摘要：在求解立體幾何客觀題時(shí)，一般有七種（移、補(bǔ)、割、展、折、垂、模）策略. 掌握了這七種策略，不僅能激發(fā)學(xué)生的探索欲望和創(chuàng)新意識(shí)，而且還可以把抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而使問(wèn)題的解答簡(jiǎn)捷明快、新穎獨(dú)特，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵字：策略；移；補(bǔ)；割?搖展；折；垂；模

移

例1 如圖１，正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于 .

圖1

解析如圖1，取SB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，F(xiàn)H，則FH∥SA，所以∠EFH就是EF與SA所成的角.

又由于正三棱錐對(duì)棱互相垂直，即有SA⊥CB，即為∠EHF=90°，而EH=FH=AB，所以∠EFH=45°.

即EF與SA所成的角等于45°.

點(diǎn)評(píng)平移是求異面直線所成角的主要手段，往往利用三角形中位線或平行四邊形對(duì)邊平行等性質(zhì)來(lái)移．

例2 （２００５浙江）設(shè)M，N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E（如圖2）． 現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M，N的連線與AE所成角的大小等于_________．

解析由題意可知，可把已知圖補(bǔ)成長(zhǎng)方體EBCD-E1AC1D1（如圖3），連結(jié)E1B交AE于P，易得MNBP是平行四邊形，所以MN∥PB?搖，又E1B⊥EA，所以MN⊥EA，所以M，N的連線與AE所成的角的大小等于90°.

例3（２００８浙江） 如圖4，已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于___________．

圖4

解析把圖4補(bǔ)成圖5所示的長(zhǎng)方體，易知球心O是CD的中點(diǎn)，又CD===3，所以球O的體積V=πR3=π#8226;3=.

圖5

點(diǎn)評(píng)將幾何體補(bǔ)出適當(dāng)?shù)牟糠?，變成比較熟悉或者比較簡(jiǎn)單的幾何體（如正方體、長(zhǎng)方體、球等）， 使線、面關(guān)系更加直觀，再去進(jìn)行求解，這是一種“補(bǔ)”術(shù). “形補(bǔ)”能使計(jì)算簡(jiǎn)便.

割

例4（１９９９全國(guó)）如圖6，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）

A.B. 5 C. 6 D. ?搖?搖

圖6

圖7

圖8

解析連結(jié)EB，EC，把多面體分割成一個(gè)四棱錐和三棱椎，而VE-ABCD=#8226;S?荀ABCD#8226;h=×9×2=6，由此可知多面體的體積必大于6. 故選D.

點(diǎn)評(píng)“割”的目的就是把復(fù)雜的幾何體分割成簡(jiǎn)單而熟知的幾何體，化整為零，從而迅速求解.

展

例5（２００５江西）如圖9，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為AA1，C1B1的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F最短路徑的長(zhǎng)度為 .

解析因?yàn)锳B=BC=，∠ABC=90°，所以AC=2，由圖9側(cè)面展開(kāi)，見(jiàn)圖10，可知A1E=AA1=1，A1F=A1B1+B1F=，所以EF=． 把△A1B1C1與側(cè)面A1B1BA展平，見(jiàn)圖11，則EF=． 把△A1B1C1與側(cè)面A1ACC1展平，見(jiàn)圖12，可求得EF=． 比較以上三條路徑，以第三條最短，所以EF間最短路徑為.

點(diǎn)評(píng)展，是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為平面幾何問(wèn)題的常用方法. 應(yīng)用此法，可化“曲”為“平”. 此法一般用于求多面體、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離.

折

例6?搖 如圖13，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，BG與DH所成的角的大小為 ?搖.

解析按題意，折成如圖14所示的三棱椎，設(shè)其中A，B，C重合于點(diǎn)P，取FG的中點(diǎn)M，連結(jié)MH， 易得MH∥PG，所以∠DHM就是PG與DH所成的角. 設(shè)AB=4，則?搖DG=1，GM=GF=，在Rt△DGM中，DM==.

又HM=PG=，DH=，

所以cos∠DHM====，

所以∠DHM=arccos.

點(diǎn)評(píng)將平面圖形折疊成立體圖形，要注意折前與折后哪些元素發(fā)生了變化，哪些元素未發(fā)生變化，這些未變化的已知條件都是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).

垂

例7（２００４浙江）?搖如圖15，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α等于（）

A. B.

C. arcsin D. arcsin

解析如圖16，取AC的中點(diǎn)E，A1C1的中點(diǎn)F，連結(jié)B1F，EF，BE，易得平面BEFB1⊥平面ACC1A1，過(guò)D作DH⊥EF，垂足為H. 連結(jié)AH，則DH⊥平面ACC1A1，所以∠DAH就是AD與平面AA1C1C所成的角α. 易得AD=，DH= B1F=，sinα===.

所以α=arcsin.

點(diǎn)評(píng)在求解有關(guān)線面角、二面角、距離等問(wèn)題時(shí)，作垂線是關(guān)鍵.

如本題，學(xué)生們往往誤以為∠DAA1就是α.

模

例8已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a，b在α上的射影有可能是：

①兩條平行直線；

②兩條互相垂直的直線；

③同一條直線；

④一條直線及其外一點(diǎn).

在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

解析很難判斷①④是正確的，關(guān)鍵是判斷②，我們通過(guò)正方體模型來(lái)看. 如圖17，正方體ABCD-ABCD中，BD與AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)是AA的中點(diǎn)，顯然EF與BD是異面直線，它們?cè)谄矫鍭BCD上的射影分別是AC，BD，而AC與BD是互相垂直的，故結(jié)論②正確.

點(diǎn)評(píng)立體幾何的概念、法則、定理都是在一定的“幾何環(huán)境”中形成的． 我們?nèi)衾眠@一些熟悉的幾何模型來(lái)解決一些貌似復(fù)雜的問(wèn)題，解題就會(huì)變成一種樂(lè)趣.