摘要：本文在已有文獻的基礎(chǔ)上，利用圖形證明了調(diào)和-幾何-算術(shù)-冪平均不等式的特殊情形，然后對其一般形式給出了兩種新的證明方法. 本文是對四聯(lián)均值不等式證明方法的進一步豐富與完善，其證明思路與現(xiàn)有的其他證明思路是不同的.

關(guān)鍵詞：調(diào)和-幾何-算術(shù)-冪平均不等式；圖形；排序不等式；函數(shù)凹凸性

引言

均值不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在不等式中占有核心地位，它是研究函數(shù)極值、證明代數(shù)和幾何問題的有效工具. 關(guān)于調(diào)和-幾何-算術(shù)-冪平均不等式，此前已經(jīng)有很多精妙的證明方法. 凹凸性是函數(shù)的基本性態(tài)，因此借助函數(shù)的凹凸性來證明該不等式，具有十分重要的理論意義.

本文在已有文獻的基礎(chǔ)上，首先利用圖形證明了調(diào)和-幾何-算術(shù)-冪平均不等式的特殊情形（即n=2時），然后用兩種新的方法證明了其推廣后的一般形式.

本文是對均值不等式證明方法的進一步豐富與完善，其證明思路與現(xiàn)有的其他證明思路是不同的.

預(yù)備知識

我們首先列出與本文研究主題相關(guān)的定義和定理.

定義1 令ak>0（k=1，2，…，n），則稱Hn=，Gn=，

An=，

Qn（ｍ）=分別為a1，a2，…，an的調(diào)和平均值、幾何平均值、算術(shù)平均值和冪平均值（m>1）.

定義2 設(shè)f（ｘ）在定義域內(nèi)連續(xù)，若對定義域中的任意n個點x1，x2，x3，…，xn，恒有f≥，則稱f（x）在定義域內(nèi)是上凸的 ；若恒有f≤，則稱f（x）在定義域內(nèi)是下凸的.

定理1 （排序不等式）設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，則有

a1bn+a2bn-1+a3bn-2+a4bn-3+…+anb1（逆序積和）

≤a1br1+a2br2+a3br3+a4br4+…+anbrn（亂序積和）

≤a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+…+anbn（順序積和）.

（其中r1，r2，r3，r4，…，rn是1，2，3，4，5，…，n的一個排列）

定理2設(shè)ak>0（k=1，2，…，n），?搖Hn，Gn，An，Qn（m>1）分別為a1，a2，…，an的調(diào)和平均值、幾何平均值、算術(shù)平均值和冪平均值，則有Hn≤Gn≤An≤Qn（m>1）.

定理3設(shè)f（x）在定義域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)f ″（x），那么

（1）若在定義域內(nèi)f ″（x）<0，則f（x）在定義域內(nèi)為上凸；

（2）若在定義域內(nèi)f ″（x）>0，則f（x）在定義域內(nèi)為下凸.

主要結(jié)論及其證明

1. n=2時特殊情形的新證明

在人教版高中《數(shù)學(xué)》第二冊（上）第11頁，有這樣一個題目：

已知a，b都是正數(shù)，求證≤≤≤.

分析可以借助幾何圖形，將四個表達式分別表達出來，通過比較線段的長度獲得各表達式的相對大小.

證明顯然，當(dāng)a=b時等號成立.

下證，當(dāng)a≠b時不等式成立.

不妨設(shè) a>b>0，令A(yù)C=a，AB=b，BC=?搖a－b，以BC為直徑作半圓BDFC，圓心為O. 過A作半圓的切線AD，切點為D，過D作DE⊥BC于E，連結(jié)OD，過O作OF⊥BC交半圓于F，連結(jié)AF. 則?搖AO=，AD=，AE===.

于是，?搖?搖AF===.

由圖1可知：AE?搖

故原不等式成立.

2. 均值不等式的新證明

下面給出定理2的兩種新證明.

證明1（1）Gn≤An，令x1=，x2=，x3=，…，xn=.

根據(jù)定理1，n=x1#8226;+x2#8226;+x3#8226;+…+xn-1#8226;+xn#8226;（逆序和）

≤x1#8226;+x2#8226;+x3#8226;+x4#8226;+…+xn#8226;（亂序和）

=+++++…+++.

所以Gn≤=An.

下證，若 a1=a2=a3=…=an，則有Gn=An=a1.

事實上，若假設(shè)Gn=An時，a1，a2，…，an不全相等. 不妨設(shè)a1a1a2.

故An==≥>=Gn，這與假設(shè)矛盾，即有a1=a2=a3=…=an成立.

（2）Hn≤Gn，

由=≥=，則Hn≤Gn.

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時，等號成立.

（3）只證Αn≤Qn（m=2）. 又Αn≤Qn（m=2）等價于++…+≤1.

原式=++…+≤#8226;++…+#8226;+=#8226;+1=1.

證明2（1）證明Hn≤Gn對 ak>0（k=1，2，…，n），考查函數(shù)f（x）=－lnx，則?坌x>0，有f′（x）=－<0， f ″（x）=>0，故f（x）=－lnx，在定義域內(nèi)嚴(yán)格下凸.

于是有－ln≤ －=ln. 而f（x）=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故 ≤，

即Hn≤Gn（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時不等式取等號）.

（2）證明Gn≤An，對ak>0（k=1，2，…，n），考查函數(shù)f（x）=lnx，則?坌x>0，有

f′（x）=>0，f ″（x）=－<0 ，故f（x）=lnx在定義域內(nèi)嚴(yán)格上凸，于是有

ln≥=ln.

又f（x）=lnx在定義域內(nèi)單增，從而 ≤，

即Gn≤An（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時不等式取等號）.

（3）證明An≤Qn（m>1），對ak>0（k=1，2，…，n），考查函數(shù)f（x）=xa（a>1），則

?坌x>0，有f′（x）=axa-1>0，f″（x）=a（a－1）#8226; xa-2>0，從而f（x）=xa在定義域內(nèi)嚴(yán)格下凸，于是有

≥a，

即≥

.

所以An≤Qn（m>1），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時不等式取等號.

3. 關(guān)于均值不等式的發(fā)散

調(diào)和平均數(shù)中要求m>1，那么當(dāng)0

筆者猜想：Hn≤Gn

為證明結(jié)論，可以構(gòu)造函數(shù)

f（x）=，x≠0，?搖ak，x=0.?搖由于Hn=f（－1），Gn=f（0），An=f（1），所以要證原不等式成立，只需證明f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的（函數(shù)單調(diào)性的證明留給讀者思考）.

結(jié)束語

本文受已有文獻的啟示，利用圖形證明了調(diào)和-幾何-算術(shù)-冪平均不等式的特殊情形（即n=2時），然后又對其推廣后的一般形式給出了兩種新的證明方法. 類似已有文獻和本文的思路，我們也可以考慮新的構(gòu)造方法來證明均值不等式.