文章編號：1672-5913(2008)10-0052-03

摘要：本文討論了如何面對計(jì)算機(jī)專業(yè)的研究生，將科研意識和創(chuàng)新思維融入到“DCT編碼技術(shù)”的教學(xué)實(shí)踐中，使學(xué)生充分領(lǐng)會DCT變換編碼技術(shù)的理論，并能運(yùn)用所學(xué)，創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞：DCT變換；數(shù)據(jù)壓縮；創(chuàng)新思維

中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

1 引言

變換域編碼是目前使用最廣泛的多媒體編碼技術(shù)，幾乎所有的圖像和視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)均以變換編碼為重要工具。DCT(Discrete Cosine Transform)變換編碼因具有優(yōu)良的壓縮特性，包含了該課程描述問題和求解問題的基本方法和技術(shù)，是“多媒體技術(shù)”教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)。

DCT變換編碼技術(shù)采用完全形式化的抽象數(shù)學(xué)模型描述，有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)和邏輯演繹過程，對于圖像和視頻，這種形式化的模型有其明確的含義，但是描述的“超現(xiàn)實(shí)性”與具體的圖像對象之間的關(guān)聯(lián)使學(xué)生在心理上產(chǎn)生了一定的障礙。只有克服形式化帶來的困難，才能獲得更好的教學(xué)效果。

為此，針對DCT變換編碼理論和技術(shù)自身的特點(diǎn)，結(jié)合研究生的抽象思維能力和知識基礎(chǔ)，我們確定教學(xué)目標(biāo)，瞄準(zhǔn)目標(biāo)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，將理論和實(shí)踐相結(jié)合，以充分體現(xiàn)學(xué)科理工結(jié)合、科學(xué)性與工程性并重、理論與實(shí)踐并舉的教學(xué)基本要求，如圖1所示。

2 理性教育培養(yǎng)學(xué)生的科研意識和素養(yǎng)

研究生自我意識較強(qiáng)，創(chuàng)造思維活動(dòng)處于活躍時(shí)期，有一定的知識積累和一定的能力水平，已經(jīng)具備了從事艱巨的抽象思維活動(dòng)的能力。根據(jù)這一特點(diǎn)，課堂首先展示DCT編碼技術(shù)產(chǎn)生的歷史背景，引入該項(xiàng)技術(shù)的最新動(dòng)態(tài)，使學(xué)生從整體上把握這項(xiàng)技術(shù)。在內(nèi)容上突出變換編碼的基本原理和二維可分離變量的變換這些難點(diǎn)以及DCT變換這一重點(diǎn)，以變換編碼的基本原理reg;二維可分離變量的變換reg;DCT變換的順序，通過知識的傳授，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力。

圖1 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)

2.1變換編碼的基本原理

在實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難理解分辨率為N×N的圖像的正交變換的本質(zhì)，為了增加正交變換的教學(xué)直觀性，我們借助直觀的形象，將抽象的概念和原理引入。首先用圖2將分辨率為2×2的圖像正交變換的直觀物理意義展示出來，讓學(xué)生領(lǐng)會變換如何去除圖像的相關(guān)性的道理，通過2×2變換的直觀形象的幾何意義，提升學(xué)生的想象和聯(lián)想能力，通過啟發(fā)提問，讓學(xué)生將2×2的情形推廣到N×N的情形。

圖2 正交變換示意圖

通過圖2所示的2×2情形的講述，學(xué)生借助已有的知識，不難得到如下結(jié)論：正交變換可以將信號的能量集中在少數(shù)變換系數(shù)上，使信號以緊湊的方式表達(dá)。再讓學(xué)生結(jié)合以往學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)量化和熵編碼技術(shù)所獲得的經(jīng)驗(yàn)，分析信號的這種緊湊表示的優(yōu)點(diǎn)，這樣就使得問題變得很容易理解：采用符合人的視覺系統(tǒng)特征的標(biāo)量量化方式，大多數(shù)高頻系數(shù)在量化后會很小或者為零，非零系數(shù)大部分分布在低頻區(qū)，量化后的變換系數(shù)矩陣是一個(gè)稀疏矩陣，選擇適當(dāng)?shù)膾呙璺绞胶挽鼐幋a可以得到高壓縮性能。

眾所周知，正交變換的種類很多，學(xué)生通常會產(chǎn)生這樣“去相關(guān)性能力最強(qiáng)的正交變化是什么”的疑問。教師也可以給一定的引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠沿著這個(gè)思路走下去。此時(shí)分析Hadamard Transform， Haar Transform， Slant Transform， KLT(Karhunen—Loeve Transform)和DCT變換等常用的正交變換，最后得出結(jié)論：KLT變換是最佳變換，在實(shí)際中經(jīng)常采用DCT變換，特別是引出DCT變換具有可分離變量的特征。

