[摘要]所謂逆向思維就是不按習(xí)慣思維方向，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。解題時(shí)，順推不行時(shí)考慮從其反面來間接解決，探討可能性發(fā)生困難時(shí)轉(zhuǎn)換為探討不可能性。總之，當(dāng)我們反復(fù)思考某個(gè)問題陷入困難時(shí)，逆向思維會使人頓開茅塞，絕境逢生。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 逆向思維 可逆性

一、運(yùn)用反證法歸謬進(jìn)行逆向思維

例1.已知函數(shù)f(x)=2x2+mx+n，求證｜f(1)｜、 ｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個(gè)不小于1.

分析：正面求證困難，我們采取反證法，假設(shè)命題不成立，即 ｜f(1)｜、 ｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于1，則

由(1)＋(3)得－11<2m+n<－9與(2)矛盾，所以假設(shè)不成立，即 ｜f(1)｜、 ｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個(gè)不小于1.

評注：反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精銳的武器之一”，它也是中學(xué)生解數(shù)學(xué)題的常用方法。當(dāng)要證明的結(jié)論中有“至少”等字樣，或以“否定”形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。

例2.若p3+q3=2，其中p.q∈R，求證p+q≤2.

分析：同例1，正面入手困難，考慮用反證法。

假設(shè)p+q>2，則p3+q3>p3+(2-p)3=6(p-1)2+2≥2，這與p3+q3=2矛盾，∴p+q≤2。

二、運(yùn)用補(bǔ)集思想進(jìn)行逆向思維

1.求二項(xiàng)式（ 153x－y）15展開式中所有無理系數(shù)之和。

分析：本題若正面求解，必須用二項(xiàng)式定理展開，先找出所有無理系數(shù)，再求其和，這顯然十分麻煩，可試著從反面思考。

由通項(xiàng)Tr+1=Cr15315-r15x15-r(-y)r，知該二項(xiàng)式的展開式中所有有理系數(shù)的項(xiàng)只有兩項(xiàng)：

T1=(153x)15=3x15和 T16=(-y)15=-y15，其系數(shù)之和為3+(-1)=2.

又在二項(xiàng)式（ 153x－y）15中，令x=y=1，可得展開式中所有各項(xiàng)的系數(shù)之和為（ 153－1）15.故二項(xiàng)式（ 153－y）15展開式中所有無理系數(shù)之和為（153－1）15－2.

評注：若把二項(xiàng)展開式中所有系數(shù)設(shè)為全集，則展開式中無理系數(shù)與有理系數(shù)互為補(bǔ)集，利用補(bǔ)集思想逆向思維使本題得以解決。

例2.若函數(shù)f(x)=(m-2)x2-4mx+(2m-6)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中至少有一個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析 “至少有一個(gè)在x軸的負(fù)半軸上”包含兩種情形，其否定情形“兩個(gè)都不在x軸的負(fù)半軸上”則較簡明。

假設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)都不在x軸負(fù)半軸上，由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系有

注意到全集I=.故m的取值范圍為(1，2)∪(2，3).

三、運(yùn)用可逆原理進(jìn)行逆向思維

例1.求值tan23°+tan37°+ 3tan23°tan37°

解：原式 = tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+ 3tan23°tan37°

=3-3tan23°tan37°+ 3tan23°tan37°=3

評注：這里利用公式的可逆性，直接逆用公式使問題很快得到解決。

例2.某地區(qū)為促進(jìn)淡水養(yǎng)殖業(yè)發(fā)展，把價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對淡水養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼。設(shè)淡水魚市場價(jià)x元/公斤，政府補(bǔ)貼t元/公斤，據(jù)市場調(diào)查，在8≤x≤14時(shí)，淡水魚的日供應(yīng)量P千克與需求量Q千克近似地有：

P=1000(x+t-8)(x≥8，t≥0)，Q=500[40-(x-8)2]12(8≤x≤14).稱P=Q時(shí)淡水魚價(jià)為市場平衡價(jià)格。

（1）把市場平衡價(jià)格表示為政府部補(bǔ)貼的函數(shù)，并求此函數(shù)的定義域。

（2）為使市場平衡價(jià)格不高于10元/公斤，政府補(bǔ)貼每公斤至少多少元？

分析：由P=Q，有1000（x+t-8)=500[40-(x-8)2] 12（*）可解得，由于x≥8，t≥0，所以函數(shù)表示式為.欲求函數(shù)的定義域，按常規(guī)思路應(yīng)由8≤x≤14，即由解出t的范圍，這顯然很繁瑣。

事實(shí)上，對于嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，如果給出了值域，利用單調(diào)性就可以求出定義域，而函數(shù)在t∈［0，52］上是單調(diào)減函數(shù)，故當(dāng)x=8時(shí)，t應(yīng)有最大值，將x=8直接代入等式（*），可方便地求出t=10，而t的最小值顯然為0，故函數(shù)的定義域?yàn)閠10。

對于（2），有8≤x≤10，同理，當(dāng)x=10時(shí)，t最小，將x-10代入（*），可求得t=1，故政府補(bǔ)貼每公斤至少1元。

評注：本例利用嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的定義域與值域關(guān)系的可逆性得以解決，其思維的確與常規(guī)思維相反，這是我們平時(shí)不太注意的，應(yīng)學(xué)會運(yùn)用。

總之，在數(shù)學(xué)解題過程中，運(yùn)用逆向思維可以起到事半功倍的效果，上述舉例說明，只是運(yùn)用逆向思維解題方法之冰山一角，還需要我們深入地去探討、挖掘，讓這一解決數(shù)學(xué)問題的銳利武器發(fā)揮最大的作用。

（作者單位：甘肅靖遠(yuǎn)一中）