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        一道IMO選拔賽試題的推廣

        2008-12-09 03:32:30林新建
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年10期
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱點(diǎn)選拔賽直角坐標(biāo)

        林新建

        題目(第37屆IMO中國(guó)選拔賽試題)

        以△ABC的邊BC為直徑作半圓,與AB、AC分別交于點(diǎn)D和E,過(guò)D、E分別作BC的垂線,垂足分別為F和G,線段DG、EF交于點(diǎn)M.求證:AM⊥BC.

        本題結(jié)論可作如下推廣:

        性質(zhì)1 如圖1,以△ABC的邊BC為長(zhǎng)軸的橢圓交此三角形的另兩邊AB、AC于點(diǎn)E、F.設(shè)M、N分別是點(diǎn)E、F關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn),EN與MF交于點(diǎn)D.則AD⊥BC.

        證明:以邊BC所在的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則 有B(-a,0),C(a,0).

        利用橢圓的參數(shù)方程,可設(shè)E(a玞osα,b玸inα),F(a玞osβ,b玸inβ),則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為M(a玞osα,-b玸inα),N(a玞osβ,-b玸inβ),直線EN的方程為:y-b玸inα=b(玸inα+玸inβ)a(玞osα-玞osβ)?(x-a玞osα).令y=0,得xD=a玸in(α+β)玸inα+玸inβ.

        另一方面,直線BE、CF的方程分別為y=b玸inαa(玞osα+1)(x+a),y=b玸inβa(玞osβ-1)(x-a).聯(lián)立解得xA=a[玸in(β+α)+(玸inβ-玸inα)]玸in(β-α)+(玸inβ+玸inα).因?yàn)閤D-xA的分子=a[玸in(β+α)玸in(β-α)-(玸in2β-玸in2α)]=a(玸in2β玞os2α-玞os2β玸in2α-玸in2β+玸in2α)=0,所以AD⊥BC.

        性質(zhì)2 如圖2,以△ABC的邊BC為實(shí)軸的雙曲線交此三角形的另兩邊AB、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F.設(shè)M、N分別是點(diǎn)E、F關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn),EN與MF交于點(diǎn)D,則AD⊥BC.

        證明:以邊BC所在的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則有B(-a,0),C(a,0).

        利用雙曲線的參數(shù)方程,可設(shè)E(a玸ecα,b玹anα),F(a玸ecβ,b玹anβ),則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為M(a玸ecα,-b玹anα),N(a玸ecβ,-b玹anβ),直線EN的方程為:y-b玹anα=b(玹anα+玹anβ)a(玸ecα-玸ecβ)(x-a玸ecα).令y=0,得xD=a(玸inα+玸inβ)玸in(α+β).另一方面,直線BE、CF的方程分別為y=b玹anαa(玸ecα+1)(x+a),y=b玹anβa(玸ecβ-1)(x-a).聯(lián)立解得xA=-a[(玸inα+玸inβ)-玸in(α-β)](玸inα-玸inβ)-玸in(α+β).因?yàn)閤D-xA的分子=a[玸in2α-玸in2β-玸in(α+β)?玸in(α-β)]=a(玸in2α-玸in2β-玸in2α玞os2β+玞os2α玸in2β)=0,所以AD⊥BC.

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