摘要：應(yīng)用最優(yōu)控制技術(shù)， 建立一種企業(yè)融資決策數(shù)學(xué)模型及融資決策方法.充分利用微分方程與線(xiàn)性規(guī)劃理論^[1][2]，較圓滿(mǎn)地解決了有關(guān)融資決策的優(yōu)化問(wèn)題. 給出了既能降低融資成本，又提高經(jīng)營(yíng)效益的融資決策方法，為企業(yè)獲得最佳投資效益提供決策依據(jù)。

關(guān)鍵詞：融資決策;最優(yōu)控制技術(shù)；數(shù)學(xué)模型

中圖分類(lèi)號(hào)：F019 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The Construction and Application of Mathematical Models into Corporate Financing Decision-making Policy

LIU Hong-yun

(Shangqiu Vocational and Technical College，Shangqiu 476000，China)[GK2!2]

Abstract:

The application of optimal control techniques involves， constructing mathematical models and financing decision-making method in the practise of corporate financing decision-making policy.With differential equation and linear programming，the paper presents a solution to optimizing financing decision-making policy.This decision-making method can lower cost and improve the operational profits， providing enterprise with the optimal investment returns.

一、問(wèn)題的提出

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)與金融市場(chǎng)的發(fā)展，逐步形成了股票、銀行貸款、信用債券等多方位的企業(yè)融資渠道，使企業(yè)在一定范圍內(nèi)，能夠方便、迅速的籌集資金，滿(mǎn)足自身經(jīng)營(yíng)與發(fā)展的需要。如何進(jìn)行企業(yè)融資決策，降低融資成本，提高經(jīng)營(yíng)效益成為企業(yè)日常經(jīng)營(yíng)中的普遍問(wèn)題。對(duì)企業(yè)融資模型與決策方法的探討已有相關(guān)結(jié)果(見(jiàn)^[3])，但還不夠圓滿(mǎn)。本數(shù)學(xué)模型應(yīng)用最優(yōu)控制技術(shù)，建立一種完備的融資決策方法。

二、模型的構(gòu)建

引入以下記號(hào)：

X(t)——企業(yè)時(shí)間t時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)；

U(t)——債券發(fā)行量系數(shù)，企業(yè)決策變量。X(t)U(t)為時(shí)間t時(shí)的債券發(fā)行數(shù)額，若記C=1-籌資成本系數(shù)(＜0＜C＜1，常數(shù))， 則CU(t)X(t)即為時(shí)間t時(shí)外部投資速度函數(shù)；

V(t)——利潤(rùn)中用于投資的比例系數(shù)，企業(yè)決策變量。V（t）X(t)為時(shí)間t時(shí)內(nèi)部投資速度函數(shù)；

ρ——社會(huì)貼現(xiàn)率；

r——企業(yè)資金利潤(rùn)率；

g——企業(yè)資產(chǎn)增長(zhǎng)率上限。

以上變量及常數(shù)滿(mǎn)足如下關(guān)系式

[SX（]dX[]dt[SX)]=r(CU+V)X，[JY](1)

U≥0，0≤V≤1

按照資產(chǎn)增長(zhǎng)率限制g，可以推知[SX(]dX[]dt[SX)]/X≤g， 從而有CU+V≤[SX(]g[]r[SX)]

企業(yè)在規(guī)劃期[0，T]內(nèi)的總收益的貼現(xiàn)值為∫T0(1-V)Xe-ρtdt，此期間所發(fā)行的債券總額的貼現(xiàn)值為∫T0UXe-ρtdt，從而企業(yè)追求的目標(biāo)利潤(rùn)為J=∫T0(1-U-V)Xe-ρtdt

由此得到企業(yè)融資行為的最優(yōu)控制模型

max[DD(][]u，y[DD)]J=∫T0(1-U-V)Xe-ρtdt

s.t. [SX(]dX[]dt[SX)]=r(CU+V)X，

CU+V≤[SX(]g[]r[SX)]，

U≥0，0≤V≤1

三、模型的求解與分析

根據(jù)求解最優(yōu)控制問(wèn)題的極大值原理，最優(yōu)決策 應(yīng)使哈密頓函數(shù)最大化

H=（1-U-V）X+rλ(CU+V)X=[(rcλ-1)U+(rλ-1)V+1]X

其中λ為協(xié)狀態(tài)變量，它滿(mǎn)足協(xié)狀態(tài)方程

記W1=rcλ-1，W2=rλ-1，則H=(W1U+W2V+1)作為U，V的函數(shù)。最大化H等價(jià)于最大化W1U+W2V，從而最優(yōu)控制模型等價(jià)于下面的優(yōu)化問(wèn)題：對(duì)任何時(shí)刻t∈[0，T]

其中變量U，V，X，λ滿(mǎn)足狀態(tài)方程(1)及協(xié)狀態(tài)方程(2)

進(jìn)一步的討論，需要區(qū)分下述兩種情形：

情形Ⅰ：g≤r

這是資產(chǎn)增長(zhǎng)率不超過(guò)企業(yè)資金利潤(rùn)率的情形．此時(shí)(3)中全部約束條件形成UV平面中的三角形區(qū)域，如圖1所示，易知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

根據(jù)微分方程與線(xiàn)性規(guī)劃理論，可以得出以下結(jié)論。

（1）任何時(shí)刻t∈[0，T]，D3=([SX(]g[]cr[SX)]，0)不是(3)的最優(yōu)解。

注意到V[HJ2.2mm]與U分別表示企業(yè)內(nèi)部、外部投資系數(shù)，這一結(jié)論的意義是明顯的：由于外部投資需要支付籌資成本，從而在內(nèi)部投資尚且關(guān)閉（V=0）的時(shí)候，企業(yè)吸收外部投資（U=[SX(]g[]cr[SX)]≥0）顯然是不經(jīng)濟(jì)的。

