摘要：立體幾何中圓錐曲線類型的判定主要利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法：將三維的立體幾何中軌跡問題轉(zhuǎn)化成平面幾何中圓錐曲線類型的判定. 常用的方法有：（1）定義法；（2）軌跡方程法；（3）交軌法. 若所求的點的軌跡所在的平面與空間直角坐標平面垂直或平行則可運用“軌跡法”求出該點的軌跡方程，再結(jié)合平面解析幾何中的圓錐曲線方程的類型即可判斷. 否則只能利用平面解析幾何中的圓錐曲線的定義加以判斷. 特殊的可用“交軌法”.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法；定義法；軌跡方程法；交軌法

在現(xiàn)行的高中教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系. 實際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，立體幾何由平面幾何升維而產(chǎn)生；從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡. 因此，立體幾何中圓錐曲線類型的判定主要利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法：將三維的立體幾何中軌跡問題轉(zhuǎn)化成平面幾何中圓錐曲線類型的判定. 常用的方法有：（1）定義法；（2）軌跡方程法；（3）交軌法.

例1（2004重慶）若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到平面BCD的距離與到棱AB的距離相等，如圖1，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）

圖1

解析設二面角A-BC-D的大小為θ，作PR⊥平面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ#8226;sinθ，所以==sinθ為小于1的常數(shù)，可知PT< PQ，則問題轉(zhuǎn)化為在∠ABC內(nèi)，動點P到角兩邊的距離之比為定值，用解析法可以判定點P的軌跡是直線. 故軌跡圖形應選D.

點評這個問題的解決過程體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化的思想，要判斷平面內(nèi)點P的軌跡必須要有兩個量（比如縱橫坐標）. 因此除了要考慮PT，還需再引入一個變量，因為有了PR，自然想到要利用三垂線定理，作出PQ⊥BC于Q.

變式1如圖2，若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到平面BCD的距離與到點A的距離相等，則動點P的軌跡可能是（）

A. 直線B. 橢圓?搖

C. 雙曲線D. 拋物線

解析設二面角A-BC-D大小為θ，作PR⊥平面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，連結(jié)RQ，則∠PQR=θ. 由條件PA=PR= PQ#8226;sinθ，所以e===sinθ為小于1的常數(shù)，故P點的軌跡方程為橢圓，選B.

變式2如圖3，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面ADP⊥平面ABCD，M為平面ABCD內(nèi)的動點，滿足MP=MC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡可能是（O為正方形ABCD的中心）（）

誤解如圖4，過M作ME⊥AD于E，連結(jié)PE，則ME⊥PE.

因為PM>ME，所以e==>1，

所以M點的軌跡是以C為焦點，AD為準線的雙曲線，故無答案.

誤解分析

e===不是定值，不符合圓錐曲線的第二定義.

正解1（軌跡法）如圖5，過M作ME⊥AD于E，連結(jié)PE. 則ME⊥PE，以E為坐標原點，EA，EM，EP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系. 設M（x，y，0），AB=2，則P（0，0，），C（-1，2，0）. 由MP=MC得

x2+y2+3=（x+1）2+（y－2）2

即x－2y+1=0，故選A.

正解2（交軌法）連結(jié)PC，因為MP=MC，所以M點的軌跡是PC的垂直平分面與平面ABCD的交線. 故選A.

例2如圖6，正方體ABCD-A1B1C1D1的面BCC1B1內(nèi)有一點M，滿足∠MD1D=∠BD1D，則點M的軌跡為（）的一部分.

A. 圓B. 橢圓?搖

C. 雙曲線D. 拋物線

解法1（軌跡法）以D為坐標原點，DA，DC，DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系. 設AB=1，M（x，1，z），則D1（0，0，1）， B（1，1，0）?搖，

所以=（0，0，－1)，=（1，1，-1），=（x，1，z－1）.

又 ∠MD1D=∠BD1D為銳角，

所以cos〈，〉=cos〈，〉.

所以=，

即2（z－1）2－x2=1，故選C.

解法2因為∠MD1D=∠BD1D，

所以點M的軌跡是以D1為頂點，D1D為對稱軸，D1B為母線的圓錐面與面BCC1B1的交線，且面BCC1B1∥DD1，如圖7所示，故選C.

圖7

說明若所求的點的軌跡所在的平面與空間直角坐標平面垂直或平行則可運用“軌跡法”求出該點的軌跡方程，再結(jié)合平面解析幾何中的圓錐曲線方程的類型即可判斷. 否則只能利用平面解析幾何中的圓錐曲線的定義加以判斷. 特殊的可用“交軌法”.