【摘 要】在解題中，學(xué)生往往缺乏正確解題的思維意識，抓不住問題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性，以至于解題生搬硬套，甚至束手無策。數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化意識就是從觀察數(shù)學(xué)題本身入手，發(fā)現(xiàn)它的組成部分的特征和各種關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化各種知識經(jīng)驗，把問題化歸為熟悉的問題或想出新的方法，從而確定解題策略，關(guān)鍵就是恰當(dāng)?shù)刈儞Q問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 解題計劃 過程分析

在解題中，學(xué)生往往缺乏正確解題的思維意識，抓不住問題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性，以至于解題生搬硬套，甚至束手無策。如何恰當(dāng)?shù)刈儞Q問題乃是探求問題解決思路中的中心環(huán)節(jié)。所謂恰當(dāng)?shù)刈儞Q問題是指通過實行變換使得到的新問題較易解決，最終達到解決原問題的目的。其基本思想是:把甲問題的求解，轉(zhuǎn)化為乙問題的求解，再通過乙問題的求解返還去獲得甲問題的求解。從而，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題;把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題;把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。它的最終目的是化難為易、化繁為簡，以達到解題目的。

一、數(shù)學(xué)解題應(yīng)遵循的幾個原則

解數(shù)學(xué)題，實質(zhì)上就是應(yīng)用數(shù)學(xué)中各種思維方法與知識，對問題作出一系列恰當(dāng)?shù)?、巧妙的轉(zhuǎn)換。這種轉(zhuǎn)換，要由具體問題決定，可變換題目的條件，導(dǎo)出目標(biāo)；也可變換題目的目標(biāo)，逆向追溯題設(shè)條件；也可同時變換題目的條件和目標(biāo)，在變換中求得一致，得到解決。在轉(zhuǎn)化方向上，我們總是遵循一些原則，如簡單化原則、熟悉化原則、同一化原則、模式化原則等。自覺地遵循這些原則，能使我們更好地把解題方向，少走彎路，更快地打開解題思路。

1.簡單化原則

所謂簡單，就是把比較復(fù)雜的問題，通過變換，變成比較簡單的問題，把解決復(fù)雜問題歸結(jié)為解決簡單的問題，或通過問題的簡單化，獲得解決復(fù)雜問題的思路。

2.熟悉化原則

在解題中，我們常常碰到非常陌生的問題，與所學(xué)的知識很難聯(lián)系，無從插手，在這種情況下，我們就要考慮能否將此問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的、會解的問題，通過熟悉問題的解決，得到原問題的解決。

3.同一化原則

在解題中，常常需要減少不同元素，縮短條件和目標(biāo)的距離，從而探索解題思路，這就是轉(zhuǎn)換的同一化原則。在解題中，將元素統(tǒng)一，將條件和目標(biāo)統(tǒng)一，將新問題和會解的問題統(tǒng)一，是更重要的解題思考方法。

4.模式化原則

在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和運用過程中，對知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想逐漸形成數(shù)學(xué)模式。利用已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模式，不斷去認識新事物，解決新問題，反過來又會不斷豐富、完善以至改變原有的數(shù)學(xué)模式，一個人的解題思路是否開闊，在很大程度上取決于這個人建立數(shù)學(xué)模式的多少和運用數(shù)學(xué)模式的熟練程度。很多習(xí)題，只要仔細觀察，認真分析題型結(jié)構(gòu)，或只須稍加變換，便可把它納入到某個統(tǒng)一的模式，思路明朗化，問題得到解決。

二、數(shù)學(xué)解題的一般方法

1.審題

審題就是要充分理解題意，并用數(shù)學(xué)語言將其表述出來，對問題進行深入的剖析，將問題置于某一具體背景之下。包括以下幾個方面

(1)審清條件：明顯得條件；隱含的條件；可能時將條件圖表化；在可能的情況下將條件轉(zhuǎn)化；弄清楚問題的等價敘述。

(2)審清結(jié)論：羅列出解題的目標(biāo)；將結(jié)論圖表化；注意等價說法；分析多目標(biāo)化的層次關(guān)系。

(3)審清題目結(jié)構(gòu)：弄清條件和結(jié)論聯(lián)系的方式，圖、表、數(shù)、式的結(jié)構(gòu)特征；盡可能直觀化，弄清結(jié)構(gòu)，判明題型；推敲條件和結(jié)論的聯(lián)系，能否作不同的理解。