(2)規(guī)劃期內(nèi)企業(yè)投資活動(dòng)劃分為兩個(gè)階段，開(kāi)始階段[0，t1)最優(yōu)投資決策為D2=(0，[SX(]g[]r[SX)])結(jié)尾階段(t1，T]最優(yōu)投資決策為D1=(0，0)。

這表明，如果限制企業(yè)資產(chǎn)增長(zhǎng)率不得超過(guò)其資金利潤(rùn)率，企業(yè)只需要在規(guī)劃期的初始階段，以約束條件所允許的最大比例（V=[SX（]g[]r[SX)]）啟動(dòng)內(nèi)部投資，而始終都不需要開(kāi)啟外部投資(U=0)。

（3）作為內(nèi)部投資的關(guān)閉時(shí)間t1，它是使得一單位內(nèi)部投資能夠恰好收回的最后時(shí)刻，即∫Tt1re-ρ(t-t1)dt=1，由此解得t1=T-[SX(]1[]ρ[SX)]ln[SX(]r[]r-ρ[SX)]，其中e-ρ(t-t1)為貼現(xiàn)因子，它將[t1，T]時(shí)期內(nèi)各時(shí)刻的貨幣額折合為t1時(shí)的貨幣額。

情形Ⅱ：g＞r

這是資產(chǎn)增長(zhǎng)率可以高于資金利潤(rùn)率的情形。此時(shí)(3)中全部約束條件形成UV平面中的梯形區(qū)域，如圖2所示。易知各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

再由微分方程與線(xiàn)性規(guī)劃理論，可以得出如下結(jié)論。[HJ2.4mm]

①任何時(shí)刻t∈[0，T]，D4=([SX(]g[]cr[SX)]，0)不是(3)的最優(yōu)解，這一結(jié)論與情形Ⅰ中的①完全類(lèi)同。

②規(guī)劃期內(nèi)企業(yè)投資活動(dòng)劃分為三個(gè)階段，開(kāi)始階段[0，t2)，最優(yōu)投資決策為D3=（[SX(]g-r[]cr[SX)]，1）;中間階段(t2，t1)最優(yōu)投資決策為D2=(0，1);最后階段(t1，T]最優(yōu)投資決策為D1=(0，0)，這一結(jié)論表明，如果允許資產(chǎn)增長(zhǎng)率超過(guò)資金利潤(rùn)率，則企業(yè)應(yīng)該吸收外部投資，其最佳方案是:初始階段以最大比例V=1啟動(dòng)內(nèi)部投資，同時(shí)以系數(shù)U=[SX(]g-r[]cr[SX)]啟動(dòng)外部投資;然后關(guān)閉外部投資，但仍保持最大比例V=1繼續(xù)內(nèi)部投資;最后關(guān)閉內(nèi)部投資，停止全部投資活動(dòng)。

③內(nèi)部投資的關(guān)閉時(shí)間仍然是t1=T-[SX(]1[]ρ[SX)]ln[SX(]r[]r-ρ[SX)]，而外部投資的關(guān)閉時(shí)間t2，應(yīng)使得企業(yè)在t2時(shí)出售l單位債券而獲得的C單位外部投資，在全部投資活動(dòng)停止之前(t2之前)恰好收回，即

四、模型的應(yīng)用

設(shè)企業(yè)資金利潤(rùn)率為15%，資產(chǎn)增長(zhǎng)率上限為20%，每元債券的籌資成本為0．05元，若社會(huì)貼現(xiàn)率為10%， 考慮企業(yè)未來(lái)60個(gè)月的投資決策。

根據(jù)所設(shè)T=60，r=0．15，ρ=0．1，C=1-0．05=0．95，由于資產(chǎn)增長(zhǎng)率上限高于資金利潤(rùn)率，應(yīng)根據(jù)情形Ⅱ給出最優(yōu)投資決策。為此計(jì)算

從而企業(yè)的最優(yōu)投資決策如下：

[0，48)時(shí)期為第一階段，此間企業(yè)同時(shí)啟動(dòng)內(nèi)、外部投資。其中內(nèi)部投資系數(shù)V=1，企業(yè)應(yīng)將全部利潤(rùn)即時(shí)用于投資；外部投資系數(shù)為

企業(yè)應(yīng)參照利潤(rùn)的 發(fā)行債券，吸收外部投資。

(48，49)時(shí)期為第二階段，此間應(yīng)關(guān)閉外部投資，但仍將全部利潤(rùn)用于投資，即取U=0，V=1。

(49，60]時(shí)期為第三階段，全部投資活動(dòng)都應(yīng)停止，即取U=0，V=0。

五、結(jié)語(yǔ)

由以上討論及例證，所述企業(yè)融資行為的最優(yōu)控制模型，只要掌握規(guī)劃期內(nèi)企業(yè)的資金利潤(rùn)率r，資產(chǎn)增長(zhǎng)約束g，就可以根據(jù)社會(huì)貼現(xiàn)率ρ 以及債券發(fā)行成本，獲得企業(yè)內(nèi)部、外部投資的開(kāi)關(guān)時(shí)間與開(kāi)啟幅度，從而為企業(yè)獲得最佳投資效益提供決策依據(jù)。

參考文獻(xiàn):

[1] 張干宗.線(xiàn)性規(guī)劃[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2004.

[2] 東北師大數(shù)學(xué)系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2005.

[3] 李景華，朱尚偉.企業(yè)融資模型與決策方法[J].山西財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，1993(1):24-26.

(責(zé)任編輯：習(xí)文)

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>