≠±1. 求證：cosθ=.

分析本題問(wèn)題的主要矛盾是φ，抓住主要矛盾，我們很快發(fā)現(xiàn)結(jié)論并沒(méi)有φ，這正是我們要解決的問(wèn)題. 消去φ是本題的關(guān)鍵.

證明由條件得：cscφ=，cotφ=bcotθ. 因?yàn)?+1，則a2=b2cos2θ+1－cos2θ. 則cos2θ=，有cosθ=.

通過(guò)以上例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，只要自覺(jué)運(yùn)用哲學(xué)上的一些思想得到的解決問(wèn)題的方法，看似困難的問(wèn)題往往并不像看上去那樣難. 我們似乎得出這樣的結(jié)論：因?yàn)?，世上很多道理都是相通的，所以，只要我們用心去發(fā)現(xiàn)，智慧就在我們身邊. 有了以上的分析，我們認(rèn)為，三角條件恒等式的證明方法的思路是清晰的，只要我們掌握了正確的思維方式，看似比較復(fù)雜的問(wèn)題我們完全可以迎刃而解. 數(shù)學(xué)也讓我們不覺(jué)得那么困難了.