2.擬定解題計劃

波利亞說過：“解題學(xué)習(xí)過程，也是積蓄力量的過程。”首先應(yīng)該將問題一般化或者簡單化，在制定解題計劃時，要做到“三想”—回想、聯(lián)想、猜想。

(1)回想:是一般到特殊的演繹推理，即“似曾相似燕歸來”。

(2)聯(lián)想:有接近、相似、關(guān)系、對比等聯(lián)想，為類比推理。

(3)猜想:由特殊到一般，是一種歸納推理。

3.實現(xiàn)計劃

實現(xiàn)計劃就是解題過程，用相關(guān)知識推寫出所需的結(jié)果，對于信息的提取決定于對信息內(nèi)涵的理解。數(shù)學(xué)語言表述的好壞是非常重要的，要簡潔明了、層次分明、嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范。

4.回顧與反思

(1)檢查有無遺漏，圖形是否規(guī)范，條件是否用足。

(2)查一查“理”，公式、法則、定理等是否用對，推理是否有據(jù)。

(3)查一查“算”，運算是否準(zhǔn)確，式子的書寫是否合乎要求。

(4)查一查解答是否完整，有無錯誤，是否有更多更優(yōu)的解法，能否將問題推廣、深化。

例如：在等腰ΔABC中，∠A=90°，AD=1，E為AC的中點，EF⊥BF交BC于F，求SΔCEF？

此題的解法特別多，哪一種解法更優(yōu)？

四、解題過程分析

數(shù)學(xué)題就題型而言有三種：標(biāo)準(zhǔn)題、變式題、探求性的題。

1．標(biāo)準(zhǔn)題：條件、結(jié)論、法則解題途徑和方法都是已知的。主要是模仿和記憶，通過學(xué)習(xí)，可由生而熟，在模仿運用中逐步形成技能，解標(biāo)準(zhǔn)題是必要的。解標(biāo)準(zhǔn)題的特點是：在典型知識和范例的暗示下，可以根據(jù)典型例題提供的程序來解，且往往是重復(fù)的思維動作，稍有不慎，就可能出錯。

例1:把一個直徑為10的金屬球熔化后能做成多少個直徑為5的小球？

分析：體積比等于直徑的立方比，故能做8個。

例2:求函數(shù)的值域？

分析：此題最易于用判別式求，則出錯，應(yīng)用一元二次方程根的分布求解。

2.解變式題：變式題的含量非常廣泛，是由對基本知識的學(xué)習(xí)，向探求問題的轉(zhuǎn)化過程，是對標(biāo)準(zhǔn)題形式的變換。由標(biāo)準(zhǔn)題轉(zhuǎn)化為變式題的方法有：改變問題的表述方式；隱藏題中的一些條件。

例3：解方程363 x2＋77 x－40＝0

分析：因為363、77能被121、11整除，故令y =11 x ，原方程化為3 y2＋7 y－40＝0，問題簡單化了。

解變式題要充分注意可利用的信息，經(jīng)常探索與此類問題相吻合的模型。

3.解探求題:解探求題的基礎(chǔ)是對問題有清楚地理解。

例6：自然數(shù)n可以用多少種不同的方式表成m個自然數(shù)之和（有順序）?

分析：由題意可知n≥m

①當(dāng)n=m時，只有一種表示方法 n＝1＋1＋……＋1

②當(dāng) n>m時，如 n =5 ，m =3

5=1+1＋3＝1＋3＋1＝3＋1＋1＝1＋2＋2=2＋1＋2=2＋2＋1

但從另一角度想：

5＝1＋1＋1＋1＋1，其中有四個運算符“＋”，取兩個運算符有C24種，故n＝1＋1＋……＋1，有n－1個運算符，每次取m－1個即可，共有Cm-1n-1種不同的表示方式。

總之，數(shù)學(xué)問題的求解都是運用已知條件對問題進行一連串恰當(dāng)轉(zhuǎn)化歸結(jié)，進而達到解決數(shù)學(xué)問題的一個探索過程，熟練、恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以迅速、準(zhǔn)確地解決問題。靈活的轉(zhuǎn)化可以出方法、出速度。而數(shù)學(xué)問題中運用化歸思想解題的例子比比皆是，平時教學(xué)中，經(jīng)常地進行解題思想和方法的教學(xué)，針對不同的問題，縝密思考，及時總結(jié)各種“轉(zhuǎn)化歸結(jié)”方法，學(xué)生解題能力及靈活性就會逐步地得到提高。

(作者單位：重慶市黔江中學(xué)校）