摘要：教材中的例題大都是為了說明教材中的知識點而設(shè)置的，方法單一，并且是直接呈現(xiàn)給學(xué)生的. 教師如果對教材照本宣科，既使學(xué)生感到枯燥無味，又抹殺了例題中隱含的豐富的數(shù)學(xué)思想，失去鍛煉與提高學(xué)生思維能力的機會. 因此教師應(yīng)積極探索與研究，根據(jù)不同的內(nèi)容、目標(biāo)以及學(xué)生的實際情況，對例題進行加工、改編、補充和完善，進行“再創(chuàng)作”.

關(guān)鍵詞：教學(xué)反思；一題多解；變式教學(xué)；再創(chuàng)作；引導(dǎo)教學(xué)

問題提出

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》選修2－1P69的例4為：

斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

這是一道有關(guān)拋物線簡單幾何性質(zhì)的一道常規(guī)題，也是一道關(guān)于拋物線焦點弦性質(zhì)的問題. 這種類型是歷屆高考和模擬考試的熱點，是優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)很好的素材. 書本上介紹了這道題的一種常用解法，由于在此之前，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的基本處理方法和韋達(dá)定理，加之前一天晚上學(xué)生也問過類似于該題的有關(guān)拋物線焦點弦問題，這使本人感覺到有必要對此題進行“再創(chuàng)造”.

課堂實錄

在上課前，我收集了有關(guān)拋物線焦點弦的一些幾何性質(zhì)，在學(xué)習(xí)了拋物線的簡單幾何性質(zhì)后，給出了例4的簡單變式題：

傾斜角為45°的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

師生之間進行一系列的互動.

教師：解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，幾何問題是形的問題，因此，在拿到一道解析幾何題時第一反應(yīng)就是作出圖形.

（教師在黑板上作簡圖，并要求學(xué)生在草稿紙上作，邊作邊問拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，教師和學(xué)生作完圖后，此時教師請一位學(xué)生回答此題的解法）

學(xué)生1（班里的數(shù)學(xué)科代表，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好，不假思索地回答）：

由已知可得直線l的方程為y=x－1，將其代入拋物線方程y2=4x，并消去y得x2－6x+1=0.

求出兩點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式可解決.

（教師板演學(xué)生的回答，該學(xué)生在教師寫到x2－6x+1=0時）

學(xué)生1：不求兩點坐標(biāo)了，這樣太麻煩，利用拋物線的焦半徑公式，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2. 又x1，x2是方程x2－6x+1=0的兩根，故x1+x2=6.

因此，可求得AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.

（教師對這位學(xué)生的回答大加贊賞，指出該學(xué)生能把握直線與拋物線位置關(guān)系的基本處理方式，并能運用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想使問題的解決變得簡潔）

教師：當(dāng)問題處理到方程x2－6x+1=0時，還有什么辦法可以求出弦AB的長度？

學(xué)生2：運用韋達(dá)定理，由弦長公式AB=x1-x2=#8226;可得.

（弦長公式部分學(xué)生不是太熟悉，教師作了簡單介紹，指出弦長公式的本質(zhì)就是兩點間的距離公式，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，并作出小結(jié)）

教師：前面同學(xué)們用了三種方法. 第一種方法直接求出了兩點的坐標(biāo)，用兩點間的距離公式；后兩種方法在得到方程之后，都沒有求出兩點的坐標(biāo)，第二種方法是利用拋物線的定義，結(jié)合焦半徑公式求出弦長；第三種方法是利用弦長公式，這兩種方法共同的特征是設(shè)而不求. 聯(lián)系“設(shè)而不求”的解題特征，想想本題還有什么解法？

（學(xué)生思考片刻，就有提到“設(shè)而不求點差法”，教師隨即指定一位學(xué)生回答，同時板演了學(xué)生的過程）

學(xué)生3：由前面可知AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2，

而y=4x1，y=4x2，兩式相減得（y1－y2）（y1+y2）=4（x1－x2）.

因直線l的斜率為1，故有y1+y2=4.

又y1=x1－1，y2=x2－1，所以x1+x2=6，以下同上.

（教師肯定了學(xué)生的回答）

教師：在解決本題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這個圖形中有很多幾何元素，如有直角梯形ABB′A′，傾斜角45°等，我們能不能從純幾何角度解決這一問題？

（學(xué)生在教師的指導(dǎo)下互相討論，大約一分鐘左右，教師選擇部分學(xué)生代表回答，下面是其中一位學(xué)生的解法）

學(xué)生4：過B點作BC垂直于x軸于C，過F作FD垂直于AA′于D.

根據(jù)拋物線的定義可知

BF=B′B=2－BFcos45°，AF=A′A=2+AFcos45°，

所以BF=，AF=.

所以AB=AF+BF=8.

