摘要：在數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程中，轉(zhuǎn)換階段的核心是解題思維策略的選擇和運(yùn)用，它對(duì)于實(shí)現(xiàn)解題起著關(guān)鍵的作用. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視解題思維策略的訓(xùn)練對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有直接的指導(dǎo)意義，同時(shí)，對(duì)于破除我國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中仍然存在的題海戰(zhàn)術(shù)也具有積極的現(xiàn)實(shí)意義.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；思維策略；解題訓(xùn)練；思維過(guò)程；目標(biāo)狀態(tài)；總結(jié)反思

數(shù)學(xué)解題的思維策略，就是在發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中所采取的思路. 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)學(xué)會(huì)思考，會(huì)由未知向已知、復(fù)雜向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，從而快速準(zhǔn)確地解題. 因此教師在解題教學(xué)中要重視解題的思維策略的教學(xué)，用解題的思維策略去啟發(fā)學(xué)生“不要只埋頭走路，還要抬頭看路”. 下面筆者結(jié)合實(shí)際談?wù)勗诮忸}教學(xué)中的一些經(jīng)驗(yàn).

認(rèn)真審題、緊扣概念、快速分辨

數(shù)學(xué)解題的第一步是審題，審題就是要弄清題意，審清題目的結(jié)構(gòu)特征，將已知條件深化，弄清已知條件的等價(jià)說(shuō)法，實(shí)施相應(yīng)的解題策略. 數(shù)學(xué)的基本概念、定義就是對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象和概括. 數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等都是由定義和公式推演出來(lái)的，而定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過(guò)指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念. 因此，解題時(shí)，我們首先應(yīng)回到概念和定義上去，看看能否通過(guò)概念或定義去解題.

例1已知點(diǎn)P（x，y）滿足方程x+y－1=，則點(diǎn)P（x，y）的軌跡是?搖 ?搖.

解題策略分析 對(duì)于此題來(lái)講，審題應(yīng)該不太困難，容易想到本題就是考查“曲線和方程”的相應(yīng)知識(shí)：化簡(jiǎn)方程. 如果這樣想的話，我們可以通過(guò)對(duì)方程平方化簡(jiǎn)，但方程含x、y的交叉項(xiàng)xy，而對(duì)含xy項(xiàng)的二元二次方程對(duì)應(yīng)曲線的討論高中教材不作要求，至此，絕大多數(shù)同學(xué)都胡亂地寫(xiě)出一個(gè)答案. 如果我們進(jìn)一步審題，抓住題目的本意，即僅需判斷曲線的形狀，且肯定是在圓、拋物線、橢圓、雙曲線中選一個(gè)，并回到三者的概念或定義上去，則問(wèn)題迎刃而解.

解析將原方程變形為=1，即=. 因?yàn)楸硎军c(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)O（0，0）的距離，而表示點(diǎn)P（x，y）到直線x+y－1=0的距離，所以此方程的幾何意義就是動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)O（0，0）的距離與到定直線x+y－1=0距離之比為>1. 所以動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡是雙曲線.

解后反思 1. 曲線和方程是“形”與“數(shù)”的具體體現(xiàn)，這類題常常需要解決兩大類問(wèn)題：求曲線方程、已知方程研究曲線. 解決這兩大類問(wèn)題必須有關(guān)鍵的一步，即化簡(jiǎn).

2. 橢圓、雙曲線、拋物線是解析幾何中的主要內(nèi)容，我們要真正掌握和理解它們的第一定義和第二定義（統(tǒng)一定義），并在解決具體問(wèn)題時(shí)，盡可能回到定義和概念上去，這樣便會(huì)有意想不到的驚喜和解題體驗(yàn).

找題眼、抓特征、理清思路、設(shè)想計(jì)劃

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)地解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須理清思路，善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案. 觀察雖然是一種表面現(xiàn)象，但卻是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ). 因此，教師必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題，從而實(shí)現(xiàn)正確解題的目的.

