摘要：解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，它省去了平面幾何的邏輯推理，降低了解題難度，但有時(shí)運(yùn)算量較大，在解題中容易出現(xiàn)計(jì)算方面的錯(cuò)誤. 由于解析幾何問題與幾何圖形有著極密切的聯(lián)系，因此在求解某些幾何問題時(shí)，若能注意結(jié)合圖形特征，聯(lián)想平面幾何知識(shí)，巧妙地運(yùn)用有關(guān)的平面幾何性質(zhì)，則可避免冗長(zhǎng)的推導(dǎo)和運(yùn)算，大大降低難度，使解題過程簡(jiǎn)捷而明了，獲得事半功倍的解題效果.

關(guān)鍵詞：直角三角形；等邊三角形；三角形的面積公式；三角形中位線

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，它省去了平面幾何的邏輯推理，降低了解題難度，但有時(shí)運(yùn)算量較大，在解題中容易出現(xiàn)計(jì)算方面的錯(cuò)誤. 由于解析幾何問題與幾何圖形有著極密切的聯(lián)系，因此在求解某些幾何問題時(shí)，若能注意結(jié)合圖形特征，聯(lián)想平面幾何知識(shí)，巧妙地運(yùn)用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)，則可避免冗長(zhǎng)的推導(dǎo)和運(yùn)算，大大降低難度，使解題過程簡(jiǎn)捷而明了，獲得事半功倍的解題效果. 在2007年的高考中，不少解析幾何題目，特別是選擇題、填空題，結(jié)合平面幾何知識(shí)進(jìn)行解答時(shí)，顯得特別簡(jiǎn)捷.

利用直角三角形的性質(zhì)

例1（全國Ⅱ文）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，且#8226;=0，則+等于（）

A． ?搖B． 2

C． ?搖D． 2

分析本題如用解析幾何的方法，難以入手. 考慮#8226;=0，得△PF1F2是直角三角形，PO是直角三角形的中線，則可簡(jiǎn)單解得.

解答由#8226;=0， 得∠F1PF2=. 則+=2==2c=2. 故選B.

利用直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)

例2（全國Ⅰ理）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積為（）

A． 4B． 3 C． 4 D． 8

分析本題的一般解法是求出過F點(diǎn)的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AK，最后再求出面積. 這是解析幾何的基本方法，有一定的運(yùn)算量.

如果注意到△AKF是等邊三角形，△MKF是有一個(gè)角為30°的直角三角形，則解答過程簡(jiǎn)捷，運(yùn)算量小.

解答如圖1，∠AKF=∠KFM，由拋物線的定義可知AF=AK，所以∠AKF=∠AFK.

則∠AFK=∠KFM==，

即△AKF為等邊三角形.

因?yàn)镕M=2，∠KFM=，

所以KF=2FM=4.

故S△AKF=×42=4. 故選C.

可以看到，利用平面平何的知識(shí)解答時(shí)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，這既提高了準(zhǔn)確性，又節(jié)約了時(shí)間. 類似的題目還有山東的第13題：

設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正方向的夾角為60°，則為 ．

利用直角三角形的性質(zhì)與三角形的面積公式

例3（浙江文、理）已知雙曲線－=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，PF1#8226;PF2＝4ab，則雙曲線的離心率是（）

A. B. C. 2D. 3

分析△F1PF2是直角三角形，PO為直角三角形斜邊上的中線，利用直角三角形中位線的性質(zhì)可知PO=c，再利用△F1PF2的面積建立第二個(gè)方程，聯(lián)立，即可求出離心率.

解答設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為±，h，由△F1PF2是直角三角形，PO為直角三角形斜邊上的中線，所以PO=c. 利用三角形的面積公式有F1F2h=4ab，即

2+h2=c2，2c×h=4ab.

消去h，再由b2=a2－c2，即求得離心率為，故選B.

利用三角形中位線的性質(zhì)

例4（遼寧）設(shè)橢圓+=1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足=（+），則= ．

分析本題的一般方法是由點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)有關(guān)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再利用向量的坐標(biāo)求出的值. 這種方法運(yùn)算量大，利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行解決的話，則比較簡(jiǎn)單.

由=（+）知，M為線段PF的中點(diǎn)，因此可利用平面幾何知識(shí)求的值.

解答設(shè)F ′為橢圓的右焦點(diǎn)，則=PF ′.

又因?yàn)辄c(diǎn)P到橢圓左準(zhǔn)線的距離為10，

所以PF=10×=6. 從而PF ′=10－6=4.

故=PF ′=2.

本題通過數(shù)形結(jié)合，利用三角形中位線的性質(zhì)，使得解答過程簡(jiǎn)單，并揭示了題目的本質(zhì).

類似的題目還有天津文科第22題的第（1）問：

設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為OF1，證明a=b.

利用線段垂直平分線的性質(zhì)

例5（湖南理）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A． 0，?搖B． 0，

C． ，1D． ，1

分析本題的一般思路是引入點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為參數(shù)，寫出線段PF1的垂直平分線的方程，利用垂直平分線過點(diǎn)F2建立關(guān)于該參數(shù)的方程，再借助該參數(shù)的存在性建立關(guān)于基本量a，c的不等式，從而求出離心率的取值范圍. 這種方法運(yùn)算量大. 平面幾何的方法是，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形邊的不等關(guān)系建立關(guān)于基本量c的不等式，從而可求出離心率的取值范圍.

圖2

解答如圖2，連結(jié)PF2，設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為Q，

則PF2=F1F2=2c，F(xiàn)2Q=－c.

由PF2≥F2Q，得2c≥－c.

解得≥，即e∈，1. 故選D.