摘要：數(shù)學教學要善于發(fā)現(xiàn)學生中的錯誤，善于設置錯誤，也要善待學生的錯誤，對學生的錯誤要表現(xiàn)出更為積極的態(tài)度；要讓學生具備勇于犯錯誤的精神，并善于從錯誤中學習；要把錯誤看做是其數(shù)學學習歷程中的一個階段，并在此基礎上獲得數(shù)學理解的進一步發(fā)展；要善于恰當?shù)靥幚礤e誤，力求在對錯誤的反思中悟得深刻，悟得透徹，使錯誤成為寶貴的教學資源．

關鍵詞：錯誤；教學資源

所謂“錯誤”是師生在認知過程中的偏差或失誤，只要有認知，就會有錯誤．“錯誤”中包含了認知個體的大量信息，它客觀地反映了個體的心理特點；“錯誤”伴隨教學的始終，它有時發(fā)生在學生方面，有時發(fā)生在教師方面；“錯誤”可以作為很好的教學資源，教師在教學中要善于挖掘并利用形形色色的“錯誤”，它將給課堂教學帶來蓬勃生機．

剖析錯誤，加深理解數(shù)學概念

為了幫助學生理解反函數(shù)的概念，提出問題：函數(shù)y＝x2＋2x＋2有反函數(shù)嗎？若有，求出反函數(shù)；若沒有，說明理由．

學生中出現(xiàn)了兩種錯誤解法：（1）因為y＝（x＋1）2＋1，所以（x＋1）2＝y(tǒng)－1，有x＋1＝，即x＝－1，故f-1（ｘ）＝－1． （2）因為（x＋1）2＝y(tǒng)－1，所以x＋1＝±，即x＝±－1，故f-1（ｘ）＝±－1． 經(jīng)過交流和分析得出：第（1）種解法的錯誤在于兩邊開方要有“±”號，習慣性地取了“＋”號，這是一種錯誤的思維定式，是學生在解題中常犯的錯誤；第（2）種解法的錯誤是：沒有理解反函數(shù)的概念． x＝±－1，這就說明x不是y的函數(shù)，所以原函數(shù)沒有反函數(shù)． 在剖析錯誤之后，請學生嘗試著去改變原函數(shù)的定義域，使它有反函數(shù)． 學生中出現(xiàn)了“x≥－1”“x≤－1”和“x≥0”等多種情況． 他們得出不同區(qū)間的依據(jù)，是利用了反函數(shù)的概念，在所給的區(qū)間上，每給定一個y值，都有唯一確定的x值與它對應． 通過對錯誤的剖析，加深了學生對反函數(shù)概念的理解． 面對問題：“要使函數(shù)y＝x2－2ax＋1在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)，則a的取值范圍是 ．” 他們利用反函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間［1，2］上必須是單調(diào)函數(shù)． 通過研究對稱軸x＝a，得出a的取值范圍是a≥2或a≤1． 對錯誤原因的分析，可以幫助學生正確理解數(shù)學概念，提高解決問題的能力．

學生的思源于疑，疑源于錯，暴露學生的思維錯誤，猶如一石投入學生的腦海，必將激起學生思維的浪花，蕩起智慧的漣漪，從而激起學生強烈的探求新知的欲望和動力，讓學生經(jīng)歷犯錯、析錯、糾錯的過程，并在過程中深化對數(shù)學概念的理解和掌握．

嘗試錯誤，正確構建數(shù)學知識

有一次，教師上“反比例函數(shù)的圖象與性質”課，在讓學生畫出函數(shù)y＝的圖象之前，先在黑板上畫好了表格，并在表格中給出了12個關于原點對稱的自變量x的值，然后請學生求出對應的y值，接著讓學生按照表格中所得到的每一對（x，y）去描點、連線． 作完圖象后，教師組織學生討論教材上安排的“議一議”中的內(nèi)容：“你認為作反比例函數(shù)的圖象時應注意哪些問題？與同伴進行交流．” 學生議論出的結論是：“作圖時連線要光滑．” 顯然，這不是本質的，本質的是函數(shù)圖象所反映出的函數(shù)的性質．

這與教師的教學設計有關． 教學中應該是讓學生自己去列表、描點、連線，嘗試著畫出函數(shù)y＝的圖象，讓學生經(jīng)歷完整的畫圖過程． 在此基礎上組織學生互相交流各自畫的圖象，教師可以展示一些有代表性的圖象，最后歸納總結出畫反比例函數(shù)的圖象時應注意的幾個方面：（1）取點“全面”． 由于自變量x可以取不等于0的一切實數(shù)，因此在列表時，x的取值要有正、有負，否則作出的圖象不能全面反映反比例函數(shù)的特點． （2）關注反比例函數(shù)圖象的“走向”． 雙曲線在兩個象限內(nèi)向上、向下都無限接近于y軸，雙曲線在兩個象限內(nèi)向左、向右都無限接近于x軸，這一點可以結合函數(shù)解析式加以說明，讓學生感受“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一． （3）連線盡可能光滑，作圖象時可以多取一些點，使圖象更為精確．

為了讓學生正確構建數(shù)學知識，應該讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、比較、分析、抽象、概括等“再創(chuàng)造”活動． 在活動中，通過嘗試錯誤，去認識、理解、獲得數(shù)學概念和結論，構建起自己對數(shù)學知識的理解． 沒有學生的親自操作，沒有切身的體會，沒有犯錯誤的經(jīng)歷，學生就不可能有對數(shù)學知識的真正建構． 當代科學家、哲學家波普爾說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，探究發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤法．”