例2已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，求證：+≥.

解題策略分析 證明不等式最常見(jiàn)的三大方法是：比較法、綜合法和分析法. 但本題若采用上述方法證明顯然比較困難. 我們從題目的外表形式可以觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式. 根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，本題可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法.

證明 不妨設(shè)A（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ），如圖1所示，則AB=，OA=，OB=. 在△OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知OA+OB≥AB，當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立. 因此，+≥.

解后反思 在證明此不等式的過(guò)程中，我們的解題思路常常是想利用證明不等式的一些基本方法來(lái)證明. 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很煩瑣. 學(xué)生沒(méi)能從題目的外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固. 因此，學(xué)生平時(shí)應(yīng)多注意對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí).

瞄準(zhǔn)目標(biāo)、靈活轉(zhuǎn)化、細(xì)想過(guò)程

凡事“預(yù)則立，不預(yù)則廢”，數(shù)學(xué)解題也是如此. 尤其是面對(duì)具有一定難度的綜合題時(shí)，解題的方向是什么，解題突破口在何處，眾多條件中應(yīng)該優(yōu)先考慮哪一個(gè)，選擇何種表達(dá)方式等問(wèn)題，往往是阻礙學(xué)生成功解題的重要因素. 考試時(shí)不少學(xué)生拿到題目，方向未明，便盲目下筆，導(dǎo)致中途受阻. 因此講評(píng)試卷時(shí)，教師一定要加強(qiáng)預(yù)測(cè)解題方向的指導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上明確解題目標(biāo)，然后朝著目標(biāo)穩(wěn)步推進(jìn). 這對(duì)提高學(xué)生的分析能力，增強(qiáng)解題的條理性、邏輯性，將是大有裨益的. 因此，在具體解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們要不斷觀察、仔細(xì)琢磨、認(rèn)真研究，不斷取舍、瞄準(zhǔn)目標(biāo)、不斷檢驗(yàn). 即一要細(xì)想有沒(méi)有理解好題意，是否將有關(guān)題設(shè)看錯(cuò)、看漏；二要細(xì)想原理，已知條件和法則是否對(duì)應(yīng)，推理是否步步有據(jù)；三要細(xì)想運(yùn)算格式是否已經(jīng)完善，能否有更簡(jiǎn)潔的表述；四要細(xì)想解題步驟是否完整，解題結(jié)果是否符合題意.

例3在（1+x）n展開(kāi)式中是否存在連續(xù)的四項(xiàng)，其系數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，確定最小的自然數(shù)n及相應(yīng)的四項(xiàng)；若不存在，試說(shuō)明理由.

解題策略分析 此題屬于開(kāi)放性題型，常見(jiàn)解法是先假設(shè)存在，若能解出符合題意的解，則問(wèn)題具有存在性，否則不存在. 此題同學(xué)們可以很快求出連續(xù)四項(xiàng)的系數(shù)為C，C，C，C，而后若利用C+C=C+C進(jìn)行求解，會(huì)出現(xiàn)很煩瑣的代數(shù)式，給解題帶來(lái)困境. 若能想到利用四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的另一種處理思路2C=C+C，2C=C+C進(jìn)行求解，則問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了.

解析假設(shè)存在這樣的四項(xiàng)分別為第r+1，r+2，r+3，r+4項(xiàng)，則系數(shù)C，C，C，C滿足2C=C+C，2C=C+C.

化簡(jiǎn)得?搖4r2+8r－4nr+n2－5n+2=0，①4r2+16r－4nr+n2－9n+14=0. ②

兩式相減得n=2r+3，代入①得

r=－1，n=1，與r=0，1，2，…，n（n∈N+，n≥3）矛盾，所以不存在滿足條件的四項(xiàng).

解后反思 此題的解決過(guò)程中最關(guān)鍵的是想到四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列應(yīng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組，再解關(guān)于n，r的二元二次方程組. 這里要求同學(xué)們具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.

