摘要：例題、習(xí)題的教學(xué)是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的重要部分，在教學(xué)過程中有畫龍點(diǎn)睛的作用. 因此，要認(rèn)真搞好課本例題、習(xí)題的剖析教學(xué)，對(duì)典型的例題、習(xí)題還要從多角度挖掘其典型的應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值. 1. 對(duì)解題方法進(jìn)行深入挖掘和研究，做到一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性和靈活性. 2. 學(xué)以致用，挖掘例題、習(xí)題結(jié)論的利用價(jià)值. 3. 變換例題、習(xí)題的條件或結(jié)論，做一題多變，多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性. 4. 一題多問，挖掘例題、習(xí)題的廣度和深度，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性. 5. 認(rèn)真挖掘教材中例題、習(xí)題中隱含的德育素材，充分發(fā)揮其德育功能.

關(guān)鍵詞：回歸課本；依“綱”固“本”；剖析教學(xué)；多角度挖掘；一題多變；豐富解題策略；擴(kuò)展思維空間

例題會(huì)有解題最規(guī)范的解答過程，它和習(xí)題一起控制了教材的深度和知識(shí)輻射范圍. 課本例題、習(xí)題既是如何運(yùn)用知識(shí)解題的經(jīng)典，也是思維訓(xùn)練的典范. 正是這些典范的作用，學(xué)生才初步學(xué)會(huì)了怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考、解題，如何表述自己的解題過程. 例題、習(xí)題的教學(xué)是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的重要部分，在教學(xué)過程中有畫龍點(diǎn)睛的作用. 因此，要認(rèn)真搞好課本例題、習(xí)題的剖析教學(xué)，對(duì)典型的例題、習(xí)題還要從多角度挖掘其典型的應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值，這樣做不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，讓學(xué)生在解題的準(zhǔn)確性、靈活性和敏捷性上達(dá)到新的水平. 此外，對(duì)開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)亦有好處.

我們應(yīng)如何設(shè)計(jì)例題、習(xí)題的教學(xué)，真正發(fā)揮例習(xí)題應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值呢？我認(rèn)為首先應(yīng)理解其深刻的用意：即在例習(xí)題所要求的數(shù)學(xué)知識(shí)或方法基礎(chǔ)上，充分挖掘它的內(nèi)涵和外延，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旎蛲卣?，以滿足高層次教學(xué)的需要，同時(shí)也表明數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以課本為本.

1. 對(duì)解題方法進(jìn)行深入挖掘和研究，做到一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性和靈活性. 同一個(gè)題目從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟迪，因而可用不同的解法，進(jìn)而延伸解題的思維觸角，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維能力.

例1（北師大版 必修5?搖P80 例7）建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好. 問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？請(qǐng)說明理由.

解析設(shè)原住宅窗戶面積和地板面積分別為a，b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a

由于－=>0，

于是>. 又≥10%，

因此>≥10%.

所以，同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

這例說明了>（a，b，m>0，且a

證法2：（分析法）

由結(jié)論>變形得b（a+m）>a（b+m），推出b>a（已知）.

證法3：（綜合法）

已知b>0，m>0，所以bm>am，又a，b>0，

所以ab+bm>ab+am，即b（a+m）>a（b+m），即>.

證法4：（數(shù)形結(jié)合法）

設(shè)O（0，0），A（b，a），B（b+m，a+m），a，b，m都是正數(shù)，并且akOA，即>.

證法5：（構(gòu)造函數(shù)法）

因?yàn)閍

因?yàn)閙>0，所以f（m）>f（0）. 即>，故>.

證法6：（解不等式法）

由0?圳>0?圳x（x+b）>0，其解為（-∞，－b）∪（0，+∞）?勐R+，而m∈R+，所以原不等式成立.

我們通過課本的一個(gè)典型例題多角度的分析來解決問題，擴(kuò)展思維空間，豐富解題策略，真正做到游刃有余.

2. 學(xué)以致用，挖掘例題、習(xí)題結(jié)論的利用價(jià)值. 像教材上的例7的結(jié)論>（a，b，m>0，且a

例2設(shè)b克糖水溶液中含a克糖（未飽和），如果再增加m克糖，則糖水變得更甜了，你能用數(shù)學(xué)方法加以證明嗎？（提示：糖水濃度越大越甜）

解析b克糖水溶液中含a克糖（未飽和），其濃縮為，如果再增加m克糖，則濃度為，易知>；這也是用化學(xué)意義來證明或記憶不等式的又一妙法.

