摘要：本文就向量的數(shù)量積與拋物線的焦點(diǎn)弦及焦點(diǎn)三角形面積問題進(jìn)行研究，得出兩個(gè)新定理：定理1，若AB是過拋物線y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的弦長，且#8226;=λ，則AB=；定理2，若AB是過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且#8226;=λ，則S△OAB=.

關(guān)鍵詞：向量；數(shù)量積；焦點(diǎn)弦；關(guān)系探討

近幾年高考中，焦點(diǎn)弦及焦點(diǎn)三角形是解析幾何中的熱點(diǎn)，所以值得總結(jié)與研究. 對(duì)于拋物線y2=2px（p＞0），過其焦點(diǎn)F的弦AB=，與頂點(diǎn)O連結(jié)的△OAB面積S=是大家比較熟悉的. 新教材增設(shè)了有關(guān)向量的知識(shí)，將平面向量知識(shí)與解析幾何知識(shí)綜合起來，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題是目前高考的一個(gè)亮點(diǎn). 本文就向量的數(shù)量積與拋物線的焦點(diǎn)弦及焦點(diǎn)三角形面積總結(jié)所得的公式介紹給大家，以供同仁參考.

定理1若AB是過拋物線y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的弦長，且#8226;=λ，則

AB=.

證明設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）且AB有斜率k時(shí)，其坐標(biāo)滿足方程組

y2=2px，y=kx－?圯0=k2x2－（k2p+2p）x+.

所以x1#8226;x2=.

若AB沒有斜率時(shí)直線AB的方程為x=，

則x1#8226;x2=.

因?yàn)?8226;=#8226;cosθ（θ=0°），

所以=λ.

又因?yàn)?x2+，=x1+，

所以x1+x2+=λ.

所以x1#8226;x2+（x1+x2）+=λ.

因?yàn)閤1#8226;x2=，

所以（x1+x2）=λ－.

故x1+x2=－p.

所以AB=x1+x2+p=.

故AB=.

定理2若AB是過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且#8226;=λ，則

S△OAB=.

證明設(shè)直線AB的傾斜角為α（α若為鈍角取其補(bǔ)角），若α≠，

則AB的方程為

y=x-tanα，

即xtanα－y－tanα=0.

設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，

則d==sinα.?搖?搖 ①

若α=，則d=. ①式仍成立.

所以S△OAB=AB#8226;d.

因?yàn)锳B=，d=sinα，

所以S△OAB=.

由定理1知AB=，又AB=，

可得sinα=，

所以S△OAB=.