摘 要：將問題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)思考的前提. 在本文中，筆者從情景引入、知識(shí)生成、思維誘導(dǎo)及方法提煉四個(gè)層面，談?wù)勅绾尉o扣“數(shù)學(xué)化”，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)地思考；情景引入；知識(shí)生成；思維誘導(dǎo)；方法提煉

由全國中小學(xué)教師繼續(xù)教育數(shù)學(xué)專業(yè)教材《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》可知：人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化. 《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出: 學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實(shí)際問題，能從現(xiàn)實(shí)的情境中看出數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志. 學(xué)生將來會(huì)遇到不同的挑戰(zhàn)，一些人需要學(xué)習(xí)或研究更多的數(shù)學(xué)，對(duì)他們而言，是否能夠數(shù)學(xué)地思考非常重要；一些人（他們是學(xué)生中的絕大多數(shù)）就業(yè)以后根本不需要解純粹的數(shù)學(xué)題（除了參加數(shù)學(xué)考試），對(duì)他們而言，數(shù)學(xué)是一種需要，但更多的或許是需要“數(shù)學(xué)地思考”. 因此，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”非常重要. 而《新課程標(biāo)準(zhǔn)》又強(qiáng)調(diào)：將問題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)思考的前提，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容. 事實(shí)也證明，只有通過“數(shù)學(xué)化”的途徑進(jìn)行數(shù)學(xué)的教與學(xué)，才能使學(xué)生真正獲得富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí)，并理解、應(yīng)用這些知識(shí). 因此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中主要從以下四個(gè)層面緊扣“數(shù)學(xué)化”，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”.

情景引入“數(shù)學(xué)化” —— 激發(fā)“數(shù)學(xué)地思考”

教育心理學(xué)的理論啟示我們，在課堂教學(xué)中，應(yīng)該充分運(yùn)用動(dòng)機(jī)原理，使學(xué)生的學(xué)習(xí)具有內(nèi)驅(qū)力，學(xué)習(xí)將會(huì)取得良好的效果. 激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)驅(qū)力的有效方法就是結(jié)合教學(xué)實(shí)際，恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突或讓學(xué)生置身于渴望解決問題的情境中.

案例1：北師大版七年級(jí)（上）“字母能表示什么”的問題情境——數(shù)青蛙.

①1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿，1聲“撲通”跳下水；

②2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿，2聲“撲通”跳下水；

③3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿，3聲“撲通”跳下水；

……

“誰能將這首歌繼續(xù)唱下去？里面隱含著怎樣的數(shù)量關(guān)系？” 學(xué)生都迫不及待地思考起來.

為了幫助學(xué)生探尋出兒歌中隱含的數(shù)量關(guān)系，指導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)有n只青蛙時(shí)，就有張嘴，只眼睛，?搖條腿， 聲“撲通”跳下水.

通過創(chuàng)設(shè)既符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，又以學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活為背景、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)情境（兒歌）和“數(shù)學(xué)化”地處理，不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考，不斷地更新思維，循序漸進(jìn)地去思索，試探出一個(gè)又一個(gè)的結(jié)論. 實(shí)踐證明，情景引入“數(shù)學(xué)化”，對(duì)激發(fā)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”是極有幫助的.

知識(shí)生成“數(shù)學(xué)化”—— 引導(dǎo)“數(shù)學(xué)地思考”

教學(xué)的目的不僅是讓學(xué)生獲取結(jié)論，更重要的是讓他們?cè)讷@得結(jié)論的同時(shí)，情操得到陶冶，智力得到開發(fā)，潛能得到發(fā)掘，能力得到培養(yǎng)，素質(zhì)得到提高，而學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)過程是教師無法代勞的. 引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)探索知識(shí)的形成過程，不僅可以激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的興趣，而且使學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)，同時(shí)加深對(duì)知識(shí)的理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性. 因此，筆者在教學(xué)中盡可能地向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程.

案例2：新人教版七年級(jí)（下）“多邊形內(nèi)角和”.

筆者引導(dǎo)學(xué)生把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題（圖①），學(xué)生從圖形所顯示的變化規(guī)律中較容易找出n邊形的內(nèi)角和. 但為了更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的能力，在圖①的基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生將探究結(jié)果整理為表格形式（表①），并從中觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生把對(duì)圖形規(guī)律的感性認(rèn)識(shí)通過數(shù)的規(guī)律性體現(xiàn)上升到理性認(rèn)識(shí)，歸納出n邊形的內(nèi)角和的公式.

圖①

表①

在這一活動(dòng)中，學(xué)生不但可以深刻地知道n邊形內(nèi)角和公式：（n－2）×180°的推導(dǎo)過程，而且經(jīng)歷了一次從未知到已知，從特殊歸納出一般的過程體驗(yàn). 事實(shí)證明，通過這樣“數(shù)學(xué)化”處理，不但讓學(xué)生明白這一結(jié)論的生成，而且在這樣學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的目的.