此時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生一起思考交流P81的第1、2題，學(xué)生的興趣就會(huì)得到大大地激發(fā)，可以受到良好的教學(xué)效果.

例3 （北師大版 必修1?搖P56?搖復(fù)習(xí)題二 B組第5題）

設(shè)f（ｘ）=，求證：

（1）f（－ｘ）＝（x≠±1）；

（2）f=－f（ｘ）（x≠－1，x≠0）.

編者出此題的用意不僅僅是證明這兩個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，更重要的是要能挖掘出其結(jié)論的利用價(jià)值.

應(yīng)用練習(xí)1設(shè)f（ｘ）=，求：

（1）f（2）#8226;ｆ（3）#8226;…#8226;ｆ（2008）#8226;ｆ（－2）#8226;ｆ（－3）#8226;…#8226;ｆ（－2008）的值；

（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）＋…＋ｆ（2008）＋ ｆ＋ｆ＋…＋ｆ的值.

解析由例3的結(jié)論易知f（－ｘ）#8226;ｆ（ｘ）=1 （x≠±1）；

f+f（ｘ）=0（x≠－1，x≠0）.

（1）f（2）#8226;f（3）#8226;…#8226;f（2008）#8226;ｆ（－2）#8226;ｆ（－3）#8226;…#8226;ｆ（－2008）

=［f（2）#8226;f（－2）］#8226;［f（3）#8226;f（－3）］#8226;…#8226;［f（2008）#8226;ｆ（－2008）］

=1.

（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2008）+f＋ｆ＋…＋ｆ

=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2008）+f

=f（1）+0

=0.

變式練習(xí)2設(shè)f（ｘ）=，計(jì)算f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ的值.

解析受例3的結(jié)論啟發(fā)，易證f+ f（ｘ）=1 （x≠0）.

所以f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ

=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2009）+f

=f（1）+2008

=2008.

通過本例的研究可以讓學(xué)生理解課本的例題習(xí)題結(jié)論的重要應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生做題時(shí)要善于思考，不能就題論題.

3. 變換例題、習(xí)題的條件或結(jié)論，做一題多變，多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性. 有些例題的問題背景、解決的方法有類似之處，甚至有些題目就是同一題設(shè)條件，只是求證的結(jié)論的表現(xiàn)形式不同而已，因此進(jìn)行多題一講是很必要的. 它可以使學(xué)生感覺到某些知識(shí)點(diǎn)的核心之處，也無非就是那幾個(gè)小結(jié)論，只要將它的內(nèi)涵與外延挖掘徹底，靈活運(yùn)用就可以了，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更有信心，不至于被大量的習(xí)題弄得無所適從.

例4（北師大版 必修1?搖P47?搖習(xí)題2-4 A組第6題）

求二次函數(shù)y=－2x2+6x在下列定義域上的值域：

（1）?搖定義域?yàn)椋鹸∈Z0≤x≤3｝；（2）定義域?yàn)椋郏?，1］

本題主要考查函數(shù)定義域的變化，引起值域相應(yīng)變化的內(nèi)容，課本只列出了兩種情況，在教學(xué)中還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考以下定義域上的函數(shù)值域問題：（3）定義域?yàn)椋?，3］； （4）定義域?yàn)椋郏?，0］；（5）定義域?yàn)椋?，5］；（6）定義域?yàn)椋ǎ?，1）；（7）定義域?yàn)椋郏?，ａ?］；（8）定義域?yàn)椋ǎ?，ａ?）.

通過這一高密度的對(duì)比題組訓(xùn)練，讓學(xué)生清楚求二次函數(shù)在某區(qū)間上的值域時(shí)要借助函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性求其最值，因此要考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的三種位置關(guān)系，同時(shí)注意區(qū)間的開閉.

這種一題多變的訓(xùn)練方式對(duì)學(xué)生難以掌握的重要問題，可以收到很好的教學(xué)效果. 像函數(shù)的定義，映射個(gè)數(shù)，求二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，有限制條件的排隊(duì)問題等都可以采用這種訓(xùn)練模式.

4. ?搖一題多問，挖掘例題、習(xí)題的廣度和深度，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

例5 （北師大版 必修1?搖P30?搖例4）某質(zhì)點(diǎn)在30 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度v是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖象如圖2. 用解析法表示這個(gè)函數(shù)，并求出9 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度.

解析速度是時(shí)間的函數(shù)，且在不同的區(qū)間上對(duì)應(yīng)不同的解析式，因此速度是時(shí)間的分段函數(shù)，解析式為

v(t)=t+10，0≤t<5，3t，5≤t<10，30，10≤t<20，－3t+90，20≤t≤30.