教師：在例題中，直線和拋物線都是已知的，并且是特殊的，求的是過焦點的弦長，能不能對題目進行變形，再作解決？

（教師在課堂上作如下引導(dǎo)，變題常見的兩種方案為變題設(shè)條件或變求解結(jié)論，學(xué)生經(jīng)過一番討論之后，提出了許多想法，教師選了幾個有代表性想法的學(xué)生發(fā)言）

學(xué)生5：將題設(shè)條件的特殊情況改為一般情況，即得變題1.

變題1：傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長.

（此題一出來，學(xué)生發(fā)現(xiàn)例題所采用的方法也會適用于本題，教師略加點撥，巡視教室，進行個別指導(dǎo)，并要求學(xué)生注意在解題過程中是否有新的結(jié)論產(chǎn)生. 幾分鐘后學(xué)生用各種方法完成了變題1，并有了一些新發(fā)現(xiàn)）

學(xué)生6：我選擇的是利用韋達(dá)定理，將直線方程代入拋物線方程求弦長，當(dāng)我將直線方程y=kx－代入拋物線方程得到方程k2x2－（k2p+2p）x+=0，計算弦長時發(fā)現(xiàn)x1x2=，這是一個定值.

教師：非常好，發(fā)現(xiàn)了焦點弦的一個重要性質(zhì)，但你將直線方程設(shè)為y=kx－，就意味著直線的斜率一定會存在，這是對的嗎？

學(xué)生6：可以不存在，但此時直線方程為x=，也滿足x1x2=. 因此，只需將這個問題分成兩種情形討論即可.

學(xué)生7：我也是跟這位同學(xué)一樣，選擇用韋達(dá)定理和拋物線的定義求弦長公式，但直線方程我不是這樣設(shè)的，而是設(shè)為my=x－.

教師（打斷學(xué)生的話）：為什么可以這樣設(shè)？你最后得出的結(jié)論是什么？

學(xué)生7：因為這條直線要與拋物線有兩個交點，顯然斜率不可以為0，但可能不存在，故可這樣設(shè). 代入拋物線方程之后，我得到了y1y2=－p2.

教師：剛才兩位同學(xué)在求弦長的過程中，發(fā)現(xiàn)了拋物線焦點弦的兩個性質(zhì)，因此我們可以將本題改成另外一題. （師生共同回答）：

傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F，與拋物線相交于A，B. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求證：x1x2和y1y2都是定值.

但要求出AB的弦長，還需要繼續(xù)計算，將k，m用α代替，計算量還是較大的.有沒有發(fā)現(xiàn)上述四種方法中哪一種方法最簡單，在解題過程中又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生8：用幾何法計算弦長最方便，類似于例題的求法，我們可以得到BF=，AF=.

所以AB=BF+AF=.

教師：采用其他方法也能夠求出AB=，由這個弦長公式，我們能知道什么時候AB最短嗎？

學(xué)生（齊答）：當(dāng)α=90°時，|AB|最短，最小值為2p.

教師：當(dāng)α=90°時，AB=2p稱為拋物線y2=2px（p>0）的通徑. 但不知同學(xué)們有沒有從這種方法中，得出什么結(jié)論？

學(xué)生9：+=.

（全班愕然，此時下課鈴聲即將要響，教師進行如下小結(jié)）

本節(jié)課我們針對例4談了4種解法，并要求同學(xué)們對例題進行改編，結(jié)果在同學(xué)們解決問題的過程中得出新結(jié)論.

變題2：傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F，與拋物線相交于A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求證：

（1）x1x2和y1y2都是定值；

（2）+=.

當(dāng)然，可能同學(xué)們是采用不同的方法得出相應(yīng)的結(jié)論，但每一個結(jié)論卻可以由不同方法進行證明的，課后請同學(xué)們用其他方法證明上述的結(jié)論. 拋物線焦點弦的性質(zhì)很多，同學(xué)們可以結(jié)合手頭上的資料或上網(wǎng)去查閱關(guān)于拋物線焦點弦問題的其他性質(zhì). 接著，下課鈴聲響了……

教學(xué)反思

1. 新課程形式下的數(shù)學(xué)課堂需要教師對例題進行“再創(chuàng)作”

新課程標(biāo)準(zhǔn)的課堂是活動的課堂，是師生之間討論、合作、交流的課堂，是民主的課堂，是教師充分相信學(xué)生、依靠學(xué)生、發(fā)動學(xué)生主動探索的課堂. 教材中的例題大都是為了說明教材中的知識點而設(shè)置的，方法單一，并且是直接呈現(xiàn)給學(xué)生的. 教師如果對教材照本宣科，既使學(xué)生感到枯燥無味，又抹殺了例題中隱含的豐富的數(shù)學(xué)思想，失去鍛煉與提高學(xué)生思維能力的機會. 因此教師應(yīng)積極探索與研究，根據(jù)不同的內(nèi)容、目標(biāo)以及學(xué)生的實際情況，對例題進行加工、改編、補充和完善，進行“再創(chuàng)作”. 對例題的“再創(chuàng)作”，筆者以為可以選擇以下兩種常見的方式：

（1）對例題的解法進行發(fā)散，即“一題多解”.

