摘要：本文從一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課中的偶然失誤出發(fā)，因勢利導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)失誤中蘊藏的必然結(jié)論，通過歸納、類比等常用數(shù)學(xué)思想，與學(xué)生一起完成了一節(jié)有意義的課堂教學(xué)，并從中得到一些個人教學(xué)體會.

關(guān)鍵詞：?搖數(shù)學(xué)課堂；隨機失誤；課堂教學(xué)；體會

數(shù)學(xué)教學(xué)是一項極其復(fù)雜但又豐富多彩的活動. 盡管教師認真準(zhǔn)備，仍可能出現(xiàn)一些意想不到的失誤，如寫錯或算錯題，讀錯字等等. 人非圣賢，孰能無誤？在漫長的教學(xué)生涯中，每一位教師都可能遇到失誤，但如果能及時抓住失誤并能合情合理地處理，那么說不定就會有意想不到的收獲.

本人曾選用《2009年中原部分省級示范高中第一次聯(lián)考（文科）》的壓軸題作為課后練習(xí)題. 但第二天課堂上叫學(xué)生起來校對答案時，發(fā)現(xiàn)好幾個同學(xué)第二小問都是同一個錯誤的答案，詫異之余發(fā)現(xiàn)原來是自己不小心抄錯了原題的一個數(shù)據(jù)，于是趕緊向?qū)W生們道歉.

原題在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A（1，0），B（2，2）為兩定點，點C滿足=（1－4α）+α，其中α∈R.

（1）求點C的軌跡方程.

（2）設(shè)點C的軌跡與雙曲線－=1（a，b>0）交于不同的兩點E，F(xiàn)，且#8226;=3，求證：－為定值.

我在抄題過程中將“#8226;=3”誤抄成“#8226;=5”，可很多學(xué)生卻能得到一個定值－. 于是我讓一名學(xué)生將解題過程呈現(xiàn)在黑板上：

解析（1）y=－x+1（過程略）.

（2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

聯(lián)立y=－x+1，－=1，

消去y得（b2－a2）x2+2a2x－a2－a2b2=0.

令Δ>0，

則x1+x2=，

x1x2=.

又#8226;=x1x2+y1y2=x1x2+（1－x1）（1－x2）=2x1x2－（x1+x2）+1=+1=+1=+1，

而#8226;=5，

所以+1=5.

所以－=－為定值.

學(xué)生的解答過程與我手中的答案幾乎完全相同. 我隨即給出問題：如果#8226;=3，結(jié)論是什么？立即有學(xué)生回答是－1，并指出只需將上述證明過程中改成+1=3即可.

直覺告訴我，這里面可能有文章可做，我馬上將這種感覺告訴了學(xué)生.

還是那位同學(xué)站起來，提出了一個猜想：將“#8226;=3”改成“#8226;=n”時，－仍為定值. 我立即給予贊揚. 并馬上順勢提出一個問題：“#8226;=n”是“－為定值”的充要條件嗎？該生略作思考，立刻給出了肯定的答復(fù)：#8226;=n?圳－=.

這時學(xué)生已經(jīng)有點興奮了. 我也被他的情緒鼓舞.

我在黑板上畫了一下圖形，突然提了一個問題：能將直線改成y=x+1嗎？并讓學(xué)生討論. 在議論過程中，有學(xué)生迅速給出了滿意的答復(fù)：根據(jù)圖形的對稱性，易知直線為y=x+1時不影響結(jié)果. 我立即提議同學(xué)們熱烈鼓掌，又說：“既然左右對稱，那么上下……”話音未落，已有學(xué)生搶話：“上下平移也對！”我立即揮手示意他站起來，“能否給出證明？” 這位學(xué)生因搶話而有點不好意思，面紅耳赤地說“還不知道！”

于是我給出新的猜想：若直線y=x+m與雙曲線－=1（a，b>0）交于不同的兩點E，F(xiàn)，且#8226;=3，求證－為定值.

學(xué)生們一片寂靜，埋頭演算.

