摘要：不等式的證明是歷屆IMO中的熱點問題，而不等式的證明存在著尋找入口難、條件運用難、確定變形方向難等問題，學生普遍感到惱火. 本文從一道第6屆IMO試題入手，利用學生熟悉的知識，從多方面考慮，運用多種方法進行證明，從而探求不等式的一般解題思路，使學生能舉一反三、觸類旁通.

關鍵詞：不等式；IMO試題；證明

不等式的證明存在著尋找入口難、條件運用難、確定變形方向難等問題，尤其是在各級各類數學競賽中，學生普遍感到惱火. 作者曾在文獻中討論過一道第20屆IMO試題的證明，現在從一道第6屆IMO試題入手，利用學生熟悉的知識（如均值不等式，實數平方的非負性，比較法），從多方面考慮，運用多種方法進行證明，從而探求不等式的一般解題思路，使學生能舉一反三、觸類旁通.

例題（第6屆IMO）設a，b，c是某個三角形的三邊長，求證：

a2（b+c－a）+b2（c+a－b）+c2（a+b－c）≤3abc.

證法1從學生熟悉的證明不等式的方法出發(fā)，利用作差來證明.

不妨設0

3abc-［a2（b+c－a）+b2（c+a－b）+c2（a+b－c）］

=（a3－a2b－a2c+abc）+（b3－b2a－b2c+abc）+（c3－c2b－c2a+abc）

=a（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）＋ｂ（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｃ（ｃ－ａ）#8226;（ｃ－ｂ）

≥b（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｃ（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）

≥ｂ（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｂ（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）

=b（ｂ－ｃ）2≥0，

所以a2（ｂ＋ｃ－ａ）+b2（ｃ＋ａ－ｂ）+c2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3abc.

證法2從學生熟悉的證明不等式的方法出發(fā)，利用作商來證明.因為= #8226;=#8226;=#8226;++=#8226;（cosA+cosB+cosC）≤#8226;=1，且3abc>0，所以原不等式成立.

證法3利用學生熟悉的基本不等式（a-b）2≥0來證明.

因為a，b，c是三角形的三邊長，

所以a+b－c>0，b+c－a>0，c+a－b>0. 又因為（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，所以（a-b）2（a+b-c）+（b-c）2（b+c-a）+（c-a）2#8226;（c+a-b）≥0，即

6abc－2a2（b+c－a）－2b2（c+a－b）－2c2（a+b－c）≥0.

所以a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3abc.

證法4排序不等式：設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，又設i1，i2，i3，…，in是1，2，3，…，n的一個排列，則有a1bn+a2bn-1+…+anb1（逆序和）≤a1bi1+a2bi2+…+anbin（亂序和）≤a1b1+a2b2+…+anbn（順序和）.

排序不等式涉及兩個實數組，我們應用排序不等式解題的關鍵是合理而恰當地構造兩個有序實數組.

針對題目條件，不妨設a≥b≥c>0，因為

b（ｃ＋ａ－ｂ）－ａ（ｂ＋ｃ－ａ）＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）≥0，

c（ａ＋ｂ－ｃ）－ｂ（ｃ＋ａ－ｂ）＝（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ－ａ）≥0，

所以a（ｂ＋ｃ－ａ）≤ｂ（ｃ＋ａ－ｂ）≤ｃ（ａ＋ｂ－ｃ）.

由排序不等式，有

a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤ab#8226;（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂｃ（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃａ（ａ＋ｂ－ｃ）=3abc+ab#8226;（ｂ－ａ）＋ｂｃ（c-b）＋ｃａ（a-c），?搖?搖?搖?搖①

a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤ac#8226;（ｂ＋ｃ－ａ）＋ab（ｃ＋ａ－ｂ）＋bｃ（ａ＋ｂ－ｃ）＝3ａｂｃ＋ａｂ#8226;（ａ－ｂ）＋ｂｃ（b-c）＋ｃａ（c-a）.?搖?搖?搖②

，整理得a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3ａｂｃ.

證法5我們知道，對于任意的兩個實數a，b，總存在實數t，使a=b+t. 在證明不等式的時候，它可發(fā)揮奇妙作用，可將不等關系化成等量關系，使證明簡化. 由對稱性可設a≥b≥c>0，令a=c+p，b=c+q（p≥q≥0），則

3abc-［ａ2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）］=a（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）＋ｂ（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｃ（ｃ－ａ）#8226;（ｃ－ｂ）=（c+p）（p-q）p+（c+q）q（q-p）+cpq=［c（p-q）+（p2-q2）］（p-q）+cpq≥0.

所以a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3abc.

“授之以魚，不如授之于漁.” 通過一道奧林匹克競賽試題，展開廣泛的聯想，從不同的角度，不同的結構，不同的關系，進行了充分的挖掘，從而一題多解. 一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系. 它可使學生感受到數學的奧妙無窮，提高他們學習數學的興趣，開闊他們的視野，啟迪他們的思維，從而培養(yǎng)他們的探索能力和創(chuàng)新能力，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.