由上式可得，t=9 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度是

v（9）=3×9=27（ｃｍ／ｓ）.

本題既是兩種函數(shù)表示法的相互轉(zhuǎn)化，又是分段函數(shù)的初步應(yīng)用，教學(xué)時(shí)還應(yīng)設(shè)計(jì)如下問題，避免補(bǔ)充重復(fù)性的例題，提高課堂教學(xué)的效率.

（1）求質(zhì)點(diǎn)在t=19 s、20 s、0.2 s時(shí)的速度；

（2）求v（ｖ（9））的值；

（3）當(dāng)v（ｔ）=27（ｃｍ／ｓ）時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間t是多少？

問題（1）增加了問題的廣度，問題（2）（3）增加了問題的深度. （1）（2）解法略，

（3）解法1：（分段函數(shù)分段解）

①當(dāng)0≤t<5時(shí)，

v（ｔ）=t+10=27，解得t=17（舍）.

②當(dāng)5≤t<10時(shí)，

v（ｔ）=3t=27，解得t=9.

③當(dāng)10≤t<20時(shí)，

v（ｔ）=30≠27，無解.

④當(dāng)20≤t≤30時(shí)，

v（ｔ）=－3t+90=27，解得t=21.

綜上可知t=9或21.

解法2：（數(shù)形結(jié)合）由v與t圖象可知只有5≤t<10和20≤t≤30時(shí)，v（ｔ）=27（ｃｍ／ｓ）才可能成立，故v（ｔ）=－3t+90=27或v（ｔ）=3t=27，解得t=9或21.

5. 認(rèn)真挖掘教材中例題、習(xí)題中隱含的德育素材，充分發(fā)揮其德育功能. 現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中有許多關(guān)于古代文明、現(xiàn)代環(huán)保、民生改善等隱含豐富德育素材的例習(xí)題，我們應(yīng)深入挖掘其中的精神品質(zhì)素養(yǎng)教育的因素，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展. 例如：（北師大版必修1）函數(shù)第一節(jié)“生活中的變量”的例1：我國(guó)的道路交通網(wǎng)，近十幾年的發(fā)展非常迅速. 自1988年開始建設(shè)高速公路，全國(guó)高速公路通車總里程，自1998年位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超過了加拿大，躍居世界第二位（圖表略）. 通過這些例不僅使學(xué)生了解兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生感到改革開放以來，中國(guó)的基礎(chǔ)建設(shè)、科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人民的生活水平日益提高，使他們對(duì)黨和“全面建設(shè)小康社會(huì)”的實(shí)現(xiàn)充滿信心，同時(shí)，又使學(xué)生感到我國(guó)工農(nóng)業(yè)、國(guó)防和科研部門對(duì)數(shù)學(xué)的迫切需要，從而激發(fā)他們學(xué)好數(shù)學(xué)、成才后要為祖國(guó)的社會(huì)主義建設(shè)事業(yè)多作貢獻(xiàn)的愿望.

還如：（北師大版必修3?搖P78 例4）“韓信點(diǎn)兵問題”，對(duì)本題的講解不能僅僅停留在算法層面，還要借此機(jī)會(huì)向?qū)W生介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)就表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，如《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”問題：“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物有幾何？”程大位則在《算法統(tǒng)宗》中用一首詩(shī)給出的絕妙算法：“三人同行古來稀，五樹梅花廿一枝. 七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得知. ”通過對(duì)本例的挖掘使學(xué)生了解我國(guó)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)κ澜缈茖W(xué)發(fā)展作出的巨大貢獻(xiàn)，來展示我國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的民族自信心和自豪感.

課本中每一個(gè)例題、習(xí)題的設(shè)置都有其目的和作用，體現(xiàn)著本節(jié)知識(shí)應(yīng)達(dá)到的能力要求. 我們不僅要緊扣課本，認(rèn)識(shí)到認(rèn)真鉆研課本的重要性，突出課本基礎(chǔ)知識(shí)的作用，突出課本例題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用，也要重視課本習(xí)題潛在功能的挖掘與利用. 指導(dǎo)學(xué)生回歸課本，依“綱”固“本”，挖掘課本的潛在功能，對(duì)課本典型問題進(jìn)行引申、推廣，發(fā)揮其應(yīng)有作用，這與高考命題的“源于課本，高于課本”的理念是相吻合的.

如果把整個(gè)教學(xué)過程比作一個(gè)完美的圓，我們應(yīng)當(dāng)將圓上的每一點(diǎn)都作為放飛學(xué)生思維的切點(diǎn).