摘要：橢圓、雙曲線的離心率是解析幾何中非常重要的知識點之一，也是高考?？嫉臒狳c. 對于某一類求橢圓、雙曲線離心率問題，利用另一組離心率公式求解，會帶來意想不到的“神奇”效果！本文以4個定理和4個相應(yīng)例題分別進(jìn)行闡述.

關(guān)鍵詞：定理；橢圓；雙曲線；離心率

求橢圓、雙曲線離心率一般涉及解析幾何、平面幾何、代數(shù)等多個知識點，綜合性強(qiáng)方法靈活，解題關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件，可先找出含a，b，c的等式關(guān)系，再求離心率. 在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線另一組離心率公式給我們解決某一類離心率問題會帶來意想不到的“神奇”效果！現(xiàn)用定理的形式敘述并證明.

離心率公式

定理1（如圖1）設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，在△PF1F2中，記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是橢圓的離心率，則有=e.

圖1

證明在△PF1F2中，==，則=.

所以=?圯==e.

定理2（如圖2）設(shè)雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點，在△PF1F2中，記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是雙曲線的離心率，則有=e.

圖2

證明在△PF1F2中，==，則=.

=，

所以=?圯==e.

定理3（如圖3）設(shè)A，B是橢圓+=1（a>b>0）的長軸兩端點，P是橢圓上異于A，B的任意一點，∠PAB=α，∠PBA=β，e是橢圓的離心率，則tanαtanβ=1－e2.

證明設(shè)P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）＝kPB=，

所以tanβ=－，

所以tanα#8226;tanβ=－#8226;= -.（1）

又+=1，所以y=b21-=（a2-x），代入（1），

所以tanα#8226;tanβ=-#8226;（a2-x）===1－e2.

定理4（如圖4）設(shè)A，B是雙曲線－=1（a>b>0）的實軸兩端點，P是雙曲線上異于A，B的任意一點，∠PAB=α，∠PBA=β，e是雙曲線的離心率，則tanαtanβ=1－e2.

證明設(shè)P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）=kPB=，

所以tanβ=－，所以tanα#8226;tanβ= －#8226;=-.?搖 （2）

又-=1，y=b2-1=（x-a2），代入（2），

所以tanα#8226;tanβ=-#8226;（x-a2）= -=-=1－e2.

注：若橢圓、雙曲線的焦點在y軸，或中心不在原點，同樣得到相應(yīng)的結(jié)論.

公式應(yīng)用

例1如圖5，正六邊形ABCDEF的頂點A，D為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B，C，E，F(xiàn)均在橢圓上，求橢圓的離心率.

圖5

分析本題關(guān)鍵是從正六邊形ABCDEF中找出一個內(nèi)角都已知的橢圓的焦點三角形，如△EAD，這樣可利用定

理1直接求解.

解析如圖5，連結(jié)AE，易知∠AED=90°，∠DAE=30°，∠ADE=60°.

由定理1得e====－1.

點評：本題也可設(shè)出正六邊形的邊長，利用橢圓的定義進(jìn)行求解.

例2（２００７安徽）如圖6，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A. B.

C. ?搖D. 1+

圖6

分析解本題的關(guān)鍵是尋找一個內(nèi)角都已知的雙曲線的焦點三角形，如△AF1F2，這樣可利用定理2直接求解.

解析如圖6，連結(jié)AF1，由于△ABF2是正三角形，利用對稱性得∠AF2F1=30°. 又因為F1F2是圓O的直徑，所以∠F1AF2=90°，∠AF1F2=60°. 由定理2得

e====1+，故選D.

點評本題也可求出A點坐標(biāo)－c，c，再將此坐標(biāo)代入雙曲線方程，且利用b2=c2－a2進(jìn)行求解，比較麻煩.

例3（東北區(qū)三省四市２００８年第一次聯(lián)合考試）橢圓的長軸為A1A2，B為短軸一端點，若∠A1BA2=120°，則橢圓的離心率為（）

解析由橢圓的對稱性可知△A1BA2是等腰三角形. 又∠A1BA2=120°，所以∠BA1A2=∠BA2A1=30°. 由定理3得

tan∠BA1A2#8226;tan∠BA2A1=1－e2，

即 tan30°#8226;tan30°=1－e2?圯#8226;=1－e2，e2=，所以e=，故選B.

點評本題也可由tan30°=，再利用e=求解.

例4設(shè)△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，則以A，B為頂點且過點C的雙曲線的離心率為 .

解析因為△ABC是等腰三角形，且∠ABC=120°，所以∠BAC=30°. 由定理4得

tan∠BAC#8226;tan∠ABC=1－e2?圯tan30°#8226;tan120°=1－e2?圯#8226;（－）=1－e2，

?圯e2=2，所以e=.

點評本題也可設(shè)AB=BC=2a，求出C點坐標(biāo)（2a，a），而后代入雙曲線方程-=1（a>0，b>0），再利用e=求解.

由于橢圓、雙曲線有著統(tǒng)一的內(nèi)在規(guī)律，所以它們之間還存在著很多類似的對偶性質(zhì). 只要我們在教學(xué)中細(xì)心觀察和認(rèn)真總結(jié)，有些有用、有趣的性質(zhì)一定會被發(fā)現(xiàn). 以上是我教學(xué)中的一點體驗，僅供參考.