隨著問題一個(gè)個(gè)的出現(xiàn)，又一個(gè)個(gè)地被解決，接著新的問題又一個(gè)個(gè)的被提出，將課堂變成師生進(jìn)行研究的場所，學(xué)生就不會僅僅看到形式化和抽象，而看到的是形式化和抽象表示的表示的內(nèi)涵，體驗(yàn)這種表示的“美”，看到一個(gè)更廣闊、更豐富的世界。學(xué)生在這里不僅學(xué)到知識，還學(xué)到了大師們的思維方式，體驗(yàn)科學(xué)研究的樂趣。

2.2二維可分離變量的變換

為了讓學(xué)生深刻體會DCT變換的數(shù)學(xué)表示，我們從一維正交變換到二維可分離變量變換講述變換的數(shù)學(xué)表達(dá)方式：

從泛函分析理論出發(fā)，可以將連續(xù)的一維信號(如語音)看作某個(gè)一維函數(shù)空間的一個(gè)函數(shù)，該信號可以用該空間基函數(shù)的線性組合形式表示，該信號在基函數(shù)下的投影就是線性組合系數(shù)，當(dāng)基函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正交時(shí)，離散的基函數(shù)就構(gòu)成了線性向量空間的正交矩陣，該正交矩陣所對應(yīng)的變換就是正交變換。

同理，二維信號(如圖像)也可以視為二維函數(shù)空間的一個(gè)函數(shù)，該信號可分解為該空間對應(yīng)的二維基函數(shù)的線性組合形式，為了便于圖像壓縮，通常選擇二維可分離變量的變換，即二維的基函數(shù)是可分的，這樣我們就可以按照一維的方式對圖像的列和行分別進(jìn)行變換，從而大大地降低了運(yùn)算的復(fù)雜度。

首先給出針對一維信號給出正交變換的表達(dá)方式，然后針對二維圖像信號，按照列和行分別進(jìn)行一維正交變換，可以得到二維可分離變量變換的表達(dá)式： ， 是一個(gè) 圖像， 是圖像 二維變換的結(jié)果，為了進(jìn)一步剖析可分離變量變換的基函數(shù)的本質(zhì)，可以推導(dǎo)出上述變換的等價(jià)形式：

其中 是T的列向量， 是 的行向量， 就是二維可分離變量的基函數(shù)，圖像信號可由基函數(shù)的線性組合形式表示， 就是組合系數(shù)。 所對應(yīng)的圖像被定義為該變換的的基圖像。

2.3DCT變換

余弦變換是傅里葉變換的一種特殊形式，對于實(shí)值偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，再將其離散化由此可導(dǎo)出離散余弦變換DCT。一維的DCT變換的基函數(shù)是：

對于圖像信號，二維DCT基函數(shù)是兩個(gè)一維的DCT基函數(shù)的張量積。二維DCT正變換和逆變換為：

DCT正變換和逆變換矩陣表示為：

圖3DCT變換的基圖像

取 ， ，可以得到 DCT變換的基圖像表達(dá)。在圖像或視頻編碼中，常常采用基于塊的DCT變換，將輸入圖像分割成N×N像素大小的塊(例如4×4，8×8和16×16)，為了加深學(xué)生對DCT變換的基圖像抽象表達(dá)的理解，我們將基圖像以直觀形象的方式表達(dá)出來，圖3(a)、圖3(b)分別給出了N＝4，N＝8的DCT變換的基圖像。

DCT變換矩陣A不會因圖像不同而改變，與KLT變換相比，DCT變換具有通用的變換矩陣，具有可分離特性，因此便于硬件實(shí)現(xiàn)，同時(shí)，在壓縮性能上又可與最小方差意義下最佳變換KLT變換媲美。

3 理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力

為了使學(xué)生更加深入的領(lǐng)會“DCT編碼技術(shù)”的精髓，實(shí)踐是不可缺少的重要環(huán)節(jié)，為實(shí)驗(yàn)教學(xué)的順利實(shí)施，我們首先要做一些實(shí)驗(yàn)之間的引導(dǎo)教學(xué)，我們以實(shí)例教學(xué)方式，圖文并茂，分析DCT編碼的理論的本質(zhì)與精髓。

