王春彪

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)回歸教材，注重課本習(xí)題的探究，培養(yǎng)學(xué)生重視結(jié)果更要重視過(guò)程且弄清

知識(shí)的來(lái)龍去脈的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.本人在一次高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中遇到如下一道小題：

“如圖，將矩形ABCD的兩邊BC、CD分別8等分，過(guò)A、B連接七個(gè)對(duì)應(yīng)分點(diǎn)的連線得7個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于下列曲線：①圓；②橢圓；③雙曲線；④拋物線；⑤直線.這7個(gè)交點(diǎn)可能位于哪幾種曲線上，寫(xiě)出所有可能曲線的序號(hào) .”

本題的背景實(shí)質(zhì)是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材選修2-1第33頁(yè)的11題.原題為：“把矩形的各邊n等分，如圖1連接直線，判斷對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)是否在一個(gè)橢圓上，為什么?”教參提供的答案認(rèn)為是在一個(gè)橢圓上，并給出了證明過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是不夠嚴(yán)密的.因?yàn)檎叫问翘厥獾木匦危?/p>

因此對(duì)應(yīng)點(diǎn)也有可能是在一個(gè)圓上，本題則很好地完善了課本題結(jié)論.教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在兩個(gè)方面問(wèn)題：一是容易忽略圓這個(gè)特殊結(jié)論；二是對(duì)得到橢圓的結(jié)論過(guò)程和方法不熟悉.因此有必要探討如何探究得到正確結(jié)論?

一、矩形為正方形時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在一個(gè)圓上

證明過(guò)程如下：

證法1：(幾何證法)如圖2：設(shè)AE和BF是對(duì)應(yīng)的第r個(gè)分點(diǎn)連線(0≤r≤n,r∈N)，則易證明△ABE≌△BCF,則∠BAE=∠CBF,∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°,即∠APB=90°.∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上.

證法2：(代數(shù)證法)如圖4：設(shè)AB=2a,設(shè)P(x,y);A(-a,0),B(a,0),E(a,2ran),

F(a-2ran,2a),則AE的方程：y=rn(x+a);BF的方程：y=-nr(x-a).交點(diǎn)P的坐標(biāo)x=n2-r2n2+r2a

y=2nrn2+r2a,

即P點(diǎn)坐標(biāo)(n2-r2n2+r2a,2nrn2+r2a)

,則點(diǎn)P所在的曲線方程為x2+y2=a2.∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上.

二、矩形為非正方形時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在一個(gè)橢圓上

證明過(guò)程如下：

證法1：類比圓的代數(shù)解法，如圖3設(shè)AB=2a,BC=2b,設(shè)P(x,y),A(-a,0),B(a,0

),E(a,2rbn)，F(xiàn)(a-2ran,2b),則AE的方程：y=rbna(x+a).BF的方程：y=-nbra(x-a).交點(diǎn)P的坐標(biāo)x=n2-r2n2+r2a

y=2nrn2+r2b,∴x2a2+y2b2=1.

i)當(dāng)a=b時(shí)，x2+y2=a2，以AB為直徑的圓；

ii)當(dāng)a>b時(shí)，x2a2+y2b2=1，焦點(diǎn)在x軸(線段AB)上的橢圓；

iii)當(dāng)a

直接用代數(shù)解法，但是解方程過(guò)程較為復(fù)雜，能否有更為簡(jiǎn)單的消參方法呢?考慮到橫縱坐標(biāo)的幾何屬性，得到下列解法：

證法2：如圖5，由△APH∽△ABE，∴PHAH=BEAB.∴yx+a=2rbn2a,∴yx+a=rbna ①

由△BFG∽△BPH,∴PHBH=FGBG.∴ya-x=2ba-(a-2ran),∴ya-x=nbra ②

∴①×②得：y2a2-x2=b2a2,即x2a2+y2b2=1(下同解法1).

證法3：充分考慮到圓與橢圓的關(guān)系，由正方形時(shí)的代數(shù)解法得到交點(diǎn)P坐標(biāo)x=n2-r2n2+r2a，

y=2nrn2+r2a，由矩陣與變換的知識(shí)，正方形可通過(guò)伸壓變換得到一般矩形，易知該變換的矩陣為A=10

0ba，則x

y10

0ba=x′

y′,即x′

y′=x

y10

0ba=n2-r2n2+r2a

2nrn2+r2b,

∴x′=n2-r2n2+r2a,

y′=2nrn2+r2b,(下同解法1).

本題在探究該問(wèn)題的解法過(guò)程中，用到了代數(shù)解法和幾何解法.并且用到新教材的類比推理及矩陣與變換的知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，能從特殊到一般又能從一般到特殊的思考問(wèn)題.在解題過(guò)程中很好地體現(xiàn)了傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，又突出新課程所倡導(dǎo)的方法和思路，確實(shí)是一道值得深究的好題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文