思維誘導(dǎo)“數(shù)學(xué)化” —— 促進(jìn)“數(shù)學(xué)地思考”

學(xué)生的思維發(fā)展是一個(gè)由低級(jí)到高級(jí)的漸進(jìn)過程，教師要善于搭建平臺(tái)，遵循“最近發(fā)展區(qū)”的原則，巧妙地設(shè)置坡度適中的階梯式問題，引領(lǐng)學(xué)生積極參與，讓學(xué)生沿著一個(gè)個(gè)臺(tái)階自然地登上解決問題的頂峰，使其思維和能力的發(fā)展?jié)u漸地提升到一個(gè)又一個(gè)的制高點(diǎn)，并切身感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣. 而“數(shù)學(xué)地思考”是培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、深刻性等優(yōu)秀品質(zhì)的有效途徑. 因此，進(jìn)行思維誘導(dǎo)“數(shù)學(xué)化”對(duì)促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”非常重要.

案例3：北師大版七年級(jí)（上）“字母能表示什么”例題（用火柴棒搭正方形）.

由于此例題是一個(gè)既具有一定趣味性又具有一定挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題，問題（1）（2）可以用實(shí)際操作完成，可不用“數(shù)學(xué)地思考”，問題（3）也可用實(shí)際操作完成但很有難度，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”，問題（4）只能用“數(shù)學(xué)地思考”才能解決問題. 因此，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作、填表把含有4個(gè)問題的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題（表②第一、二行），并讓學(xué)生思考以下三個(gè)問題：

（1）火柴棒根數(shù)與正方形個(gè)數(shù)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）搭100個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒？

（3）搭n個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒？

學(xué)生觀察、分析后發(fā)現(xiàn)：火柴棒根數(shù)是一系列不連續(xù)的數(shù)，當(dāng)正方形的個(gè)數(shù)每增加1時(shí)，所需的火柴棒的根數(shù)就相應(yīng)增加3，所以火柴棒根數(shù)可以改寫成表②第三行的形式. 再引導(dǎo)學(xué)生觀察第三行與第一行之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生可歸納出：搭100個(gè)這樣的正方形需要4+3×（100-1）=301根火柴棒. 最后，引導(dǎo)學(xué)生利用字母代替數(shù)的思想，把問題由特殊推廣到一般，建立數(shù)學(xué)模型，即搭n個(gè)正方形需要4+3（n-1）根火柴棒.

通過這樣的思維誘導(dǎo)，不但讓學(xué)生明白解決此類問題的思維方法，而且達(dá)到促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的目的.

方法提煉“數(shù)學(xué)化” —— 形成“數(shù)學(xué)地思考”

數(shù)學(xué)方法凌駕于數(shù)學(xué)解題技巧之上，起指導(dǎo)或策略性的作用，因此，教學(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象. 由于數(shù)學(xué)方法分散在各個(gè)不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)方法來解決，因此，教師的概括、分析就顯得十分重要. 在平時(shí)的教學(xué)中，教師還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、概括數(shù)學(xué)方法的能力，這樣才能把數(shù)學(xué)方法的教學(xué)落在實(shí)處，才能讓學(xué)生真正形成“數(shù)學(xué)地思考” .

案例4：九年級(jí)中考分類復(fù)習(xí)“圖形與變換”操作題：如圖②，陰影部分是由5個(gè)小正方形組成的一個(gè)直角圖形，請(qǐng)用兩種方法分別在圖②的其他方格內(nèi)涂黑二個(gè)小正方形，使涂色部分成為軸對(duì)稱圖形.

對(duì)學(xué)生來講，這是一個(gè)不難的操作題，采用直覺思維就較容易地設(shè)計(jì)出兩種方案. 但若教師進(jìn)一步提出：你能用兩種以上的方法解決嗎？你是怎么想出來的？學(xué)生未必能說出，更不用說用“數(shù)學(xué)化”的觀點(diǎn)提煉出具體的解決方法.

基于此，筆者從3個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生思考并得出：（1）把這個(gè)圖形填涂成軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵在于找出合適的對(duì)稱軸；（2）把這個(gè)直角圖形拓寬為一個(gè)正方形，再根據(jù)正方形的對(duì)稱軸有如圖③所示共4條，再進(jìn)行思考；（3）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，經(jīng)分類討論后，共有如圖④、圖⑤、圖⑥、圖⑦所示的四種正確的填涂方法.

通過這樣深入地剖析，提煉出數(shù)學(xué)方法，不但達(dá)到了讓學(xué)生真正掌握解決問題的方法這一目的，而且達(dá)到了形成“數(shù)學(xué)地思考”的目的.

以上只是筆者緊扣“數(shù)學(xué)化”，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的一些看法，若有不妥之處，懇請(qǐng)同行不吝賜教并指正. 筆者知道這是一件任重而道遠(yuǎn)的事情，需要我們不斷思考、創(chuàng)新，相互交流，共同進(jìn)步.