圖4 DCT 正變換

如圖4所示，圖4(a)是一幅灰度圖，圖4(b)表示圖4(a)中白色邊框的圖像塊的像素灰度值，即圖4(b)是圖像塊的時(shí)域表示，圖4(c)是圖4(b)經(jīng)DCT變換的結(jié)果，即圖像塊的頻域表示，圖像塊可用4×4的DCT基圖像線性組合表示，其中組合系數(shù)就是圖4(c)中的16個(gè)系數(shù)。盡管正變換和逆變換數(shù)據(jù)的數(shù)量是沒有變，但變換后圖像塊的能量保持不變，并且圖像塊的能量集中在DC(Y00)和低頻部分，當(dāng)只保留DC系數(shù)時(shí)，其他系數(shù)均設(shè)為0，逆變換重構(gòu)圖像的每個(gè)像素值是原圖像塊的均值，重構(gòu)的圖像如圖5(a)所示，當(dāng)只保留兩個(gè)重要系數(shù)Y00和Y10，其他系數(shù)均設(shè)為0時(shí)，重構(gòu)結(jié)果為圖5(b)，圖5(c)和圖5(d)是保留3個(gè)重要系數(shù)和5個(gè)重要系數(shù)重構(gòu)的結(jié)果。圖5(a)到 圖5(d)，重構(gòu)的圖像塊越來越逼近原圖像塊。

通過上述內(nèi)容的討論，使同學(xué)們懂得：用量化的方法保留少量 DCT系數(shù)，在有損壓縮的條件下，能夠提高壓縮性能，同時(shí)變換與量化是密不可分的，變換是無損的，而量化是有損的，孤立地考慮編碼某一個(gè)環(huán)節(jié)是錯(cuò)誤的，只有統(tǒng)籌兼顧，將編碼器作為一個(gè)完整的系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)才是合理的，而在量化和后續(xù)的熵編碼的環(huán)節(jié)及算法的復(fù)雜性方面還有很多的創(chuàng)新空間。

圖5DCT逆變換重構(gòu)圖像

與之配套的實(shí)驗(yàn)是要求學(xué)生設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)基于DCT變換的簡單編碼器。具體內(nèi)容為：基于DCT變換的編碼器基本框架(如圖6)，借鑒圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG和H.264、MPEG-2和AVS等視頻編碼標(biāo)準(zhǔn)的幀內(nèi)預(yù)測技術(shù)，結(jié)合前面課程中所學(xué)習(xí)的熵編碼、量化等多媒體壓縮理論，合理設(shè)計(jì)變換、量化、系數(shù)的掃描方式及熵編碼各個(gè)密切聯(lián)系的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)一個(gè)初步的編碼器系統(tǒng)，最后以論文和原型系統(tǒng)的方式提交。通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，訓(xùn)練交流表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生對未知世界的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生樹立探索、研究、批判的精神。培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和創(chuàng)新的能力。具體方式是將學(xué)生分成5人一組，在教師指導(dǎo)下完成實(shí)驗(yàn)。

鼓勵(lì)學(xué)生提問、置疑，鼓勵(lì)學(xué)生批判現(xiàn)有的技術(shù)方案，特別注意理解學(xué)生提出幼稚和錯(cuò)誤技術(shù)方案的原因，幫助學(xué)生剖析技術(shù)方案存在的問題，將其引導(dǎo)到正確的研究思路上來，最終提出自己的創(chuàng)新技術(shù)，良好的師生互動(dòng)為能夠促進(jìn)“融教育于教學(xué)”和“教書育人”目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

實(shí)踐給學(xué)生提供了創(chuàng)新機(jī)會，同時(shí)恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和開放式的要求使他們有機(jī)會體驗(yàn)創(chuàng)新的樂趣。實(shí)踐中注重創(chuàng)新精神和學(xué)術(shù)規(guī)范，讓學(xué)生將實(shí)踐環(huán)節(jié)的內(nèi)容總結(jié)為一個(gè)原型系統(tǒng)和一篇論文，盡管原型系統(tǒng)是初步的、不完善的，論文質(zhì)量不一定達(dá)到發(fā)表的程度，但同學(xué)經(jīng)歷全過程，可使他們較深刻地理解知識的深層含義。

圖6基于DCT變換的編碼器基本框架

4結(jié)語

在教學(xué)實(shí)踐中，我們以探索DCT編碼技術(shù)產(chǎn)生的起因與相關(guān)研究理論和方法為目的，充分考慮DCT編碼技術(shù)的綜合、交叉和滲透的特點(diǎn)，將科學(xué)研究所需要的諸多元素都融入到教學(xué)中去，用科學(xué)研究的要求組織教學(xué)。將探索、批判的研究精神和創(chuàng)新意識貫穿到“DCT編碼技術(shù)”教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生思考、求解問題，培養(yǎng)學(xué)生的科研意識和創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 張旭東，盧國棟，馮健. 圖像編碼基礎(chǔ)和小波壓縮技術(shù)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社， 2004.

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