幾分鐘后，有學(xué)生已經(jīng)結(jié)束運算，并開始竊竊私語了. 這個結(jié)論是否成立，其實我自己也不知道. 只是一個猜想罷了. 那位搶話學(xué)生也已經(jīng)算完. 我讓他寫在黑板上：

證明設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

聯(lián)立y=x+m，－=1，

消去y得（b2－a2）x2－2ma2x－a2m2－a2b2=0.

令Δ>0，

則x1+x2=，

x1x2=.

又#8226;=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=+m2=+m2，?搖

而#8226;=3，

所以+m2=3.

所以－=為定值.

（這名學(xué)生還比較聰明，只是將原板書適當(dāng)做了改動）

學(xué)生們都有點激動，我也驚訝于這樣的結(jié)論. 沒想到這位同學(xué)還有下文：將“#8226;=3”改成“#8226;=n”時－也會是定值－=. 其他學(xué)生都流露出了欽佩的神情，我也及時進行了夸獎.

至此，我們可以得出命題：若直線y=±x+m與雙曲線－=1（a，b>0）交于E，F(xiàn)不同兩點，則#8226;=n?圳－=.

應(yīng)該說，此題到此可以告一段落了. 于是我開始進行小結(jié)：“……在一些不經(jīng)意的失誤中，有時也隱藏著一些不為人知的規(guī)律，偶然之中也有著必然. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，抓住每一個細節(jié)，并通過我們數(shù)學(xué)推理和證明……”突然之間，我停了下來，學(xué)生們都莫名地看著我. 我走到剛剛得出的命題前，略作改動，給出了下面的猜想：若直線y=±x+m與橢圓+=1（a>b>0）交于E，F(xiàn)不同兩點，且#8226;=n，求證：+為定值.

我要求學(xué)生求解y=x+m的情形，并請了一個運算較好的同學(xué)進行板書.

證明設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

聯(lián)立y=x+m，+=1，

消去y得（b2+a2）x2+2ma2x+a2m2－a2b2=0.

令Δ>0，

則x1+x2=，

x1x2=.

又#8226;=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=+m2=+m2，?搖

而#8226;=n，

所以+m2=n.

所以+=為定值.

得出的結(jié)果是令人滿意的，是一次橢圓與雙曲線之間的合理遷移，完美類比. 同學(xué)們也都非常感慨：原來還可以得出這樣的結(jié)論.

接著，我再次得出一個命題：若直線y=±x+m與橢圓+=1（a>b>0）交于E，F(xiàn)不同兩點，則#8226;=n?圳+=.

原是我的一次隨機失誤，結(jié)果卻成了這堂課的一個很好的“引子”. 盡管原來的上課設(shè)想被打破了，但我和學(xué)生卻都感到這節(jié)課頗有收獲.

從這節(jié)課中，我有幾點小的體會：

（1）遇到失誤，首先要勇于承認. 古人云：金無足赤，人無完人. 尤其對于數(shù)學(xué)課堂來說，教師一點不犯錯誤幾乎是不可能的. 只要及時認識失誤，照樣能樹立自己的威信. 承認錯誤也是尊重知識的表現(xiàn)，教師正好可以借此做個榜樣.

（2）遇到失誤，要冷靜面對. 一旦出現(xiàn)失誤，一定要沉著，冷靜，穩(wěn)住情緒，積極思考對策，切忌立馬自亂陣腳. 不亂找客觀原因，給自己“找臺階下”.

（3）遇到失誤，要巧妙處理. 失誤有時并不是不可挽回的錯誤，就像我上面的教學(xué)案例，只要處理得當(dāng)，一樣是不同的精彩，而且往往會更加自然，少了刻意的雕飾.

（4）學(xué)生永遠是課堂的主體，我們不能剝奪學(xué)生的這個權(quán)利. 把課堂的隨機失誤當(dāng)成師生之間的一次更加面對面的交流，坦誠而深入，讓數(shù)學(xué)課堂變得更加生動.