教材中每道例題的解法都會蘊涵這一類問題的通性和通法，但有時也會有一些簡單的解題技巧. 上文例題的一題多解不僅介紹了解決直線與圓錐曲線問題的通法——函數(shù)與方程思想和點差法，同時也介紹了幾何法（事實上這是極坐標(biāo)的思想）. 這種方式不僅賦予學(xué)生更多的數(shù)學(xué)思想方法，也發(fā)散學(xué)生更多的數(shù)學(xué)思維空間，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

（2）對例題進行改編、變式，即“變式教學(xué)”.

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象的指出：“好問題同蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.” 波利亞說的就是變式教學(xué)，它是例題教學(xué)中普遍采用的一種教學(xué)模式. 變式教學(xué)是指變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，而不變換問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面. 如前文案例中對例題的拓展，還可以變換得到如下幾個問題.

變題3：已知一直線與拋物線y2=2px（p>0）相交于點A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2=－p2，求證：直線經(jīng)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點.

變題4：已知經(jīng)過定點（a，0）的直線與拋物線y2=2px（p>0）相交于點A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求證：y1y2是一個定值.

像這種一題多用、多題重組的變式教學(xué)，常給人以新鮮感覺，能夠喚起學(xué)生好奇心和求知欲. 因而學(xué)生能夠產(chǎn)生主動參與的動力，保持參與教學(xué)活動的興趣和熱情，不迷戀于事物的表象，而能自覺地注意到從本質(zhì)看問題，同時學(xué)會比較全面地看問題. 注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可克服和減少思維中的絕對化而呈現(xiàn)的思維僵化及思維惰性.

同樣是變式教學(xué)，在教學(xué)模式上又有所講究. 我們平常運用的變式教學(xué)，就是指教師有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化. 在這一過程中，教師教學(xué)預(yù)設(shè)的多，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中生成的少，學(xué)生對問題間的聯(lián)系和問題的產(chǎn)生過程并不十分清楚. 因此，前文案例中的變題1的教學(xué)，在教學(xué)模式上做了大膽的改革，采用的是“說題”教學(xué)模式，它是變式教學(xué)的一種. 說題，學(xué)生變老師，老師變學(xué)生，由說題者面向全班同學(xué)進行說題. 說不上的地方，教師啟發(fā)，說錯的地方由大家討論更正，要求學(xué)習(xí)者把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規(guī)律一定順序說出來，也可說問題的來源背景和拓展延伸. 本節(jié)課學(xué)生說的就是問題的拓展延伸，而問題的來源背景則應(yīng)該是變題1. 在這個過程中，學(xué)生充分運用了自己對教材知識自主建構(gòu)的權(quán)利，對教材的內(nèi)容有了自己的理解，教師和學(xué)生分享彼此的思考、經(jīng)驗和知識，交流彼此的情感，學(xué)生成為課堂的主體，教師為主導(dǎo).

2. 新課程形式下的學(xué)生學(xué)習(xí)方式需要教師對例題“再創(chuàng)作”

學(xué)生的學(xué)習(xí)方式一般有接受式和發(fā)現(xiàn)式兩種. 在接受學(xué)習(xí)中，學(xué)生是知識的接受者，在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)內(nèi)容是以問題形式間接呈現(xiàn)出來的，學(xué)生是知識的發(fā)現(xiàn)者. 兩種學(xué)習(xí)都有其存在的價值，彼此是相輔相成的關(guān)系. 但是，傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式過分突出和強調(diào)接受與掌握，冷落和忽視發(fā)現(xiàn)與探索，這種學(xué)習(xí)方式窒息了思維和智力，摧殘人的學(xué)習(xí)興趣和熱情. 本文案例中采用的“一題多解”教學(xué)和“說題”教學(xué)，則是以問題的形式出現(xiàn)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)與探索，鼓勵學(xué)生對書本的質(zhì)疑和對教師的超越，贊賞學(xué)生獨特性和富有個性化的理解和表達(dá)，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維.

3. 教師對例題“再創(chuàng)作”有利于提高自身的教研水平

現(xiàn)代教師不僅要具有豐富的專業(yè)知識，而且還要具備教育教學(xué)的工作能力. 本節(jié)課采用的“一題多解”和“說題”教學(xué)活動，是師生互動，雙邊發(fā)展的教學(xué)活動，它不僅有利于訓(xùn)練學(xué)生的膽量，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維. 同時，讓學(xué)生參與知識的產(chǎn)生過程，難免會在課堂出現(xiàn)一些“教學(xué)意外”，這就要求教師在課前需要自己對例題進行多角度、多層次的剖析，有時也要查閱大量的數(shù)學(xué)資料，以應(yīng)付課堂上的“教學(xué)意外”，這有利于提高教師的教育教學(xué)能力和教研水平.