[摘要]:本文通過(guò)具體的試題，詳細(xì)的闡述了三角板在數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用，希望借助這一類(lèi)題目的解決來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。

[關(guān)鍵詞]:數(shù)學(xué)試題 三角板 應(yīng)用

隨著新課程改革的深入實(shí)施，“提供新材料、創(chuàng)設(shè)新情境、提出新問(wèn)題”已成為近幾年中考數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)的新特點(diǎn)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：學(xué)生學(xué)習(xí)要從自身已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、勤于動(dòng)手、樂(lè)于探究。要有一個(gè)“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索、猜想、證明”的過(guò)程，要讓學(xué)生參與到知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中，從而激發(fā)學(xué)生探求新知識(shí)的愿望，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的策略和方法。而運(yùn)用三角板進(jìn)行命題，正好能恰到好處的達(dá)到這個(gè)目的。因而，近幾年在全國(guó)各地的中考試題中，三角板已備受青睞。

試題1：（蘇科版8下改編）如圖∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分線。

（1）將三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊垂直相交于點(diǎn)E、F，如圖1，比較PE、P F的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論？

（2）將三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊所在直線相交于點(diǎn)E、F，如圖2、3、4、5、6，（1）中結(jié)論是否還成立？（其證明方法除下面分析中介紹的外，也可以利用圖5、6的結(jié)論。在圖4、5中也可以過(guò)P作PD⊥PF交OA于D，通過(guò)構(gòu)造等腰直角三角形△POD，再證明三角形△PDE與△POF全等）。

分析：先從特殊位置入手猜想問(wèn)題的可能結(jié)果，再在一般位置中進(jìn)行推理驗(yàn)證，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法。圖1從特殊位置入手，借助于角平分線的性質(zhì)定理，學(xué)生很容易直觀得出：PE=PF，在圖2、3、4中只要想法構(gòu)造出圖1的基本圖形，問(wèn)題就好解決，故過(guò)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，易得PN=PM，再證△PNE≌△PMF，即可得PE=PF。

在圖5、6中可知，△PEF（△POE、△POF重合為一個(gè)）為等腰直角三角形，故PE=PF。

變式一：不給出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的圖形，讓學(xué)生自己去畫(huà)圖形，將會(huì)更有探索性，更能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

由這道題又可衍生出許多的中考題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

變式二：（06年黑龍江中考題）

（1）當(dāng)PE與OA垂直時(shí)，OE、OF與OP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）將三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到當(dāng)PE與OA不垂直時(shí)，如圖2、3、4、5、6，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OE、OF與OP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解析：在圖1中，由試題1的證明可知四邊形OFPE（OMPN）是正方形，所以，OE+OF= 22O P+ 22OP=2OP；在圖2、3、4中，仿照試題1易證△PNE≌△PMF，可得NE=MF，由圖1可知：ON+OM=2OP，故圖2中，OE+OF=ON－NE+OM+MF=ON+OM=2OP；圖3中，ON+OM=NE－OE+OF－MF=OF－OE=2OP，故OF－OE=2OP；在圖4中，ON+OM=OE－NE+MF－OF=OE－OF=2OP，故OE－OF=2OP。

在圖5、圖6中可知，OE=0或OF=0，故2OP2=OE2（或OF2），即OE+OF=2OP。

變式三：若OP的長(zhǎng)度為a，則△POE，△POF的面積與a有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

變式四:(08徐州市中考題)

如圖1，一副直角三角板滿足：AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF= 90°，∠EDF=30°。

操作：將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC交于點(diǎn)Q。

探究一：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)CE:EA=1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；如圖3，當(dāng)CE:EA=2時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出理由；根據(jù)你對(duì)（1）（2）的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)CE:EA=m時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為，其中m的取值范圍是（直接寫(xiě)結(jié)果，不必證明）；

解析：?jiǎn)栴}1，根據(jù)試題1的經(jīng)驗(yàn)，在圖2中作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，連接BE，由已知條件易得EM=EN。

（1）如果點(diǎn)M和點(diǎn)P重合，顯然EP=EQ；

（2）如果點(diǎn)M和點(diǎn)P不重合，則有∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN。所以，Rt△EMP≌Rt△ENQ，得EP=EQ，綜上可得：EP=EQ。

問(wèn)題2，在圖3中作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，易得△AME∽△ABC，所以，EM:BC=AE:AC=1:3，EN:AB=2:3，且AB=BC，所以EM:EN=1:2，如果點(diǎn)M和點(diǎn)P重合，顯然EP:EQ=EM:EN=1:2；如果點(diǎn)M和點(diǎn)P不重合，Rt△EMP∽R(shí)t△ENQ， EP:EQ=EM:EN=1:2。綜上：EP:EQ=1:2。

問(wèn)題3，由上述問(wèn)題1，2的結(jié)論，我們很容易得EP:EQ=1:m，考慮點(diǎn)E在AC上的特殊情況，能得出m的范圍是0﹤m≦2+6。

簡(jiǎn)評(píng)：以上幾道題實(shí)則是一道題目從不同的角度進(jìn)行考察，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中只要善于觀察，多動(dòng)腦想想，多動(dòng)手畫(huà)畫(huà)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多問(wèn)題之間都存在著一定的聯(lián)系。這些題充分體現(xiàn)了“一題多變”和“一題多解”的特點(diǎn)，使學(xué)生在經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索、猜想、證明的過(guò)程中，通過(guò)變與不變的分析，既能提高學(xué)生分析、判斷、解決問(wèn)題的能力，又培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新的能力。這類(lèi)題目的特點(diǎn)都是由學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、歸納、探索等手段，從題目提供的材料中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取相關(guān)的解題信息，從而解決問(wèn)題。解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是是構(gòu)造“全等三角形”或“正方形”或“等腰直角三角形”。

以上各例均是把三角尺的直角頂點(diǎn)放在∠AOB的平分線上（或斜邊的中點(diǎn)或斜邊上），并繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若繞斜邊中點(diǎn)去旋轉(zhuǎn)，則有如下情況。

試題2：（06河北中考題）

如圖1，等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD的中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。

（1）如圖2，當(dāng)EF與AB相交與點(diǎn)M，GF與BD相交與點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BM、FN的長(zhǎng)度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：（1）BM=FN。由圖1可知，BO=FO，∠F=∠ABD =45°，又∠FON=∠BOM，所以△FON≌△BOM，則BM=FN。

（2）成立。由圖1可知，BO=FO ，∠GFE=∠ABD =45°，所以∠OFN=∠OBM，又∠FON=∠BOM，所以△FON≌△BOM，所以BM=FN。

總評(píng)：以上各題從不同的角度充分考查了學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的能力。它們都是以我們熟悉的一些簡(jiǎn)單的、動(dòng)態(tài)的圖形為背景，讓學(xué)生通過(guò)親自旋轉(zhuǎn)三角尺，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等活動(dòng)探討圖形運(yùn)動(dòng)中的變量與不變量。通過(guò)對(duì)變與不變的分析，對(duì)自己的猜想進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明，能較好的考察學(xué)生對(duì)幾何圖形的把握水平；更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)；更能有效的體現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的精神：要培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、類(lèi)比、歸納等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊裕前.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)八年級(jí)（下冊(cè)）.江蘇科技出版社.

[2]2006年黑龍江省中考試卷和河北省中考試卷.

[3]2008年江蘇省徐州市中考試卷.

(作者單位：江蘇徐州高級(jí)中學(xué)）