摘 要： 數(shù)學“變式”練習是為了讓學生更加準確地掌握數(shù)學解題方法而采取的變換方式。在數(shù)學教學中進行數(shù)學“變式”練習主要有三個方面的意義：幫助學生多角度地理解數(shù)學方法、充當化歸的臺階和用于構建經(jīng)驗系統(tǒng)。數(shù)學“變式”練習的途徑包括數(shù)學方法的載體即題目的變式、數(shù)學方法使用范圍的變式以及數(shù)學方法本身的變式。

關鍵詞： 變式 意義 途徑

所謂變式教學是指在教學中使學生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。目的在于使學生了解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對一事物形成科學概念。而本文所講的變式指的是數(shù)學解題方法的變式，是為了讓學生更加準確地掌握數(shù)學解題方法而采取的變換方式。

一、在數(shù)學教學中進行“變式”練習的意義

（一）“變式”練習幫助學生多角度地理解數(shù)學方法

在課堂教學中，學生通過同一個問題做著不同的事情(比如一題多變或一題多解)，多角度地理解數(shù)學方法。將直觀問題抽象化，具體問題一般化，盡量排除背景干擾，凸顯數(shù)學方法的本質(zhì)屬性和明晰外延等。這樣，通過變式教學有利于學生真正理解數(shù)學方法的本質(zhì)屬性。比如在求完y= 的定義域后，給出這樣的引申題：已知函數(shù)f(x)的定義域為［0，+∞），求函數(shù)f(x -1)的定義域。從具體到一般，更加突出了求函數(shù)定義域的本質(zhì)。如果學生能解決這些問題，說明他們是真正理解了所學的知識，而且這個新知識已經(jīng)納入到他們已有的知識結構中去了。這樣，通過變式可以促進學生的有意義學習，從而擺脫一味的被動灌輸。

（二）“變式”練習充當化歸的臺階

數(shù)學解題的一個基本思路是將未知的問題化歸為已知的問題，將復雜的問題化歸為簡單的問題。但由于未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間往往沒有明顯聯(lián)系，所以需要設置一些變式在兩者之間進行適當鋪墊，作為化歸的臺階。

另外探究問題需要有合適的潛在距離，對同一問題來說，潛在距離的大小能影響探究活動的難易程度。當兩者的潛在距離較小時，適宜于學生的理解和掌握；當兩者的潛在距離較大時，雖然有利于激發(fā)學生的探索能力，但由于難度較大探究失敗的可能性也較大。對一道已知（簡單）題進行“變式”練習實際上就是向各個角度伸出了探索的路，從而也就縮短了未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間的潛在距離。

（三）“變式”練習用于構建經(jīng)驗系統(tǒng)

現(xiàn)代認知心理學認為知識分為陳述性知識和程序性知識，如果要將陳述性知識轉化為解決問題的能力，則必須保證它們在充分變式條件下得到適當?shù)木毩?，以便于日后在新環(huán)境中應用。從這個角度講變式是在數(shù)學活動的教學中，增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性。每個數(shù)學活動過程通常都涉及一個或一系列的變式，所有這些變式就形成了一個有層次的經(jīng)驗系統(tǒng)，成為認知結構的一個重要組成部分。這樣的經(jīng)驗系統(tǒng)在學生將來探究新的問題時將提供策略性的指導，也就是說變式練習實際上就是將來問題解決的仿真模擬練習。

所以我們在平時的數(shù)學課堂教學中進行變式練習，就應該變換數(shù)學方法的非本質(zhì)特征，包括數(shù)學方法的載體即題目的變式、數(shù)學方法使用范圍的變式以及數(shù)學方法本身的變式。只有這樣才能讓學生更加理解哪些是數(shù)學方法的本質(zhì)特征，哪些是數(shù)學方法的非本質(zhì)特征，準確地理解數(shù)學方法。組織合理的變式教學，能促進學生有意義地主動學習，幫助學生構建良好的知識結構，進而發(fā)展他們靈活的問題解決能力。

二、在數(shù)學教學中進行“變式”練習的方法

（一）變題目形式

數(shù)學思想和方法必須以題目為載體，但題目的形式并不一定是數(shù)學思想和方法本身的要求。所以，我們必須變換題目形式，避免學生形成題目形式上的思維定勢。通常的變式方法有增加條件形成復合題，減少條件形成開放題，條件與結論互換形成逆向求解題等等。

例如，求一已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是一種數(shù)學基本問題。但題目：已知函數(shù)y=log (2-ax)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍。由于逆向出題，雖然求解方法與正向題的方法一致，但思維難度無形中增大了，對學生而言就起到加強理解解法的效果。

(二)變應用范圍

每一種數(shù)學方法都有應用范圍，這是不言而喻的。但有些“應用范圍”是我們在講題時由于選題不夠妥當，過于限制于一個范圍之內(nèi)，也就是加入了數(shù)學方法的非本質(zhì)特征，使得學生對數(shù)學方法的使用形成了誤解。所以，我們要通過變應用范圍，來打破這種思維障礙。

例如，求軌跡題一般是解析幾何中的問題。但題目條件的呈現(xiàn)可以是多方面的，并不應僅僅是局限于解析幾何之中，比如我們可以出這樣的題目來打破思維定勢：已知正方體ABCD—A B C D 中，點P為平面BCC B 上一點，且它到直線C D 的距離與它到平面ABCD的距離相等，則點P的軌跡為?搖?搖?搖?搖（此題可考慮出成選擇題）。像這樣，立幾與解幾，抽象與形象，數(shù)與形等等都可以相互溝通。

（三）變方法自身

數(shù)學概念與方法自身有呈現(xiàn)形式與使用范圍，我們也應注意對數(shù)學概念與方法的呈現(xiàn)形式力求豐富，否則容易讓學生形成誤區(qū)，干擾對數(shù)學概念與方法的準確理解。

比如用描述法表示集合時，集合中的代表元素我們通常用x表示數(shù)，用(x，y)來表示點。但這僅僅是習慣而已，并不是規(guī)定。所以，2007年江蘇高考試卷的第10題就針對這個問題出了一道選擇題：在平面直角坐標系，已知平面區(qū)域A={（x，y)|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B={（x+y，x-y)|x，y∈A}的面積為?搖 ?搖?搖?搖。這就提醒我們在平時的教學中要注意概念的呈現(xiàn)不能僵化，要有適當?shù)摹叭彳浂取薄?/p>

另外，我們還應對數(shù)學方法本身進行深入探究。比如說數(shù)學方法的使用有其限制條件，而這一點學生通常不太注意。例如數(shù)學中常用的“換元法”對元的范圍就有考慮，不能隨意換元。例如求函數(shù)y=sinx- 的單調(diào)增區(qū)間與求函數(shù)y=sin -x的單調(diào)增區(qū)間的解法就不盡相同。更為巧妙的是2006年重慶高考題解答題第21題的條件：已知定義域為R的函數(shù)滿足f［f(x)-x +x］=f(x)-x +x。這一條件若用換元法令f(x)-x +x=t，則有f(t)=t，就會與另一條件f(2)=3矛盾。而實際上換元法應注意元的范圍，這一題就針對這一點進行了巧妙的編擬。

總之，對于數(shù)學方法的變式主要目的是對一個成形的數(shù)學方法進行多角度的理解，但實際上也為數(shù)學方法的建構提供了一個有層次推進的過程。由于未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間往往沒有明顯聯(lián)系，所以這些變式客觀上在兩者之間進行了適當?shù)匿亯|，可以作為化歸的臺階。這一些都將幫助學生構建經(jīng)驗系統(tǒng)，實現(xiàn)真正有意義的學習。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>