善待錯誤，激發(fā)學生創(chuàng)新思維

善待錯誤、寬容錯誤是一種情感和智慧，它可使學生在寬松的環(huán)境中進行生動活潑的探索，在質疑、解疑過程中，培養(yǎng)學生的自主性、能動性和創(chuàng)造性．

我曾經(jīng)請學生研究過問題：“從4件次品，6件正品中，有放回地任取3件，恰有2件是次品的概率為 .” 學生思維活躍，課堂氣氛熱烈，出現(xiàn)了五種答案：①；②；③C（0.4）20.6；④；⑤． 雖然有些答案是錯誤的，但都是他們獨立思考的結果．他們獨立思考、敢于懷疑、敢于批判、敢于超越，這種求異思維，是值得贊賞的，因為它往往是一種新發(fā)明、新創(chuàng)造的開端． 比較不同結果、發(fā)現(xiàn)錯誤、找出錯誤的原因成為教學的資源．

教師要善待學生中出現(xiàn)的錯誤，鼓勵他們表達自己的意見，敢于提出問題；教師要善待在探索過程中出錯的學生，保護他們發(fā)問的積極性，造就課堂上積極思考、勇于探索的熱烈氣氛，幫助學生樹立研究數(shù)學的自信心．

暴露錯誤，學會數(shù)學思維

有一次，教師展示例題：“已知圓x2＋y2＝25，（1）求過點A（4，－3）的切線方程；（2）求過點B（－5，2）的切線方程.” 教師寫完題后就提醒學生，過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有兩條，之后就應該讓學生去獨立完成了． 容易看出，解第（2）小題時，學生容易犯錯誤． 可能是教師害怕學生做題出錯，就把圓x2＋y2＝25和過點B（－5，2）作的兩條切線很準確地畫在黑板上，讓學生一目了然地看到有一條切線垂直于x軸，避免了學生解題出錯． 其實學生經(jīng)歷犯錯的過程，可以促使其認識更加完整，更加深刻，避免以后再犯同樣的錯． 在這個問題中，應該先讓學生嘗試錯誤，再通過分析錯誤可以讓學生發(fā)現(xiàn)用“點斜式”方程解題的缺陷，最終明確如果不能確定直線的斜率存在，就應該分類討論． 這樣就能通過暴露錯誤讓學生學會思考，領會學習方法．

修正錯誤，樹立學好數(shù)學的信心

有個學生在解不等式4x2＋4x＋1＜0時，寫出了解集為｛ｘｘ∈Ｒ｝． 在師生共同完成了此題的正確解答后，我問這個學生：“如何修改題目讓你的答案正確？”學生稍作思考說：“將題目改為4x2＋4x＋1≥0．” 這一修改贏得了其他學生的叫好，使出現(xiàn)失誤的學生由尷尬轉變?yōu)椤坝行┳院馈保?通過讓學生自己修正錯誤，給學生創(chuàng)設了成功的機會，在學生贏得學習自尊、樹立學好數(shù)學自信心的同時，教師也贏得了學生的尊重． 同時，對數(shù)學學習產(chǎn)生興趣，樹立學好數(shù)學的信心，是學生和未來公民應該具備的一種重要素質．

設計錯誤，讓學生心靈產(chǎn)生震撼

有這樣一道題：“已知全集U＝R，A＝｛ｘx＞1｝，B＝｛ｘx＋a＜0，若B?芴CUA，求a的取值”． 我在出題時，不小心將“CUA”寫成了“A”，我將錯就錯． 結果出乎我意料，幾乎所有學生都解出了答案，有a＞－1、a＜－1，還有a＞1等. 我有些失落與痛心． 在和學生一起分析錯誤原因時，很多學生都說：“沒想到老師會出錯題給我們做，即使在解題過程中發(fā)現(xiàn)有問題，我們也不會懷疑老師出的題有錯，會認為自己出錯了．”針對學生的這種心理，我教育學生：“要相信自己，要敢于大膽質疑，勇于提出問題．” 此番話贏得了學生的掌聲，讓學生的心靈產(chǎn)生了震撼． 學生在總結“有些什么收獲”時說：“要學會自信，學會用自己的頭腦思考，不盲從，敢于懷疑．” 因此有時我們不妨故意設計“錯誤”，不失時機地對學生進行自信心教育，自信心是成功的前提． 學生不會因為你出錯了題而怪你，相反可能會欣賞你這個老師，給了他們一次自我認識、自我教育的機會，感激老師不僅僅教書，也在育人．

學生學習知識的過程，是一種探究的過程、選擇的過程、創(chuàng)造的過程，也是學生科學精神、創(chuàng)新精神，乃至正確世界觀逐步形成的過程． 要探究、要選擇、要創(chuàng)造，就離不開學生的錯誤，要鼓勵學生不怕出錯，要笑容滿面地像對待正確一樣對待他們的出錯． 有時學生的錯誤如果不能充分地暴露，學生主動探究和嘗試的沖動就會大大降低，消除錯誤的機會也會大大減少． 對待錯誤的態(tài)度不應消極回避，而應積極面對，讓錯誤成為一種自我教育的資源． 教學實踐證明，“錯誤”可以激發(fā)學生的心理矛盾和問題意識，可以引起學生的思考與探究． “錯誤”如果使用得當，可以更有效地促進學生的認知、發(fā)展． 允許學生犯錯誤，學生不怕犯錯誤，只有這樣才能激活學生的思維，培養(yǎng)學生大膽探索，敢于質疑、獨立自主的精神，做到不唯師、不唯書，唯有尊重真理．

錯誤是一種教學資源，讓我們的教學因“錯誤”而精彩．