聯(lián)想方法、思考糾正、總結(jié)反思

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出，“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“通過(guò)反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也說(shuō)，“如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面”. 通過(guò)反思，可以深化對(duì)問(wèn)題的理解，優(yōu)化思維過(guò)程，揭示問(wèn)題本質(zhì)，探索一般規(guī)律；通過(guò)反思，可以溝通知識(shí)間的相互聯(lián)系，從而促進(jìn)知識(shí)的同化和遷移，產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn). 但是我們有的同學(xué)因?yàn)閷W(xué)習(xí)時(shí)間較緊或存在惰性心理，往往僅是完成任務(wù)式地解題，做完一道就扔一道，或馬上再做下一題，僅僅局限在解題的基本層面上. 事實(shí)上，我們每做一道題都應(yīng)該注意思考總結(jié)，做好之后回想一下解題過(guò)程，從中聯(lián)想、歸納出這類題的一般解題思路，尤其是做完難題，更應(yīng)從中掌握解題的方法. 對(duì)于自己做錯(cuò)或沒(méi)有做出來(lái)的題，則應(yīng)仔細(xì)推敲，并和自己當(dāng)時(shí)的想法進(jìn)行對(duì)比，查一查自己想法或思路上的問(wèn)題出在哪一環(huán)，想通理順后再做一遍，看看有沒(méi)有更好的想法和解題方法. 這樣，做過(guò)的題目才算真正消化，變成自己的東西，形成自己的想法和思路，實(shí)現(xiàn)多種解題方法的貫通.

例4若a＞0，b＞0，則+≥a+b.

解題策略分析 本題學(xué)生很容易利用基本不等式證明，但在講評(píng)完之后，我們引導(dǎo)學(xué)生觀察、反思，可發(fā)現(xiàn)該題的本質(zhì)是“幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)”. 提出問(wèn)題：能否推廣為一般命題？通過(guò)探討、論證可以得如下命題. （一般命題）

設(shè)xi＞0（i=1，2，…，n），則+++…++≥x1+x2+…+xn.

變式：ai＞0（i=1，2，…，n），下列式子成立嗎？

①+++…+≥++…+；

②++…+≥++…+.

解后反思 指導(dǎo)學(xué)生反思可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行：（1）思過(guò)程得失. 想一想，解題時(shí)最大的障礙在哪里？這些障礙是怎樣克服的？在解題策略上有何啟示？（2）思解題模式. 即解題所使用的方法、技能是否有廣泛應(yīng)用的價(jià)值？如果適當(dāng)?shù)馗淖冾}目的條件和結(jié)論，問(wèn)題將會(huì)出現(xiàn)怎樣的變化？有什么規(guī)律？解決這個(gè)問(wèn)題是否還有更佳的方法？對(duì)于典型問(wèn)題要學(xué)會(huì)通過(guò)分析一道題，掌握一類題，舉一反三，提高解題能力. （3）思解題中的數(shù)學(xué)思想方法. 即解題過(guò)程中是否能自覺(jué)、靈活地使用某些數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象與概括，是策略性的層次，對(duì)解決具體問(wèn)題具有導(dǎo)向作用. 在試卷評(píng)講中要引導(dǎo)學(xué)生提煉、歸納、應(yīng)用，做到既用具體方法解決問(wèn)題，又用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想統(tǒng)攝思維、引領(lǐng)思考.

“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是精髓. 數(shù)學(xué)解題策略就是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，在知識(shí)、方法、思想的不斷學(xué)習(xí)、反復(fù)運(yùn)用中，提煉出來(lái)的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題的基本觀點(diǎn). 要提高解題能力，同學(xué)們就必須動(dòng)手實(shí)踐，自生探索與合作交流，在具體解題實(shí)踐活動(dòng)中獲得體驗(yàn)，提煉想法，形成自己的方法.