毛浙東

我們?cè)谧龈怕暑}目時(shí)，常常遇到這樣的情況：一道題目如果變換角度來(lái)思考，得到的答案跟原來(lái)截然不同，兩種方法看上去都沒(méi)有錯(cuò)誤，使得我們很難取舍.實(shí)際上，這是陷入了變角度思考的誤區(qū).筆者將這些誤區(qū)作了歸納，現(xiàn)以具體例子來(lái)逐一說(shuō)明.

一、錯(cuò)用公式

錯(cuò)誤運(yùn)用概率公式是我們出錯(cuò)的重要原因，比如事件A與事件B不互斥，卻在用公式P(A+B)=P(A)+P(B)；事件A與事件B不獨(dú)立，卻在用公式P(A·B)=P(A)·P(B)；在不能保證每次試驗(yàn)的概率不變的情況下，卻在運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式計(jì)算等等，這些都是陷入了“錯(cuò)用公式”的誤區(qū).

例1 甲參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，他能答對(duì)其中的6道，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道才算合格，求此人考試合格的概率.

原解：此人從10道題中選3題來(lái)答，有C310種可能，而他要求能考試合格，則有兩類(lèi)可能：一類(lèi)是從會(huì)做的6題中選3題來(lái)答，有C36種可能，一類(lèi)是從會(huì)做的6題中選2題，從不會(huì)做的4題中選1題來(lái)答，有C26C14種可能.故所求概率為P=C36+C26C14C310=23.

變解：因?yàn)榇巳藭?huì)回答10道中的6道，故其答對(duì)題目的概率是610，要求3道之中至少答對(duì)2道才算合格，則有兩類(lèi)可能：要么他答對(duì)了3道中的2 道，要么他3道都答對(duì)了.故所求概率為P=C23×(610)2×(410)+C33×(610)3=81125.

評(píng)注：原解是正確的，而變解卻是錯(cuò)誤的，原因是此解法忽視了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要求每次答對(duì)題的概率是不變的這個(gè)事實(shí).在甲做第一題時(shí)，答對(duì)的概率的確為610，但答完第一道題后，若他第一題答對(duì)，則他答對(duì)下一題的概率變小為59，若他第一題答錯(cuò)，則他答對(duì)下一題的概率變大為69，故不能保證每次答對(duì)的概率不變，所以不能用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式計(jì)算.

二、思路混亂

做概率題要求思路清晰，思維嚴(yán)密，尤其要保證前后一致，但對(duì)初學(xué)者來(lái)講，往往會(huì)陷入“思路混亂”的誤區(qū).

例2 拋擲三枚硬幣，并觀察各枚落下后是國(guó)徽向上或是麥穗向上，問(wèn)三枚硬幣向上的一面完全相同的概率是多少?

原解：三枚都是麥穗向上的概率是12×12×12=18，三枚都是國(guó)徽向上的概率是12×12×12=18，所以三枚硬幣向上的一面完全相同的概率是14.

變解：拋起的三枚硬幣落下后至少有兩枚向上的一面是相同的，而第三枚硬幣落下后國(guó)徽向上和麥穗向上的概率各占12，由此可知，三枚硬幣落下后全部一樣的概率是12.

評(píng)注：乍一看變解好象也是對(duì)的，但實(shí)質(zhì)上“至少兩枚”和“第三枚”兩者并非并行的兩個(gè)概念，它們是交錯(cuò)的，事實(shí)上“至少兩枚”已經(jīng)把“第三枚”包括在內(nèi)了，有了前面的“至少兩枚相同”的結(jié)論，第三枚就不再自由了.因此，變解2錯(cuò)在解題思路混亂，導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算，使概率從正確的14變大為了12.

三、曲解題意

有些時(shí)候，我們?cè)趯忣}時(shí)不仔細(xì)，沒(méi)有嚴(yán)格按照題目的要求操作，而是憑主觀感覺(jué)來(lái)做題，從而陷入了“曲解題意”的誤區(qū).

例3 一棵樹(shù)如圖所示，在樹(shù)上有兩個(gè)果子(不妨設(shè)為1號(hào)果、2號(hào)果)，一只猴子隨機(jī)從底部向上爬，則這只猴子能摘到果子的概率是多少?

原解：猴子爬到第一個(gè)分枝時(shí)有三種選擇，走每個(gè)分枝的概率都為13，若猴子沿能采到1號(hào)果子的分枝向前爬行，則在第二個(gè)分叉時(shí)，能采到1號(hào)果子的概率是12.所以這只猴子能采到1號(hào)果子的概率為13×12=16.同理，猴子采到2號(hào)果子的概率也為16，所以猴子采到果子的概率為16+16=13.

變解：猴子爬行的路線(xiàn)有7條，能采到果子的路線(xiàn)有2條，所以概率為27.

評(píng)注：變解曲解了題意.事實(shí)上，猴子到達(dá)每個(gè)枝頭的概率是不相等的，并

非都是17，因?yàn)楹镒硬皇切▲B(niǎo)，不能飛到枝頭，它只能老老實(shí)實(shí)順著樹(shù)枝往上爬，所以它必須先面臨第一個(gè)分岔口的3個(gè)選擇，它走任意一條路口的概率都是13，然后它如果想到含有兩個(gè)子分支的枝頭，還要面臨第二個(gè)分岔，選擇任意一個(gè)分岔的概率都為12，根據(jù)乘法原理，我們有13×12=16；而它如果想到含有三個(gè)子分支的枝頭，也要面臨第二個(gè)分岔，選擇任意一個(gè)分岔的概率都為13，根據(jù)乘法原理，我們有13×13=19，這個(gè)概率要小于它到達(dá)含有兩個(gè)子分支的枝頭的概率.當(dāng)然，如果題目改成小鳥(niǎo)采果子的話(huà)，則小鳥(niǎo)飛到任意一個(gè)枝頭的概率都是17，此時(shí)變解就是正確的.

四、未挖隱含

很多概率題目敘述很簡(jiǎn)短，但里面往往蘊(yùn)涵了豐富的隱含條件，如果我們沒(méi)能深刻挖掘，就會(huì)陷入“未挖隱含”的誤區(qū).

例4 把一條木棒隨機(jī)地折成三段，求這三段可以構(gòu)成三角形的概率.

原解：設(shè)木棒的長(zhǎng)度為a，被折成三段后其中兩段的長(zhǎng)度分別為x和y，則第三段長(zhǎng)度為a-x-y，我們有：0

0

0

0

0a(1)

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則所有情形可以用圖中的大三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示.又因?yàn)槟軜?gòu)成三角形，則還應(yīng)符合下列條件：y+(a-x-y)>x

x+(a-x-y)>y

x+y>a-x-yx

y

x+y>a2 (2)

則所有能構(gòu)成三角形的情形可以用陰影三角形來(lái)表示，故所求概率應(yīng)該等于圖中陰影部分的面積S1和大三角形面積S之比，即P=S1S=12(a2)212a2=14.

變解：設(shè)木棒的長(zhǎng)度為a，如果最長(zhǎng)的一段小于其余兩段之和，也就是最長(zhǎng)的一段比整個(gè)木棒長(zhǎng)度的一半還要短，那么所折成的三段就能構(gòu)成一個(gè)三角形，而一根木棒折下一段的長(zhǎng)度小于原長(zhǎng)的一半的概率是12，所以由一根細(xì)棒折成的三段圍成三角形的概率是12.

評(píng)注：原解深刻地挖掘了題目的所有隱含條件，而變解卻沒(méi)有做到.實(shí)際上

，“最長(zhǎng)的一段”的長(zhǎng)度z的范圍不是0

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文